🗊Презентация Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2)

Категория: Математика
Нажмите для полного просмотра!
Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2), слайд №1Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2), слайд №2Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2), слайд №3Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2), слайд №4Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2), слайд №5Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2), слайд №6Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2), слайд №7Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2), слайд №8Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2), слайд №9Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2), слайд №10Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2), слайд №11Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2), слайд №12Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2), слайд №13Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2), слайд №14Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2), слайд №15Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2), слайд №16Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2), слайд №17Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2), слайд №18Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2), слайд №19Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2), слайд №20Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2), слайд №21Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2), слайд №22Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2), слайд №23Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2), слайд №24Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2), слайд №25Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2), слайд №26Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2), слайд №27Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2), слайд №28Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2), слайд №29Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2), слайд №30Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2), слайд №31Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2), слайд №32Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2), слайд №33

Содержание

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Элементы дифференциального исчисления. Производые. Исследование (лекция 2). Доклад-сообщение содержит 33 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации


Слайд 1





Лекция 2. 
Элементы дифференциального исчисления

2.1.Производная функции. Дифференциал
2.2. Методы вычисления производных
2.3. Производные и исследование функций
Описание слайда:
Лекция 2. Элементы дифференциального исчисления 2.1.Производная функции. Дифференциал 2.2. Методы вычисления производных 2.3. Производные и исследование функций

Слайд 2





2.1 Производная функции. Дифференциал 
Непрерывная функция y=f(x) задана графиком (рис.1) . Отметим на 
графике точки М0(х0,y0) (у=f(x0)) и М (х0+х) (f(x0+х)). Построим : 
прямую М0К, касательную к графику функции в точке М0(х0,y0) и 
прямую М0М, секущую, соединяющую точки  М0 и М.







Тангенс угла наклона секущей


Если  х0, то и у0. При этом секущая М0М неограниченно 
приближается к положению М0К, к касательной к графику у = f(х) в 
точке М0. Угловой коэффициент  касательной получим из 
предельного перехода
Описание слайда:
2.1 Производная функции. Дифференциал Непрерывная функция y=f(x) задана графиком (рис.1) . Отметим на графике точки М0(х0,y0) (у=f(x0)) и М (х0+х) (f(x0+х)). Построим : прямую М0К, касательную к графику функции в точке М0(х0,y0) и прямую М0М, секущую, соединяющую точки М0 и М. Тангенс угла наклона секущей Если х0, то и у0. При этом секущая М0М неограниченно приближается к положению М0К, к касательной к графику у = f(х) в точке М0. Угловой коэффициент касательной получим из предельного перехода

Слайд 3





Производная - определение. 
Производной функции у = f(х)в точке х0 называется предел 
отношения приращения функции у = f(х0+х)-f(х0) к приращению 
аргумента х при произвольном стремлении х к нулю, если 
такой предел существует.
Обозначается производная функции f(х) в точке х0 символом f'(х0).

Для производной в точке х0 можно использовать и другие обозначения, 
например:
Из предыдущих рассуждений следует, что геометрический смысл 
производной – это тангенс угла наклона касательной к функции 
в точке
Описание слайда:
Производная - определение. Производной функции у = f(х)в точке х0 называется предел отношения приращения функции у = f(х0+х)-f(х0) к приращению аргумента х при произвольном стремлении х к нулю, если такой предел существует. Обозначается производная функции f(х) в точке х0 символом f'(х0). Для производной в точке х0 можно использовать и другие обозначения, например: Из предыдущих рассуждений следует, что геометрический смысл производной – это тангенс угла наклона касательной к функции в точке

Слайд 4





Существование производной
1. Необходимое условие существования производной: функция определена
и непрерывна в точке (на интервале). Верно и обратное утверждение: если 
функция дифференцируема в точке х0, то она в этой точке непрерывна 
Примеры функций, когда необходимое условие в точке х0 не выполняется 





