🗊Презентация Фундаментальная система решений (ФСР)

Лекция №8 .

Фундаментальная система решений (ФСР) Определение. Фундаментальной системой решений (ФСР) однородной системы линейных уравнений называется любой базис пространства решений этой системы. .

Теорема 4. Пусть однородная система линейных уравнений приведена к виду: Теорема 4. Пусть однородная система линейных уравнений приведена к виду: (2) где r – ранг матрицы . Если D – произвольный определитель n – r порядка отличный от нуля, то беря компоненты его строк в качестве значений свободных переменных и решая каждый раз получившуюся невырожденную систему, получим n – r решений системы (2), образующих ФСР. Любую фундаментальную систему решений системы (2) можно получить описанным способом из некоторого определителя отличного от нуля.

Пример. Найти ФСР и общее решение следующей системы: Пример. Найти ФСР и общее решение следующей системы:

Определение. Вектором называется направленный отрезок прямой, т.е. множество точек прямой, заключенных между фиксированными точками A и B с указанием направлений (Будем обозначать ). Определение. Вектором называется направленный отрезок прямой, т.е. множество точек прямой, заключенных между фиксированными точками A и B с указанием направлений (Будем обозначать ). Определение. Длина вектора называется его модулем и будет обозначаться . Вектор , начало и конец которого совпадают, называется нулевым. Его модуль равен нулю. Нулевой вектор не имеет определенного направления. Определение. Два вектора называются равными, если они параллельны, одинаково направлены и имеют одинаковую длину

Линейные операции над векторами Сложение векторов. Определение. Суммой векторов и называется такой вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора , при условии, что начало вектора приложено к концу вектора (обозначаем ).

Свойства операции сложения векторов: Свойства операции сложения векторов: (коммутативность); (ассоциативность). 2. Вычитание векторов. Определение. Разностью векторов и называется вектор , такой, что (обозначаем ). Построение вектора :

3. Умножение вектора на скаляр. 3. Умножение вектора на скаляр. Определение. Произведением вектора на число называется вектор, параллельный вектору , направленный, как , если , и противоположно, если , и имеющий длину (обозначаем ). Свойства произведения вектора на число. , и любого вектора (ассоциативность умножения на число). , и любого вектора (дистрибутивность относительно сложения чисел). и любых векторов и (дистрибутивность относительно сложения векторов).

Проекция вектора Определение. Проекцией вектора на заданную ось l называется величина отрезка , где и - проекции точек и на ось l (обозначаем ).

Теорема 1. Проекция вектора на какую-либо ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла наклона вектора к оси, т.е. Теорема 1. Проекция вектора на какую-либо ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла наклона вектора к оси, т.е. Теорема 2. Проекция суммы векторов на какую-нибудь ось равна сумме проекций слагаемых векторов на эту ось

Координаты векторов Введем в пространстве декартову прямоугольную систему координат , которая состоит из фиксированной точки O – начала координат и трех взаимно перпендикулярных прямых OX – ось абсцисс, OY – ось ординат, OZ – ось аппликат.

Возьмем произвольный вектор , параллельным переносом совмещаем начало вектора с точкой O, а конец обозначим M. Вектор называется радиус-вектором точки M. Пусть координаты точки M будут соответственно , , , . Возьмем произвольный вектор , параллельным переносом совмещаем начало вектора с точкой O, а конец обозначим M. Вектор называется радиус-вектором точки M. Пусть координаты точки M будут соответственно , , , .

Направляющие косинусы Обозначим углы, которые образует вектор с координатными осями, соответственно через , . Тогда , , , т.к. , то

При этом , , - называются направляющими косинусами вектора . Легко показать, что: При этом , , - называются направляющими косинусами вектора . Легко показать, что:

Разложение вектора по ортам Построим тройку векторов , ,, удовлетворяющих следующим условиям: начало каждого из них лежит в начале координат; по модулю они равны единице: ; вектор направлен по оси абсцисс, - по направлению оси ординат, - по направлению оси аппликат. Эти вектора называются ортами.

Скалярное произведение векторов Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними (обозначаем (, )).

Свойства скалярного произведения Для любых векторов выполняется: свойство коммутативности. Для и любых векторов выполняется: Для любых векторов и выполняется: свойство дистрибутивности. Для любого вектора

Теорема 5. Если и , то Теорема 5. Если и , то

Приложения скалярного произведения Задача 1. Найти угол между ненулевыми векторами и .

Задача 2. Найти проекцию вектора на вектор . Задача 2. Найти проекцию вектора на вектор . Пример 2. Пусть и . Найти