🗊Презентация Элементы теории вероятности и математической статистики

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

СОБЫТИЯ И ИСПЫТАНИЯ Предметом исследования в теории вероятностей являются события, появляющиеся при определенных условиях, которые можно воспроизводить неограниченное количество раз. Каждое осуществление этих условий называют испытанием

Примеры испытаний и событий Испытание – бросание игральной кости

Случайные события Событие называется случайным, если при одних и тех же условиях оно может как произойти, так и не произойти.

Примеры случайных событий Испытание – бросание игральной кости

Вероятность случайного события Степень объективной возможности случайного события можно измерять числом. Это число называется вероятностью случайного события. Около этого числа группируются относительные частоты данного случайного события

Абсолютная и относительная частота Пусть проведено n испытаний, в которых событие А произошло m раз. Число m называют абсолютной частотой или просто частотой события А. Отношение (A)= называют относительной частотой события А.

Статистическое определение вероятности Вероятностью события А в данном испытании называют число P(A), около которого группируются значения относительной частоты при большом числе испытаний n.

Совместимые и несовместимые события События A и B называются совместимыми, если появление одного из них не исключает появления другого. События A и B называются несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого (не могут наступить одновременно).

Примеры совместимых и несовместимых событий Испытание – бросание двух игральных кубиков

Противоположные события С каждым событием A связано противоположное событие В, состоящее в том, что событие A не осуществляется. Противоположные события, очевидно, несовместимы. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1

Примеры противоположных событий

Полной группой событий называется множество всех событий для данного испытания, если его результатом становится выполнение хотя бы одного из них . Полной группой событий называется множество всех событий для данного испытания, если его результатом становится выполнение хотя бы одного из них .

Примеры полных групп событий Испытание – бросание игральной кости

События образующие полную группу попарно несовместимых равновозможных событий называют элементарными. События образующие полную группу попарно несовместимых равновозможных событий называют элементарными. - полная группа событий для бросания игрального кубика, где элементарные события: - выпадение 1, - выпадение 2, - выпадение 2, - выпадение 3, - выпадение 4, - выпадение 5, - выпадение 6 очков.

Достоверные события Событие называется достоверным, если оно наступает всегда, при любом испытании. Вероятность достоверного события всегда равна 1.

Примеры достоверных событий Испытание – однократное бросание игральной кости

Невозможные события Событие называют невозможным, если оно не наступает никогда, то есть благоприятных исходов для него 0. Вероятность невозможного события равна 0 .

Примеры невозможных событий Испытание – бросание игральной кости

Независимые события Несколько событий А1, А2,…Аk называются независимыми в совокупности, если вероятность появления любого из них не зависит от того, произошли какие-либо другие рассматриваемые события или нет. В противном случае события называют зависимыми.

Примеры независимых событий

Сумма событий Суммой событий А и В называют событие С=А+В, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В

Пример суммы событий Испытание – стрельба двух стрелков (каждый делает по одному выстрелу) А – попадание в мишень 1 стрелка; В – попадание в мишень 2 стрелка; С=А+В – попадание в мишень хотя бы одним стрелком.

Произведение событий Произведением событий А и В называют событие С=АВ, состоящее в том, что в результате испытания произошло и событие А и событие В.

Пример произведения событий Испытание – стрельба двух стрелков (каждый делает по одному выстрелу) А – попадание в мишень 1 стрелка; В – попадание в мишень 2 стрелка; С=АВ – оба стрелка попали в мишень.

Теорема сложения вероятностей несовместимых событий Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Теорема умножения вероятностей независимых событий Вероятность произведения двух независимых равна произведению вероятностей этих событий Р(АВ)=Р(А)Р(В)

Теорема сложения вероятностей совместимых событий Вероятность суммы двух совместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Пример 1. В студенческой группе 25 человек. Пусть величина Х – число студентов, находящихся в аудитории перед началом занятий. Ее возможными значениями будут числа 0, 1, 2,…,25.      При каждом испытании (начало занятий) величина Х обязательно примет одно из своих возможных значений, т.е. наступит одно из событий Х = 0, Х = 1, …, Х = 25. Пример 1. В студенческой группе 25 человек. Пусть величина Х – число студентов, находящихся в аудитории перед началом занятий. Ее возможными значениями будут числа 0, 1, 2,…,25.      При каждом испытании (начало занятий) величина Х обязательно примет одно из своих возможных значений, т.е. наступит одно из событий Х = 0, Х = 1, …, Х = 25.

Закон распределения случайной величины Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения данной случайной величины.

Простейшая формой задания закона распределения дискретной случайной величины является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины (обычно в порядке возрастания) и соответствующие им вероятности. Такая таблица называется рядом распределения. Простейшая формой задания закона распределения дискретной случайной величины является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины (обычно в порядке возрастания) и соответствующие им вероятности. Такая таблица называется рядом распределения.