2. Достаточное условие существования производной в точке: производная 
определена и непрерывна  в точке (на интервале)
Примеры функций, когда достаточное условие не выполняется
Описание слайда:
Существование производной 1. Необходимое условие существования производной: функция определена и непрерывна в точке (на интервале). Верно и обратное утверждение: если функция дифференцируема в точке х0, то она в этой точке непрерывна Примеры функций, когда необходимое условие в точке х0 не выполняется 2. Достаточное условие существования производной в точке: производная определена и непрерывна в точке (на интервале) Примеры функций, когда достаточное условие не выполняется

Слайд 5





Геометрический  смысл производной, дифференциала
Геометрический смысл производной функции в точке  х0 , f'(х0)  - угловой 
коэффициент касательной к графику функции у=f(х) в точке М0(х0,y0).(слайд 3)
 







 
 



Дифференциал – определение. Рассмотрим рис.1. Приращение 
у = f(x0+x)- f(x0) при перемещении  по секущей равно отрезку NМ, при 
перемещении по касательной равно отрезку KN. Из треугольника М0KN 
следует, что KN=M0Ntg. Так как М0N=х , а tg=f'(х0) , то  KN = f‘(x0)х. 
Произведение f'(x0)х называется дифференциалом функции у=f(x)
в точке х0 и обозначается dy(х), df(х). Учитывая, что х=dx, получаем 
                                    dy=df= f'(x0)х =f'(x)dx

Геометрический смысл дифференциала (отрезок KN ) – это первое 
линейное приращение функции в точке х0 + х
Описание слайда:
Геометрический смысл производной, дифференциала Геометрический смысл производной функции в точке х0 , f'(х0) - угловой коэффициент касательной к графику функции у=f(х) в точке М0(х0,y0).(слайд 3) Дифференциал – определение. Рассмотрим рис.1. Приращение у = f(x0+x)- f(x0) при перемещении по секущей равно отрезку NМ, при перемещении по касательной равно отрезку KN. Из треугольника М0KN следует, что KN=M0Ntg. Так как М0N=х , а tg=f'(х0) , то KN = f‘(x0)х. Произведение f'(x0)х называется дифференциалом функции у=f(x) в точке х0 и обозначается dy(х), df(х). Учитывая, что х=dx, получаем dy=df= f'(x0)х =f'(x)dx Геометрический смысл дифференциала (отрезок KN ) – это первое линейное приращение функции в точке х0 + х

Слайд 6





Механический смысл производной
Пусть материальная точка движется в заданном направлении. 
Пусть S=S(t) – закон  движения материальной точки в зависимости от 
времени t, t0 – время начала движения, S(t0) – путь в момент t0.
В момент времени t= t0+t  путь равен S(t0+t), приращение пути за отрезок
времени t равно S=S(t0+t) - S(t0).
Тогда средняя скорость за время t равна


а скорость прямолинейного движения материальной точки в момент 
времени t0 (мгновенная скорость) есть производная от пути по времени. 
Это – «механический смысл» производной.



В каком-то смысле – производная функции – это скорость ее 
изменения – чем круче график, тем больше производная ( по 
абсолютной величине)
Описание слайда:
Механический смысл производной Пусть материальная точка движется в заданном направлении. Пусть S=S(t) – закон движения материальной точки в зависимости от времени t, t0 – время начала движения, S(t0) – путь в момент t0. В момент времени t= t0+t путь равен S(t0+t), приращение пути за отрезок времени t равно S=S(t0+t) - S(t0). Тогда средняя скорость за время t равна а скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t0 (мгновенная скорость) есть производная от пути по времени. Это – «механический смысл» производной. В каком-то смысле – производная функции – это скорость ее изменения – чем круче график, тем больше производная ( по абсолютной величине)

