🗊Презентация Элементы теории ошибок измерений. Лекция №6

«Элементы теории ошибок измерений» Измерения и их ошибки Арифметическое среднее Оценка точности результатов непосредственных равноточных измерений Оценка точности функций измеренных величин Понятие об уравнивании результатов геодезических измерений  

1 Измерения и их ошибки Измерением называют процесс сравнения измеряемой величины с другой, принятой за единицу измерения известной величиной. Всякое измерение производят при наличии следующих пяти факторов: 1. объект измерения; 2. субъект измерения – наблюдатель; 3. мерный прибор; 4. метод измерения – совокупность правил и приемов при измерениях; 5. внешняя среда, в которой производят измерения.

Измерения: Измерения: равноточные; неравноточные.

Свойства случайных погрешностей: Свойства случайных погрешностей: для данного вида и условий измерений случайные погрешности не могут превышать по абсолютной величине некоторого предела; малые по абсолютной величине погрешности появляются чаще больших; положительные погрешности появляются так же часто, как и равные им по абсолютной величине отрицательные; среднее арифметическое из случайных погрешностей одной и той же величины стремится к нулю при неограниченном увеличении числа измерений.

Разность между результатом измерения некоторой величины l и ее истинным значением Х называют абсолютной (истинной) погрешностью: Разность между результатом измерения некоторой величины l и ее истинным значением Х называют абсолютной (истинной) погрешностью: Δ = l – Х. Отношение абсолютной погрешности измеряемой величины Δ к самой этой величине l называют относительной погрешностью:

2. Арифметическое среднее

3. Оценка точности результатов непосредственных равноточных измерений Под точностью измерений понимают качество измерений, определяющее близость их результатов к точному (истинному) значению измеряемой физической величины. Для оценки точности ряда измерений существует несколько критериев. 1. Средняя ошибка (V). Среднее арифметическое из абсолютных значений случайных ошибок называется средней ошибкой, т.е. V = [|∆i|] ⁄ n , где [|∆i|] = |∆1| + |∆2| + … + |∆n|

2. Вероятная ошибка. Вероятной ошибкой называется такое значение случайной ошибки, больше или меньше которого по абсолютной величине ошибки равновозможны. 2. Вероятная ошибка. Вероятной ошибкой называется такое значение случайной ошибки, больше или меньше которого по абсолютной величине ошибки равновозможны. Если все ошибки расположить в ряд по убывающим или возрастающим значениям абсолютных величин, то вероятная ошибка будет в середине этого ряда. Поэтому вероятную ошибку часто называют срединной. 3. Относительная ошибка равна отношению ошибки измерения к значению измеряемой величины.

4. Средней квадратической ошибкой называется величина, вычисляемая по формуле – корень квадратный из арифметического среднего квадратов истинных погрешностей: 4. Средней квадратической ошибкой называется величина, вычисляемая по формуле – корень квадратный из арифметического среднего квадратов истинных погрешностей: Формула Гаусса: т.е. [ ∆i²]= ∆1² + ∆2² + ∆3 ² +…+ ∆n² Поскольку истинное значение измеряемой величины Х не известно, то среднюю квадратическую погрешность т вычисляют по уклонениям υi отдельных результатов измерений li от арифметического среднего : υi = li - Через уклонения арифметического среднего среднюю квадратическую погрешность определяют по формуле Бесселя:

5. Предельная ошибка. Величина средней, вероятной или средней квадратической ошибки, только тогда характеризует точность измерений, если извест­но max допустимое значение этих ошибок при данных условиях измерений. Все измерения с ошибками > ∆пред отбрасывают как грубые и измерения повторяются заново. 5. Предельная ошибка. Величина средней, вероятной или средней квадратической ошибки, только тогда характеризует точность измерений, если извест­но max допустимое значение этих ошибок при данных условиях измерений. Все измерения с ошибками > ∆пред отбрасывают как грубые и измерения повторяются заново. Для теоретических расчетов ∆пред = 3т, на практике, учитывая ограниченное число измерений, принимают ∆пред = 2т. Случайные ошибки, превышающие предельную, считают грубыми, а результаты измерений, содержащие такие ошибки, бракуют.

4. Оценка точности функций измеренных величин В практике геодезических работ нередко искомые значения получают в результате вычислений как функции измеренных величин. В этом случае результаты будут содержать ошибки, значения которых зависят от вида функции и от ошибок аргумента. Для функций нескольких независимых величин z =f( x, y,…, t) определяют по формуле:

Например, если площадь треугольника была вычислена по формуле: , то средняя квадратическая ошибка определения площади будет вычисляться по формуле: Например, если площадь треугольника была вычислена по формуле: , то средняя квадратическая ошибка определения площади будет вычисляться по формуле:

5. Понятие об уравнивании результатов геодезических измерений Уравниванием называется совместная математическая обработка измерений, при которой выполняют контроль и оценку их качества, находят наиболее вероятные значения измеренных величин (углов, линий, превышений) и их функций (дирекционных углов, координат, высот).

Перед уравниванием измеренных величин выполняется оценка точности выполненных измерений в следующем порядке: Перед уравниванием измеренных величин выполняется оценка точности выполненных измерений в следующем порядке: Определяют невязку по правилу: практическое значение измеренной величины минус теоретическое (истинное). Сравнивают полученную невязку с предельно допустимым значением. Если полученная невязка меньше допустимого, то значит, что измерения выполнены с удовлетворительной точностью, находят поправки и распределяют их в измеренные величины, т.е. выполняют уравнивание. Если полученная невязка больше допустимого, то измерения содержат грубые ошибки, такие измерения устраняют.

Спасибо за внимание!