🗊Презентация Экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области. Лeкция №6-7

Экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области

Пусть функция определена в некоторой области D и Пусть функция определена в некоторой области D и Функция имеет максимум в точке , если для всех точек достаточно близких к точке и отличных от неё. Функция имеет минимум в точке , если для всех точек достаточно близких к точке и отличных от неё. z y x Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.

Необходимые условия экстремума. Если функция достигает экстремума в точке , то её частные производные в этой точке равны нулю или не существуют: Необходимые условия экстремума. Если функция достигает экстремума в точке , то её частные производные в этой точке равны нулю или не существуют: Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю или не существуют называются критическими точками функции. Для нахождения экстремума функции в данной области необходимо каждую критическую точку подвергнуть дополнительному исследованию. Достаточные условия экстремума. Пусть функция в некоторой области D имеет непрерывные частные производные и точка есть критическая точка данной функции. Обозначим: и . Тогда: 1) Если , то функция в точке имеет минимум; 2) Если , то функция в точке имеет максимум; 3) Если , то в точке функция экстремума не имеет.

Пример 1. Найти экстремум функции . Пример 1. Найти экстремум функции . Решение. Находим частные производные первого порядка функции: Приравняем их к нулю и найдем критические точки функции: Т.е. точка - критическая точка функции. Далее находим частные производные второго порядка исходной функции: Вычисляем значения частных производных второго порядка в критической точке: Находим определитель: Так как , то в точке функция имеет минимум:

Пример 2. Найти экстремум функции . Пример 2. Найти экстремум функции . Решение. Находим критические точки: , Получили две критические точки: . Вычисляем частные производные второго порядка: Далее исследуем на экстремум каждую точку отдельно: 1) Исследуем точку : Так как , то в точке функция имеет минимум: 2) Исследуем точку : Так как ,то в точке функция экстремума не имеет.

Пусть функция определена и непрерывна в замкнутой области D. Пусть функция определена и непрерывна в замкнутой области D. Тогда она достигает в некоторых точках этой области своего наибольшего и наименьшего значения. Эти значения достигаются функцией во внутренних точках области или в точках, лежащих на границе области. Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции: 1) Найти все критические точки функции, принадлежащие заданной области, и вычислить значения функции в них. 2) Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границах области. 3) Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее и наименьшее значения.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутом треугольнике АОВ, ограниченном осями координат и прямой . Решение. Строим область и находим критические точки функции: В у 4 . Эта точка лежит внутри области. Вычисляем значение функции в этой точке: О 4 А Исследуем границы области: , получим Получили точку . Находим . Граница , получим , Т.е. имеем точку . Вычисляем

Граница . Подставив это выражение в заданную функцию, получим: Граница . Подставив это выражение в заданную функцию, получим: или Находим Получили точку . Вычисляем значение функции в этой точке: Далее вычисляем значения функции в точках . Сравнивая полученные результаты, заключаем, что наибольшее значение заданная функция достигает в точке А(4;0), а наименьшее – в точке . Таким образом:

Производной функции по направлению вектора называется предел Производной функции по направлению вектора называется предел где Если функция дифференцируема, то производная по направлению вычисляется по формуле (*) где - угол , образованный вектором и осью ОХ. В случае функции трех переменных производная по направлению определяется аналогично: (**) где - направляющие косинусы вектора . Производная функции по направлению характеризует скорость изменения функции в данном направлении.

Пример. Найти производную функции в точке в направлении вектора , если . Пример. Найти производную функции в точке в направлении вектора , если . Решение. Находим координаты вектора и его направляющие косинусы: Находим частные производные функции и их значения в точке М: Следовательно, используя формулу (**), получим:

Градиентом функции в точке называется вектор с началом в точке М, имеющий своими координатами частные производные функции : Градиентом функции в точке называется вектор с началом в точке М, имеющий своими координатами частные производные функции : Градиент функции и производная по направлению вектора связаны формулой Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в данной точке. Производная в направлении градиента имеет наибольшее значение, равное

Пример. Вычислить градиент функции Пример. Вычислить градиент функции в точке . Решение. Находим частные производные заданной функции: Вычисляем значения частных производных в точке А: Подставляем найденные значения в формулу градиента: Получим: