🗊Презентация Ещё идут старинные часы (задачи по математике)

Ещё идут старинные часы

Задачи , которые приводятся в этой подборке- самые разные как по уровню сложности , так и по подходам к решению. Единственное , что их «роднит»,- в условиях задач обязательно встречается слово «часы».Задачи эти редкие . Источники условий задач – всевозможные сборники и пособия для кружковой работы со школьниками, журнал «Квант» , газета «Математика» , материалы различных олимпиад . В том случае когда источник известен , приводится ссылка на него , но некоторые задачи перешли в разряд «фольклорных» , и сослаться на автора или источник нет возможности.

Задача №1 Задание: Ежедневно Он подходил к городским часам в 4 часа . Она же приходила туда , когда воображаемая биссектриса между часовой и минутной стрелками проходила через цифру 6 . Когда приходила Она?

Решение По условию углы 1 и 2 равны . Так как часовая показывает время между 4 и 5 часами , то минутная стрелка расположена между цифрами 7 и 8, то есть искомое время между 4ч35мин и 4 ч40мин. Уточняя , получим , что часовая стрелка находится между 4 7/12 ч и 4 8/12 ч. В силу симметрии для показания t минутной стрелки получим следующее неравенство 35+5*7/12<t<35+5*8/12 или 37 11/12<t<38 4/12 Таким образом , искомое время 4 ч 38 мин Ответ: в 4 ч 38 мин

Задача №2 Задание: Куранты бьют 6 раз за 30 с. Сколько секунд они бьют 12 раз? Решение: Промежуток между боем часов равен 30/6-1=6 с. Тогда 12 раз часы бьют в течении 6*(12-1)=66 с. Ответ: 66 секунд

Задача №3 Задание: Когда секундная стрелка на часах прошла 1 с, минутная стрелка прошла 6 мин. Тем не менее часы исправны. Как это объяснить? Решение: Речь идёт о секунде времени и угловых минутах. Действительно, за 1 ч минутная стрелка проходит 360°, за 1 мин-6°, а за 1 с в 60 раз меньше, то есть 6 угловых минут.

Задача №4 Задание: Сколько раз в сутки стрелки часов совпадают? Решение: Начнём с положения 12:00 или 00:00. В течение первого часа минутная стрелка, пройдя круг, ни разу не совпадёт с часовой. Затем минутная стрелка будет совпадать с часовой один раз в течение каждого часа (примерно в 13:05, в 14:10 и т.д.). За двенадцатый час минутная стрелка совпадёт с часовой лишь в 12:00, но эту точку мы отнесли к следующему кругу. Значит, всего стрелки совпадают лишь одиннадцать раз за полный оборот часовой стрелки, а в сутки-22 раза. Ответ: 22 раза

Задача №5 Задание: Сколько раз в сутки стрелки часов направлены противоположно(то есть угол между ними равен 180°)? Решение: Начиная с 6:00 стрелки направлены противоположно первый раз в 6:00, во второй раз, около 7:05, в третий раз, около 08:10,…,в десятый раз, около 3:49, в одиннадцатый раз, около 4:54, в двенадцатый раз- в 6:00, но это уже было первый раз. Итого: одиннадцать раз за 12 часов, а в сутки – 22 раза Ответ:22 раза

Задача №6 Задание: Сколько раз в сутки стрелки часов перпендикулярны? Решение. Пусть но кратчайшей дуге стрелки уда­ляются (минутная стрелка дальше по ходу стрелок). Тогда, начиная с 12:00, стрелки перпендикулярны в первый раз, когда часовая стрелка расположена в промежутке от 12:00 до 1:00, во второй раз — от 1:00 до 2:00 и т.д.; всего 11 раз за полный оборот часовой стрелки, то есть в сутки — 22 раза. Пусть, наоборот, стрелки часов сближаются. Рассуждая аналогично, получим — 22 раза в сутки. В итоге: 44 раза стрелки перпендикулярны. Ответ: 44 раза.