Слайд 7





Производная и характер графика
1. Монотонно возрастающая функция, Производная положительна 
2. Монотонно убывающая функция.     Неубывающая функция
Производная отрицательна                  Производная неотрицательна
3. Немонотонная функция. Производная в точках экстремума равна нулю
Описание слайда:
Производная и характер графика 1. Монотонно возрастающая функция, Производная положительна 2. Монотонно убывающая функция. Неубывающая функция Производная отрицательна Производная неотрицательна 3. Немонотонная функция. Производная в точках экстремума равна нулю

Слайд 8





Немонотонные функции
Функция имеет интервалы монотонного роста и монотонного спада. В
точке а функция имеет минимум, в точке b- максимум. Это – глобальные
минимум и максимум
Внутренними (локальными) точками минимального или максимального
(экстремального) значения являются x1, x2, x3, x4. 
Точки x1,  x3 – точки максимума, точки x2, x4 – точки минимума 
В этих точках касательная параллельна оси х, тангенс угла 
наклона равен нулю, следовательно производная в этих точках 
равна нулю, а вокруг этих точек производная меняет знак. 
Аналитическое определение точек экстремума связано с нахождением 
первой производной функции
Описание слайда:
Немонотонные функции Функция имеет интервалы монотонного роста и монотонного спада. В точке а функция имеет минимум, в точке b- максимум. Это – глобальные минимум и максимум Внутренними (локальными) точками минимального или максимального (экстремального) значения являются x1, x2, x3, x4. Точки x1, x3 – точки максимума, точки x2, x4 – точки минимума В этих точках касательная параллельна оси х, тангенс угла наклона равен нулю, следовательно производная в этих точках равна нулю, а вокруг этих точек производная меняет знак. Аналитическое определение точек экстремума связано с нахождением первой производной функции

Слайд 9





Первая производная и экстремумы функции
Если функция у=f(х) имеет конечную производную в каждой точке отрезка [а,Ь], то она дифференцируема на этом отрезке и ее поведение можно исследовать с помощью производной f'(x).
Рассмотрим еще раз график функции рис.7.
Наблюдаем интервалы возрастания, убывания, точки изменения поведения функции х1, х2, х3, х4. 
В точках х1, х3 функция имеет наибольшее в окрестности значение, в х2, х4 – наименьшее





Определение: любая непрерывная на отрезке [а,Ь] функция достигает на этом отрезке своего минимального и своего максимального значения
Описание слайда:
Первая производная и экстремумы функции Если функция у=f(х) имеет конечную производную в каждой точке отрезка [а,Ь], то она дифференцируема на этом отрезке и ее поведение можно исследовать с помощью производной f'(x). Рассмотрим еще раз график функции рис.7. Наблюдаем интервалы возрастания, убывания, точки изменения поведения функции х1, х2, х3, х4. В точках х1, х3 функция имеет наибольшее в окрестности значение, в х2, х4 – наименьшее Определение: любая непрерывная на отрезке [а,Ь] функция достигает на этом отрезке своего минимального и своего максимального значения

Слайд 10





1.Необходимое  условие существования экстремума в точке:  f'(x) =0 .
1.Необходимое  условие существования экстремума в точке:  f'(x) =0 .
Точки, в которых f'(x)=0 являются возможными точками экстремума. 
Они называются стационарными (характеристическими) точками.
2. Достаточное условие существования экстремума в точке: 
     - точка х=с является стационарной, 
     - производная f'(x) при переходе аргумента через  стационарную точку х=с меняет знак 
Правило знаков: - производная в стационарной точке меняет знак:
      - с плюса на минус – в точке х=с  - максимум; 
      - с минуса на плюс, - в точке х=с  - минимум.
      - производная в стационарной точке не меняет знак. В точке х=с нет ни минимума, ни максимума.
Пример. Пусть   f(x)= x3.  Тогда  f'(x) = 3x2=0 и стационарная точка с=0
Очевидно, знак f'(x) = 3x2 вокруг точки с=0 не меняется, в этой точке 
нет ни минимума, ни максимума
График функции f(x)=
Описание слайда:
1.Необходимое условие существования экстремума в точке: f'(x) =0 . 1.Необходимое условие существования экстремума в точке: f'(x) =0 . Точки, в которых f'(x)=0 являются возможными точками экстремума. Они называются стационарными (характеристическими) точками. 2. Достаточное условие существования экстремума в точке: - точка х=с является стационарной, - производная f'(x) при переходе аргумента через стационарную точку х=с меняет знак Правило знаков: - производная в стационарной точке меняет знак: - с плюса на минус – в точке х=с - максимум; - с минуса на плюс, - в точке х=с - минимум. - производная в стационарной точке не меняет знак. В точке х=с нет ни минимума, ни максимума. Пример. Пусть f(x)= x3. Тогда f'(x) = 3x2=0 и стационарная точка с=0 Очевидно, знак f'(x) = 3x2 вокруг точки с=0 не меняется, в этой точке нет ни минимума, ни максимума График функции f(x)=