Допустим, что число возможных значений случайной величины конечно: х1, х2, …, хn. Допустим, что число возможных значений случайной величины конечно: х1, х2, …, хn. При одном испытании случайная величина принимает одно и только одно постоянное значение. Поэтому события Х = хi (i = 1, 2, … , n) образуют полную группу попарно независимых событий. Следовательно сумма вероятностей всех событий, р1  + р2 + …  + рn  = 1.

Математическое ожидание случайной величины Х указывает некоторое среднее значение, около которого группируются все возможные значения Х.

Математическое ожидание дискретной случайной величины Для дискретной случайной величины математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому ее значений (при достаточно большом числе испытаний): = n+…+-число испытаний, в которых величина принимала значения … соответственно … раз.

Для дискретной случайной величины, которая может принимать лишь конечное число возможных значений, математическим ожиданием называют сумму произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений: Для дискретной случайной величины, которая может принимать лишь конечное число возможных значений, математическим ожиданием называют сумму произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений: ++…+

Отклонение случайной величины Отклонением случайной величины X от ее математического ожидания называют случайную величину, равную разности этой величины и ее математического ожидания X -

Дисперсия случайной величины Дисперсия D(X) дискретной величины X равна разности между математическим ожиданием квадрата величины Х и квадратом ее математического ожидания: D(X)=M()-(X)

Среднее квадратичное отклонение Средним квадратичным отклонением случайной величины Х называют корень квадратный из ее дисперсии: =

Генеральная совокупность и выборка Пусть требуется изучить множество однородных объектов. Назовем это множество статистической совокупностью. Статистическая совокупность, из которой отбирается часть объектов называется генеральной совокупностью. Множество объектов, случайным образом отобранных из генеральной совокупности называют выборкой.

Объем генеральной совокупности и выборки Это соответственно число элементов генеральной совокупности и выборки. Если элементы в выборке не повторяются, то выборка называется бесповторной, иначе – выборкой с повторениями

Репрезентативная выборка Свойства объектов выборки должны правильно отражать свойства объектов генеральной совокупности, тогда выборка считается репрезентативной. Считается, что выборка репрезентативна, если все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.

Варианты. Вариационный ряд Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причём значения … наблюдались соответственно … раз. Наблюдаемые значения… называются вариантами, а последовательность вариант, записанная в возрастающем порядке – вариационным рядом.

Частоты Числа наблюдений … называются частотами, а их отношения к объему выборки – относительными частотами: ,…, / Сумма относительных частот равна 1.

Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им частот (или относительных частот). Для графического изображения статистического распределения используются полигоны и гистограммы.

Полигоны  Для построения полигона на горизонтальной оси   откладывают значения вариант, по вертикальной – относительные или абсолютные частоты.

 Гистограммы В случае большого числа вариант и в случае непрерывного распределения признака, строят гистограммы, разбивая вариационный ряд на интервалы.

Построение гистограмм Сначала вариационный ряд разбивается на несколько интервалов (чаще одинаковых). Интервалы откладываются на горизонтальной оси Затем над каждым из рисуется прямоугольник. Если все интервалы были одинаковыми, то высота каждого прямоугольника пропорциональна числу элементов выборки, попадающих в соответствующий интервал. Если интервалы разные, то высота прямоугольника выбирается таким образом, чтобы его площадь была пропорциональна числу элементов выборки, которые попали в этот интервал.

Гистограмма

Генеральная и выборочная средняя Генеральной средней называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности. Выборочной средней называется среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности =++…+)

Генеральная и выборочная дисперсия Генеральной дисперсией D называют среднее арифметическое квадратов отклонения значений признака X генеральной совокупности от средней генеральной. Выборочной дисперсией Dв называется среднее арифметическое квадратов отклонения значений признака X выборки от средней выборочной. =

Мода и медиана Модой выборки называется вариант, которому соответствует наибольшая частота. Медианой выборки называется значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений.

Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот: 1) сначала вычисляют полусумму частот n/2, то есть находят номер серединного элемента вариационного ряда. Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот: 1) сначала вычисляют полусумму частот n/2, то есть находят номер серединного элемента вариационного ряда. 2) затем определяют, какое значение варианта приходится на этот элемент ряда.

Например, если всего в выборке было n=60 элементов, то медианой будет то значение признака, которое приходится на n/2=30, то есть на 30-й элемент ряда. Например, если всего в выборке было n=60 элементов, то медианой будет то значение признака, которое приходится на n/2=30, то есть на 30-й элемент ряда.

 Функцией распределения случайной величины Х называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х, вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше х, т.е.      F(x) = p (X <x).

Функция распределения дискретной случайной величины F(x)=

График функции распределения дискретной случайной величины

Наиболее предпочтительной оценкой функции F(x) для выборки является выборочная функция распределения Fn(x), которая определяется следующим образом Наиболее предпочтительной оценкой функции F(x) для выборки является выборочная функция распределения Fn(x), которая определяется следующим образом где nx – число вариант меньших х , n – объем выборки.

Несмещённая оценка в математической статистике — это точечная оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру. Выборочная средняя является несмещенной оценкой математического ожидания.

Несмещенной оценкой дисперсии является исправленная дисперсия = =