Задача №7 Задание: Часы показывают 14:00. Через сколько минут минутная стрелка догонит часовую? Решение. Пусть х — искомое время (в часах), ско­рость минутной стрелки — 1 оборот в час, скорость часовой стрелки -1/12 оборота в час. За х ч минутная стрелка пройдет x оборотов, а часовая x/12 оборота, но для того, чтобы стрелки совпали, путь, пройденный минутной стрелкой, должен быть на 2/12 оборота больше. Получим уравнение x-1/12x=2/12, решив которое найдем х = 2/11 ч, то есть 120/11 мин, или 10 10/11 мин. Ответ: через 10 10/11 мин.

Задача №8 Задание: Одни часы отстают на 6 мин, а другие спешат на 3 мин в сутки. Сейчас их показания совпадают. Через сколько суток они снова совпадут? Решение. Одни часы отстают на б мин, другие спе­шат на 3 мин в сутки. Значит, за одни сутки расхож­дение увеличивается на 9 мин и через некоторое вре­мя составит 12 ч и не будет распознано. Чтобы уз­нать, когда это произойдет, нужно 12 ч разделить на 9 мин, результат — 80 суток. Ответ: через 80 суток.

Задача №9 Задание (Задача аналогична задаче 1, но способ реше­ния другой.) Через сколько минут после полудня биссектриса между часовой и минутной стрелками укажет на 13 мин?

Решение Пусть а — угол между 12:00 и часовой стрелкой, В — угол между 12:00 и минутной стрел­кой (рис. 2); тогда угол между 12:00 и биссектрисой угла равен а+в/2= 6° • 13 (за 1 мин положение стрелки изменяется на 6°). Так как минутная стрелка идет в 12 раз быстрее , то в=12а, и а+12а/2=78°, откуда а=12°, в=144°, что соответствует 2/5 ч, или 24 мин Ответ: через 24 мин

Задача №10 Задание: Сейчас стрелки часов совпадают. Через сколь­ко минут угол между ними будет 180°? Решение. Пусть скорость часовой стрелки — х, тогда скорость минутной стрелки — 12.x, а скорость удаления стрелок друг от друга — 11х, у — время в минутах, при котором выполняется равенство 11ху =30 мин. Найдем, чему равно значение 12ху, то есть сколько времени потребовалось минутной стрелке, чтобы преодолеть угол в 180°. 12xy=12/11*30=360/11 мин что составляет 32 8/11 мин. Ответ: через 32 8/11 мин.

Задача №11 Задание: Электронные часы показывают время ab:cd:ef, a-f — произвольные цифры от нуля до девяти. Сколь­ко раз в сутки показания часов представлены двумя цифрами, каждая из которых повторяется три раза? Решение. 1-й случай. Варианты этого случая: 00:ХХ:ХХ, 11:ХХ:ХХ и 22:ХХ:ХХ, X — неизвест­ная цифра. Первые две цифры зафиксированы, тре­тья цифра (0, 1 или 2) может расположиться в четы­рех позициях, и так как 1 < X < 6, то число комбина­ций будет 3-4-5, то есть 60 вариантов.

Задача №11.Продолжение 2-й случай. Теперь рассмотрим варианты ab:XX:XX, где а ≡{0; 1}, 6 ≤ b ≤ 9; таких вариантов восемь, в каждом только одна комбинация ab:ab:ab, так как цифра больше 5 не может представлять десятки минут или секунд. 3-й случай. Все остальные варианты (их 13): ab:XX:XX, где а ≡ {0; 1; 2}, 0 < b < 5, могут иметь следующий вид: ab:aa:bb; ab:ab:ab; ab:ab:ba; ab:ba:ab; ab:ba:ba; ab:bb:aa. Всего возможно 6 • 13 = 78 вариантов. Таким образом, общее количество вариантов составляет 60 + 8 + 78, или 146. Ответ: 146 вариантов.

Задача №12 Задание: На электронных часах высвечивается время: часы и минуты. Сколько времени в сутки на их табло присутствует хотя бы одна цифра 2? Найдите соответствующее время для остальных цифр: 0, 1, 3, 4, ...,9.