Слайд 11






2.2. Вычисление производных
Таблица производных
Основные правила дифференцирования
Основные методы вычисления производных
Описание слайда:
2.2. Вычисление производных Таблица производных Основные правила дифференцирования Основные методы вычисления производных

Слайд 12





 Таблица основных формул дифференцирования
1.                                      постоянная
                                  
2.
3.
4.
5.
6. 
7.
Описание слайда:
Таблица основных формул дифференцирования 1. постоянная 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Слайд 13





Основные правила дифференцирования
Если функции u=u(х) и v=v(х) дифференцируемы в точке х, тогда 
справедливы следующие правила дифференцирования:
1.                                                  Здесь с -постоянная

2.                                                  Производная суммы функций

3.                                                   Производная произведения  функций


4.                                                   Производная частного

5. Производная сложной функции. Пусть функция у=f(u), где u=u(х). 
Тогда у есть сложная функция от х: y=f(u(x)), а u — промежуточный 
аргумент. Производная от сложной функции находят по правилу                                           
                                                     
                                                         или
Описание слайда:
Основные правила дифференцирования Если функции u=u(х) и v=v(х) дифференцируемы в точке х, тогда справедливы следующие правила дифференцирования: 1. Здесь с -постоянная 2. Производная суммы функций 3. Производная произведения функций 4. Производная частного 5. Производная сложной функции. Пусть функция у=f(u), где u=u(х). Тогда у есть сложная функция от х: y=f(u(x)), а u — промежуточный аргумент. Производная от сложной функции находят по правилу или

Слайд 14





Правила дифференцирования. Примеры
1. Дифференцирование произведения  двух функций







2. Дифференцирование частного двух функций
Описание слайда:
Правила дифференцирования. Примеры 1. Дифференцирование произведения двух функций 2. Дифференцирование частного двух функций

Слайд 15





Примеры дифференцирование сложной функции
 Дифференцирование сложной функции  производится по формуле

                                                                      или                                                                                                                                                 


Пример 1
Пусть                                   . 

Обозначив                          ,      получим


Тогда                                          ,                                    


Следовательно,
Описание слайда:
Примеры дифференцирование сложной функции Дифференцирование сложной функции производится по формуле или Пример 1 Пусть . Обозначив , получим Тогда , Следовательно,

Слайд 16





3. Правило дифференцирования сложной функции
                                                                              
Пример 2
Пусть    y (х) = e-x      
Обозначим  U(x)= -x; 
Тогда  у (х)= e -x =  eU(x)

Так как                                                             , 




то
Описание слайда:
3. Правило дифференцирования сложной функции Пример 2 Пусть y (х) = e-x Обозначим U(x)= -x; Тогда у (х)= e -x = eU(x) Так как , то

Слайд 17





Производные высших порядков
Пусть функция y=f(x) дифференцируема на интервале (а,Ь) и имеет 
первую производную у '= f ' (х).  
Первая производная является функцией и может быть 
дифференцируема, иметь производную. Производная первой 
производной называется второй производной, или производной 
второго порядка и обозначается символами 

