🗊Презентация Энтропия классическая и квантовая

Энтропия классическая и квантовая Казанцева Владлена Владимировна 2-й год обучения, очная форма Веденяпин Виктор Валентинович 01.01.03 математическая физика

Выполнение учебно-методических планов

Мотивация H-теорема впервые была рассмотрена в работе Больцмана «Weitere Studien Uber das Warmegleichgewicht unter Gasmolekulen» (Перев. «Дальнейшие исследования теплового равновесия между молекулами газа» (М.: Наука, 1984. С. 125 - 189). Эту теорему Больцман связал с законом возрастания энтропии. Была проделана значительная работа по расширению классов уравнений, для которых справедлив закон возрастания энтропии в работах В.В. Веденяпина и С.З. Аджиева. Интересно продолжить подобную работу с конечными, компактными и локально компактными группами, определив аналог временного среднего и доказав совпадение временного среднего с экстремалями по Больцману на рассматриваемой группе.

Постановка задачи В работах Больцмана была введено понятие максимума энтропии при фиксированных линейных законах сохранения (экстремаль Больцмана). В работе Пуанкаре и Козлова-Трещова было показано, как выполняется закон роста энтропии для уравнений Лиувилля, а в работах одного из В.В.Веденяпина показано, что временные средние для уравнения Лиувилля совпадают с экстремалью Больцмана. Здесь мы доказываем это совпадение для представлений групп, вводя энтропию и изучая ее свойства в теории представлений. Пусть �� - конечная группа, �� : �� → ������(�� ) - представление группы, т.е. гомоморфизм �� в группу линейных преобразований линейного пространства �� (конечного или бесконечного). Будем обозначать действие элемента ��(��)�� просто ����. Назовем выпуклый функционал ��(��), �� ∈ �� энтропией представления �� группы ��, если ��(����) ≥ ��(��) ∀�� ∈ ��.

Методы решения Лемма 1. Энтропия сохраняется при действии ��: если ��(����) ≥ ��(��), то ��(����) = ��(��). Доказательство. ��(��) = ��(��−1����) ≥ ��(����), и мы доказали обратное неравенство, а потому и равенство. Введем понятие среднего (аналог временного среднего) для действия группы ��: Здесь |��| - количество элементов в группе. Лемма 2. Энтропия существует. Доказательство. Если ��(��) - произвольный выпуклый функционал, то - энтропия: ��(����) = ��(��). Теорема 1. (H-теорема для представлений групп). ��([��]) ≥ ��(��). Доказательство. Мы воспользовались выпуклостью ��(��). Это есть аналог теоремы Пуанкаре-Козлова-Трещова для уравнения Лиувилля.

Методы решения Через разложение фон Неймана-Рисса доказываем, что среднее [��] совпадает с проекцией �� на подпространство �� : [��] = ����(��), где �� ⊂ �� - линейное подпространство инвариантов: ��={��∈�� |����=��∀��∈��}. Обозначим через ���� множество векторов пространства �� таких, что их проекция на подпространство �� вдоль �� совпадает с проекцией на �� вектора ��. Пусть энтропия (строго выпуклый инвариантный при действии группы функционал) ��(��) имеет единственную точку максимума на ����. Эту точку, где достигается этот максимум, мы будем называть экстремалью Больцмана ��������(��): ���������� (��) = ��������������∈���� ��(��). Теорема 2. Среднее по группе [��] элемента �� совпадает с экстремалью Больцмана [��] = ����(��) = ��������(��). Доказательство. Заметим, что все элементы ���� имеют одно и то же среднее, а значит, в частности, среднее вектора �� совпадает со средним для вектора ��������(��): [��] = [��������(��)]. Ясно, что [��] ∈ ����, а значит, ��(��������(��)) ≥ ��([��]). Но в силу теоремы 1, ��(��������(��)) ≤ ��([��������(��)]) = ��([��]). А значит, имеет место равенство ��(��������(��)) = ��([��]) и таким образом, теорема доказана в силу единственности точки максимума.

Полученные результаты Для представлений конечных групп определено понятие энтропии и временного среднего; доказано совпадение временных средних и экстремалей Больцмана.

План на очередной год В случае групп R и Z соответствующие результаты опираются на конструкции фон Неймана и Рисса. Представляет интерес обобщение этих результатов на более общие группы. Особый интерес представляет группа R, случай уравнения Лиувилля для динамических систем и группа Z - случай отображений. В этих примерах из совпадения временного среднего и экстремали Больцмана следует, в частности, что эргодические компоненты есть линии уровня совместных законов сохранения, но законы сохранения - из ��2. Поэтому встаёт вопрос о выборе минимального функционального базиса за- конов сохранения. Здесь можно предположить, что существует локаль- но базис гладких законов сохранения, но если его дополнить кусочно-постоянными законами сохранения, то результат может быть и глобальным. Интересно исследовать, насколько такая гипотеза оправдана, а также проследить разницу между аналитическими дифференциальными уравнениями и гладкими с этой точки зрения. Помимо этого планируется продолжить исследование принципа соответствия Ландау-Лившица для задачи уравнения Шредингера для дискретной квантовой механики Фейнмана.

Спасибо за внимание!