Решение Решение. На первом месте цифра 2 бывает в течение 4 часов от 20:00 до 00:00. В остальные 20 часов она бывает: а) 2 часа на втором месте — от 2:00 до 3:00 и от 12:00 до 13:00; б) в оставшиеся 18 ч цифра 2 бывает на третьем месте по 10 мин каждый час; в) а остальные 50 мин часа еще по 5 мин — на четвертом месте. Итого, по 15 мин в каждый из 18 часов, то есть 4 ч 30 мин. Всего получаем 4 + 2 + 4,5 = 10,5 ч. Рассуждая аналогично, получим время показа цифры на табло для всех случаев. Ответ: для цифры 2 — 10,5 ч; 0 и 1 — по 16 ч; 3 — 8,25 ч; 4 и 5 — по 7,5 ч; для остальных — по 4,2 ч.

Задача №13 Задание Разделите циферблат часов на равные (по сумме чисел) части. Приведите все способы. Решение. Сумма всех чисел на циферблате равна 78. Найдем такую комбинацию х * у=78, где х и у — натуральные числа, х > 12 (поскольку число 12 так­же входит в какую-то часть), у > 1 — число частей. Воспользуемся тем, что 78 - 2 • 3 • 13. Варианты: 1) х « 39, у - 2; 2) х = 26, у - 3; 3) х - 13, у =6.

Задача №14 Задание: Сколько раз в сутки угол между стрелками часов равен данному углу а? Решение. 1. Случай, когда а = 0 (стрелки совпадают), рассмотрен в задаче 4. 2.Случай, когда а = 180°, рассмотрен в задаче 5. 3.Рассмотрим случай, когда а отличается от крайних значений, то есть 0 < а < 180°.

Решение а) Пусть по кратчайшей дуге стрелки удаляются (минутная стрелка дальше по ходу). Тогда (начиная с 12:00) угол между стрелками будет равен а в первый раз, когда часовая стрелка расположена в промежутке от 12:00 до 1:00, во второй раз — от 1:00 до 2:00 и т.д., всего 11 раз за оборот часовой стрелки, или 22 раза в сутки. б) Пусть, наоборот, стрелки часов сближаются. Рассуждая аналогично, получим еще 22 раза в сутки. В итоге, всего за сутки угол между стрелками будет равен (х 44 раза. Частный случай этой задачи рассмотрен в задаче 6. Ответ: 22 раза при а равном 0 или 180° и 44 раза при других значениях а.

Задача №15 Задание: Имеются песочные часы на 3 мин и на 5 мин. Отмерьте с их помощью промежуток времени в 1 мин. Решение. Запустим часы одновременно. Когда пройдут 3 мин, перевернем эти часы, начнем новый отсчет времени. Когда пройдут 5 мин, на трехминут­ных часах к этому времени останется песка ровно на 1 мин. Конец отсчета времени — когда «остановят­ся» трехминутные часы. Действительно, 2*3-5 = 1. Замечание. Можно рассмотреть эту задачу в об­щем виде: пусть первые часы на х мин, вторые — на у мин. Отмерить z мин. Решение этой задачи сводит­ся к решению диофантова уравнения z=nx- mу.

Задача №16 Задание: (Задача заочной олимпиады для абитуриентов мехмата МГУ, 1999 г.) Минутную стрелку обломили так, что она перестала отличаться от часовой. Сколь­ко раз в сутки можно ошибочно считать время с ча­сов с такими стрелками, если при этом не разрешает­ся наблюдать за ходом часов?

Решение Разобьем циферблат на 12 часовых секторов (рис. 4). Пусть а — угол между часовой стрелкой и лучом, направленным к началу сектора, в котором находится часовая стрелка, (в — угол между минутной стрелкой и лучом, направленным к началу сектора, в котором находится минутная стрелка; оба угла измеряются в долях от величины сектора в 30°, значения а и в находятся в интервале [0; 1). Обозна­чим: п — номер сектора, в котором находится часовая стрелка, т — номер сектора, в котором находится минутная стрелка, тип — целые числа от 1 до 12.

Решение Те случаи, когда часовую и минутную стрелки можно перепутать, описываются уравнениями в - 12а - (m - 1), а = 12в - (n - 1), откуда находим а=(12(m-1)+(n-1))/143 Учитывая область значений т и n, получим, что за 12 часов возможны 12*12, или 144 случая. Исключим те случаи, когда стрелки часов совпадают, следовательно, время перепутать нельзя. При m = n значения а и в совпадают и показания часов считываются однозначно. Таких случаев 12. Значит, за 12 часов стрелки можно перепутать 132 раза, а за сутки — 264 раза.