                                              или

Производной n-гo порядка функции f(x) называется первая 
производная от производной (n-1)-го порядка:
Описание слайда:
Производные высших порядков Пусть функция y=f(x) дифференцируема на интервале (а,Ь) и имеет первую производную у '= f ' (х). Первая производная является функцией и может быть дифференцируема, иметь производную. Производная первой производной называется второй производной, или производной второго порядка и обозначается символами или Производной n-гo порядка функции f(x) называется первая производная от производной (n-1)-го порядка:

Слайд 18





Вычисление производных высших порядков. Примеры
Найти значение третьей производной функции у=е(5х +3). Вычислить ее значение в точке х=0.
Вычислим сначала третью производную
Подставим х=0. Получим значение третьей производной в точке
Описание слайда:
Вычисление производных высших порядков. Примеры Найти значение третьей производной функции у=е(5х +3). Вычислить ее значение в точке х=0. Вычислим сначала третью производную Подставим х=0. Получим значение третьей производной в точке

Слайд 19





Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба 
График дифференцируемой функции называется выпуклым в интервале [а,Ь], 
если он расположен выше любой своей касательной в этом интервале. 
Функции на рис.10 выпуклая на интервале, парабола у=х2 (рис.12) выпуклая на
всей числовой оси. Для выпуклой функции справедливо: f"(х)>0





График дифференцируемой функции называется вогнутым в интервале [а,Ь], 
если он расположен ниже любой своей касательной в этом интервале. 
Для вогнутой функции справедливо:  f"(х)<0
Описание слайда:
Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба График дифференцируемой функции называется выпуклым в интервале [а,Ь], если он расположен выше любой своей касательной в этом интервале. Функции на рис.10 выпуклая на интервале, парабола у=х2 (рис.12) выпуклая на всей числовой оси. Для выпуклой функции справедливо: f"(х)>0 График дифференцируемой функции называется вогнутым в интервале [а,Ь], если он расположен ниже любой своей касательной в этом интервале. Для вогнутой функции справедливо: f"(х)<0

Слайд 20





Точка М0(х0,f(х0)), лежащая на графике и отделяющая выпуклую часть
Точка М0(х0,f(х0)), лежащая на графике и отделяющая выпуклую часть
графика от вогнутой, называется точкой перегиба функции y=f(x)







За выпуклость (вогнутость) функции "отвечает" вторая производная
функции y = f(x), f"(х) . 
Точки перегиба следует искать среди тех точек, в которых:
-  вторая производная у"= f"(х) =0. Это - возможная точка перегиба.
 - если слева и справа от возможной точки перегиба вторая 
производная меняет знак – то это точка перегиба.
Если f"(х) меняет знак с минуса на плюс- график изменяется от 
вогнутого на выпуклый, с плюса на минус – от выпуклого на 
 вогнутый
Описание слайда:
Точка М0(х0,f(х0)), лежащая на графике и отделяющая выпуклую часть Точка М0(х0,f(х0)), лежащая на графике и отделяющая выпуклую часть графика от вогнутой, называется точкой перегиба функции y=f(x) За выпуклость (вогнутость) функции "отвечает" вторая производная функции y = f(x), f"(х) . Точки перегиба следует искать среди тех точек, в которых: - вторая производная у"= f"(х) =0. Это - возможная точка перегиба. - если слева и справа от возможной точки перегиба вторая производная меняет знак – то это точка перегиба. Если f"(х) меняет знак с минуса на плюс- график изменяется от вогнутого на выпуклый, с плюса на минус – от выпуклого на вогнутый

Слайд 21






2. 3. Производные и исследование функции
Общая схема исследования
Пределы и асимптоты графика функции
Примеры решения задач
Описание слайда:
2. 3. Производные и исследование функции Общая схема исследования Пределы и асимптоты графика функции Примеры решения задач

