🗊Презентация Функции комплексного переменного. (Лекция 2)

ПЛАН 1. Основные понятия. 2. Предел и непрерывность ФКП. 3. Основные элементарные функции комплексного переменного и их свойства.

1. Основные понятия 1. Основные понятия Пусть даны два множества и , элементами которых являются комплексные числа. Числа множества будем изображать точками комплексной плоскости , а числа множества - точками комплексной плоскости Если каждому числу по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное число то говорят, что на множестве определена однозначная функция комплексного переменного , отображающая множество в множество .

Если каждому соответствует несколько значений то функция называется многозначной. Если каждому соответствует несколько значений то функция называется многозначной. Множество называется областью определения функции ; множество всех значений , которые принимает на , называется областью значений этой функции (если же каждая точка множества является значением функции, то – область значений функции; в этом случае функция отображает на В дальнейшем будем рассматривать такие функции , для которых и являются областями (обладают свойствами открытости и связности).

Точка называется внутренней точкой множества если существует такая – окрестность этой точки, что все точки из этой окрестности принадлежат множеству . Точка называется внутренней точкой множества если существует такая – окрестность этой точки, что все точки из этой окрестности принадлежат множеству . Точка называется внешней точкой множества если существует такая – окрестность этой точки, что все точки из этой окрестности не принадлежат множеству . Точка называется граничной точкой множества если в её любой – окрестность содержатся как точки принадлежащие так и не принадлежащие множеству . Совокупность всех граничных точек множества называется границей множества .

Множество называется открытым, если оно состоит только из внутренних точек. Множество называется открытым, если оно состоит только из внутренних точек. Множество называется замкнутым, если кроме внутренних точек оно содержит и все свои граничные точки. Если область ограничена замкнутой не самопересекающейся линией , то она называется односвязной. Если область ограничена двумя замкнутыми не пересекающимися и не самопересекающимися линиями и , то она называется двусвязной. Если вырождается в точку или в непрерывную дугу, то область все равно двусвязная.

Функцию можно записать в виде Функцию можно записать в виде , т.е. где – действительная часть функции , а - мнимая часть функции Таким образом, задание функции комплексного переменного равносильно заданию двух функций двух действительных переменных. Пример. Найти действительную и мнимую части функции .

2.Предел и непрерывность ФКП. 2.Предел и непрерывность ФКП. Пусть однозначная функция определена в некоторой окрестности точки исключая, может быть саму точку . Число А называется пределом функции в точке , если для любого положительного найдется такое положительное число , что для всех удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство Записывают: Из определения следует, что если предел А существует, то существуют и пределы и . Верно и обратное утверждение.

Теоремы об арифметических свойствах пределов для функций одного (или нескольких) действительного переменного остаются справедливыми и для функции комплексного переменного. Теоремы об арифметических свойствах пределов для функций одного (или нескольких) действительного переменного остаются справедливыми и для функции комплексного переменного. Пусть функция определена в точке и в некоторой ее окрестности. Функция называется непрерывной в точке , если Функция непрерывна в области , если она непрерывна в каждой точки этой области.

3. Основные элементарные функции комплексного переменного. 3. Основные элементарные функции комплексного переменного. Показательная функция Показательная функция определяется формулой Если то (формула Эйлера). Свойства показательной функции: 1) Если , то 2) 3) периодическая функция с периодом . (доказать самостоятельно)

Из формулы Эйлера следуют равенства: Из формулы Эйлера следуют равенства: Докажем второе равенство. Из второй формулы видно, что показательная функция комплексного переменного не всегда больше нуля.

Логарифмическая функция Логарифмическая функция Логарифмическая функция определяется как обратная функция к показательной функции . Так как то логарифмическая функция определена на всей плоскости , кроме точки (выражение имеет смысл). Чтобы найти логарифм, нужно решить уравнение относительно Пусть Подставим в уравнение, получим ; тогда , а Следовательно Т.о..

Логарифмическая функция многозначная. Логарифмическая функция многозначная. (Почему?) Однозначную ветвь этой функции можно выделить, подставив в формулу определенное значение к. Положив к=0, получим однозначную функцию, которая называется главным значением логарифма и обозначается символом , где Свойства логарифмической функции: 1) ; 2) ; 3) 4)

Степенная функция Степенная функция Если п-натуральное число, то степенная функция определяется равенством . Функция - однозначная. Если то в этом случае ,где Здесь функция есть многозначная(-значная) функция. Если , то степенная функция определяется равенством . Функция - многозначная.

Степенная функция с произвольным комплексным показателем определяется равенством Степенная функция с произвольным комплексным показателем определяется равенством . Функция определена для всех является многозначной функцией. Так, где . При имеем: .

Тригонометрические функции Тригонометрические функции Тригонометрические функции комплексного аргумента определяются равенством , , При действительных эти определения приводят к тригонометрическим функциям действительного переменного. Тригонометрические функции комплексного переменного сохраняют многие свойства тригонометрических функций действительного переменного. и т.д.

Гиперболические функции Гиперболические функции Эти функции определяются равенствами , , Заменяя в указанных функциях на , получим: или Пользуясь этим равенствами можно получить ряд формул, связывающих гиперболические функции. Так заменяя в формуле тригонометрические функции гиперболическими, получим Из определения гиперболических функций следует, что функции и периодические с периодом функции , и имеют период

Обратные тригонометрические функции Обратные тригонометрические функции Число называется арксинусом числа , если и обозначается . Используя определение синуса, получим: (фун-я мнгоозначная). Можно показать, что , Спасибо за внимание!