Решение Эту задачу можно решить «на пальцах». Сосчитаем такие положения за 1 час, начиная с 12:00. В пер­вый раз можно ошибочно считать время примерно в 12:06, во второй раз — в 12:11 и т.д., всего 11 раз. За каждый последующий час можно ошибочно считать время по 11 раз, всего 132 раза. Таким образом, в сутки можно ошибиться 264 раза. Ответ: 264 раза.

Задача №18 Задание: Один чудаковатый часовщик смастерил странные часы. От полуночи до часу ночи они шли нормально, показывая верное время, но затем часовая стрелка начинала идти со скоростью минутной, а минутная — со скоростью часовой. Через час стрелки вновь менялись скоростями, и так каждый час. Укажите все моменты времени, когда часы показывают верное время.

Решение Отметим показания часов через каждый час после полуночи: 00 ч 00 мин, 1 ч 00 мин, 1 ч 05 мин, 2 ч 05 мин, 2 ч 1.0 мин и т.д. Таким образом, начало нечетного часа (2k - 1) будет показано как (k - 1) ч 5(k - 1) мин, а начало четного часа 2k будет показано как k ч 5(k - 1) мин. Через 24 ч обе стрелки совпадут на отметке 12. Первый час часы показывают верное время, затем каждый нечетный час они идут с пра­вильными скоростями стрелок из неправильного по­ложения и потому не могут показывать верное вре­мя. Рассмотрим положения стрелок во время четного часа. Через x мин часовая стрелка будет показывать k +x/5 а минутная — 5(k - 1) + x/12. На «нормальных» часах в это время часовая стрелка будет показывать 2k - 1 + x/60, а минутная — х мин. Если «сумасшедшие» часы показывают верное время, то k+x/5=2k-1+x/60 и 5(k-1)+x/12=x

Решение Оба уравнения дают одно и то же решение: x=(60(k-1))/11.Таким образом, «сумасшедшие» часы показывают верное время в течение часа с 00 ч 00 мин и еще в 10 моментов времени: 3ч 60/11 мин , 5ч 120/11 мин ,…,21ч 600/11мин. Ответ: 3ч 60/11 мин , 5ч 120/11 мин ,…,21ч 600/11мин.

Задача №18 Задание: В 12:00 будильник установили правильно, и он пошел, отставая на 1 мин в час. Когда этот бу­дильник показал 13:00, его завели, но после этого он почему-то стал спешить на 1 мин в час. Какое время будет на самом деле в момент, когда этот будильник покажет 14:00? Решение. Так как сначала будильник отставал на 1 мин в час, то его скорость была 59/60 от нормальной, значит, 13:00 будильник показал в 13 и 1/59 ч, или в 13 ч 60/59 мин. Затем будильник спешил на 1 мин в час , и скорость его была 60/59 от нормальной , значит , 14:00 он показал через 59мин от предыдущего завода , то есть в 14ч и 1/59 мин. Ответ: 14 ч 1/59 мин.

Задача №19 Задание: (Предлагалась на городской олимпиаде по математике в 2002 г.: в условии нет слова «часы», но к измерению времени задача имеет прямое отношение.) Как с помощью двух бикфордовых шнуров, которые горят неравномерно, но ровно одну минуту каждый, отмерить интервал времени продолжительностью 45 с? Решение. К сожалению, длина шнура измеряется не в единицах длины, а в «секундах горения», и мы не можем воспользоваться ножницами для определения середины шнура. Временной интервал в 30 с можно измерить, если поджечь шнур с двух сторон, а 15 с, если поджечь с двух сторон половину шнура (в единицах продолжительности горения!). Итак, процедура получения интервала в 45 с будет такая: 1) зафиксировать время t1: первый шнур поджечь с двух сторон, второй — только с одной; 2) в момент времени, когда первый шнур прогорит полностью, поджечь с другой стороны второй шнур; зафиксировать время t окончания горения второго шнура; t2 – t1 = 45 с.

Кириллов Виталий