Слайд 22





Общая схема исследования функции 
Рекомендуемая схема исследования
1. Найти область определения функции (ООФ). 
2. Определить точки разрыва функции, интервалы непрерывности и вертикальные асимптоты.
3. Исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность.
4. Исследовать пределы функции – на границах ООФ, в точках разрыва, найти уравнения асимптот.
5. Найти экстремумы функции и интервалы монотонности.
6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика.
7. Найти точки пересечения графика с осями координат.
8. Построить график.
9. Определить область значений (ОЗФ).
Описание слайда:
Общая схема исследования функции Рекомендуемая схема исследования 1. Найти область определения функции (ООФ). 2. Определить точки разрыва функции, интервалы непрерывности и вертикальные асимптоты. 3. Исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность. 4. Исследовать пределы функции – на границах ООФ, в точках разрыва, найти уравнения асимптот. 5. Найти экстремумы функции и интервалы монотонности. 6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика. 7. Найти точки пересечения графика с осями координат. 8. Построить график. 9. Определить область значений (ОЗФ).

Слайд 23





Асимптоты графика функции
Асимптота к графику функции y=f(x) – это прямая, к которой
приближается  точка M(x,y), лежащая на графике, в данном 
процессе: 
1. При неограниченном удалении ее от начала координат, при 
устремлении точки к границам области определения. Здесь
говорят о наклонной асимптоте  y=kx+b или ее частном случае
– горизонтальной асимптоте y=b
Величины  k и  b определяют по формулам
2. В точках разрыва второго рода, хр =a, говорят о вертикальной 
асимптоте x=a. Это прямая, параллельная оси Y, к которой 
приближается  точка M(x,y), лежащая на графике, при устремлении 
Точки  к точке разрыва.
Описание слайда:
Асимптоты графика функции Асимптота к графику функции y=f(x) – это прямая, к которой приближается точка M(x,y), лежащая на графике, в данном процессе: 1. При неограниченном удалении ее от начала координат, при устремлении точки к границам области определения. Здесь говорят о наклонной асимптоте y=kx+b или ее частном случае – горизонтальной асимптоте y=b Величины k и b определяют по формулам 2. В точках разрыва второго рода, хр =a, говорят о вертикальной асимптоте x=a. Это прямая, параллельная оси Y, к которой приближается точка M(x,y), лежащая на графике, при устремлении Точки к точке разрыва.

Слайд 24





Примеры исследования функции 
Пример1: Исследовать функцию у=(x-1)(x2-2x-2) =х3-3x2+2 
1.Область определения функции (-, +).
2. Точки разрыва – нет
3. Функция общего вида
4. Пределы функции: x->- y -> -  ; x -> y ->  Асимптот нет
5. Точки экстремума,  интервалы монотонности
Найдем стационарные точки. Для  этого найдем первую 
производную и приравняем ее нулю
у'(х)= Зх2-6х=Зх(х-2)=0. Стационарные точки х=0; х=2. Нанесем эти 
точки на числовую ось (рис.9), проанализируем знаки 
производной у'=Зх(х-2) вокруг стационарных точек. При переходе 
через х=0 производная меняет знак с + на -, х=0 – максимум; при 
переходе через х=2 производная меняет знак с – на + , х=2 – 
минимум
Описание слайда:
Примеры исследования функции Пример1: Исследовать функцию у=(x-1)(x2-2x-2) =х3-3x2+2 1.Область определения функции (-, +). 2. Точки разрыва – нет 3. Функция общего вида 4. Пределы функции: x->- y -> - ; x -> y ->  Асимптот нет 5. Точки экстремума, интервалы монотонности Найдем стационарные точки. Для этого найдем первую производную и приравняем ее нулю у'(х)= Зх2-6х=Зх(х-2)=0. Стационарные точки х=0; х=2. Нанесем эти точки на числовую ось (рис.9), проанализируем знаки производной у'=Зх(х-2) вокруг стационарных точек. При переходе через х=0 производная меняет знак с + на -, х=0 – максимум; при переходе через х=2 производная меняет знак с – на + , х=2 – минимум

Слайд 25






Пример 1 (продолжение). Исследуемая функция у = (x-1)(x2-2x-2) =х3-3x2+2 
х=0 – максимум ; y(0)  =2
х=2 – минимум ; y(2) = -2. 
В точке х=-0.5 y(-0.5)=9/8; в точке х=4 y(4)=18.
6. Точки перегиба. Определим вторую производную, приравняем
ее нулю. Получаем y’’=(3x2-6x)’ = 6x-6=0. точка перегиба x=1.
7. Найдем точки пересечения с осью х: х1=-0.73; х2 =0; х3=2.73
8. Построим качественный график









9. Область значений ОЗФ = (-, +).
Описание слайда:
Пример 1 (продолжение). Исследуемая функция у = (x-1)(x2-2x-2) =х3-3x2+2 х=0 – максимум ; y(0) =2 х=2 – минимум ; y(2) = -2. В точке х=-0.5 y(-0.5)=9/8; в точке х=4 y(4)=18. 6. Точки перегиба. Определим вторую производную, приравняем ее нулю. Получаем y’’=(3x2-6x)’ = 6x-6=0. точка перегиба x=1. 7. Найдем точки пересечения с осью х: х1=-0.73; х2 =0; х3=2.73 8. Построим качественный график 9. Область значений ОЗФ = (-, +).

Слайд 26






Пример 2. Исследуемая функция 
1. ООФ – (-,1) (1,+)
2. Точка разрыва хр =1. Интервалы непрерывности 
(-,1), (1,+). Вертикальная асимптота хр =1
3. Функция общего вида. Не является ни четной, ни нечетной, ни
периодической.
4.Определяем пределы:
 -на границах ООФ. Совместим исследование с поиском 
наклонной асимптоты y = kx + b. 






Уравнение наклонной асимптоты y = -x + 5
Описание слайда:
Пример 2. Исследуемая функция 1. ООФ – (-,1) (1,+) 2. Точка разрыва хр =1. Интервалы непрерывности (-,1), (1,+). Вертикальная асимптота хр =1 3. Функция общего вида. Не является ни четной, ни нечетной, ни периодической. 4.Определяем пределы: -на границах ООФ. Совместим исследование с поиском наклонной асимптоты y = kx + b. Уравнение наклонной асимптоты y = -x + 5

Слайд 27





Пример 2 (продолжение). Исследуемая функция 
Пример 2 (продолжение). Исследуемая функция 


Пределы в точке разрыва, справа х 1+ , слева х 1-



5. Определяем экстремумы функции. Для этого найдем 
производную, приравняем ее нулю, посмотрим знаки 
производной

                                                                                    

Характеристические точки х1=3; х2= -1. 
В окрестности точки x= -1 знак производной меняется с минуса
на плюс,x2= -1 – точка минимума и y(-1)=8. 
Нетрудно убедиться, что в точке x1=3 максимум, y(3)=0.
Описание слайда:
Пример 2 (продолжение). Исследуемая функция Пример 2 (продолжение). Исследуемая функция Пределы в точке разрыва, справа х 1+ , слева х 1- 5. Определяем экстремумы функции. Для этого найдем производную, приравняем ее нулю, посмотрим знаки производной Характеристические точки х1=3; х2= -1. В окрестности точки x= -1 знак производной меняется с минуса на плюс,x2= -1 – точка минимума и y(-1)=8. Нетрудно убедиться, что в точке x1=3 максимум, y(3)=0.

Слайд 28





 
 
Пример 2 (продолжение). Исследуемая функция


6. Определяем точки перегиба. Для этого находим вторую производную, приравниваем ее нулю. Точек перегиба функция не имеет, так как ее вторая производная нуля не имеет



 
На интервале (-,1) вторая производная положительна, и график выпуклый. На интервале (1,+) вторая производная отрицательная и график — вогнутый.
Описание слайда:
Пример 2 (продолжение). Исследуемая функция 6. Определяем точки перегиба. Для этого находим вторую производную, приравниваем ее нулю. Точек перегиба функция не имеет, так как ее вторая производная нуля не имеет На интервале (-,1) вторая производная положительна, и график выпуклый. На интервале (1,+) вторая производная отрицательная и график — вогнутый.

Слайд 29






Пример 2 (продолжение). Исследуемая функция


7. Точки пересечения функции с осями координат: (3,0) и (0,9)
8. График функции


9. Область значений (ОЗФ): (-,0] [8,+)
Описание слайда:
Пример 2 (продолжение). Исследуемая функция 7. Точки пересечения функции с осями координат: (3,0) и (0,9) 8. График функции 9. Область значений (ОЗФ): (-,0] [8,+)

Слайд 30





Пример 3. Исследуемая функция 
Пример 3. Исследуемая функция 

1. ООФ – вся числовая ось, ООФ=(-, +).
2. Точек разрыва нет; вертикальной асимптоты нет; интервал непрерывности (-, +).
3. Функция общего вида.
4. Пределы на границах ООФ определяем, совместив задачу с поиском асимптоты. 

Очевидно, ось х – горизонтальная асимптота
Описание слайда:
Пример 3. Исследуемая функция Пример 3. Исследуемая функция 1. ООФ – вся числовая ось, ООФ=(-, +). 2. Точек разрыва нет; вертикальной асимптоты нет; интервал непрерывности (-, +). 3. Функция общего вида. 4. Пределы на границах ООФ определяем, совместив задачу с поиском асимптоты. Очевидно, ось х – горизонтальная асимптота

Слайд 31





Пример 3 (продолжение). Исследуемая функция 
Пример 3 (продолжение). Исследуемая функция 
5. Найдем экстремум функции и интервалы монотонности.


Стационарная точка х=1 является точкой максимума функции, так
как при переходе через эту точку (слева направо) производная
меняет знак с плюса на минус.
Описание слайда:
Пример 3 (продолжение). Исследуемая функция Пример 3 (продолжение). Исследуемая функция 5. Найдем экстремум функции и интервалы монотонности. Стационарная точка х=1 является точкой максимума функции, так как при переходе через эту точку (слева направо) производная меняет знак с плюса на минус.

Слайд 32





Пример 3 (продолжение). Исследуемая функция
Пример 3 (продолжение). Исследуемая функция



6. Вычислим у" и найдем точки перегиба:




Вторая производная обращается в нуль при х=0 и при х=2. В обеих
этих точках происходит смена знака у", т.е. обе точки будут
точками перегиба. Функция в этих точках равна:
Описание слайда:
Пример 3 (продолжение). Исследуемая функция Пример 3 (продолжение). Исследуемая функция 6. Вычислим у" и найдем точки перегиба: Вторая производная обращается в нуль при х=0 и при х=2. В обеих этих точках происходит смена знака у", т.е. обе точки будут точками перегиба. Функция в этих точках равна:

Слайд 33





Пример 3 (продолжение). Исследуемая функция
Пример 3 (продолжение). Исследуемая функция


7. Точка пересечения с осью y(х=0):(0, exp(-0.5)) или (0, 0.606). 
Точек пересечения функции с осью х нет. 
8. График функции

9. Область значений (ОЗФ) (0, 1]
Описание слайда:
Пример 3 (продолжение). Исследуемая функция Пример 3 (продолжение). Исследуемая функция 7. Точка пересечения с осью y(х=0):(0, exp(-0.5)) или (0, 0.606). Точек пересечения функции с осью х нет. 8. График функции 9. Область значений (ОЗФ) (0, 1]



Похожие презентации
Mypresentation.ru
Загрузить презентацию