Функции нескольких переменных, область определения. Частные производные. Полный дифференциал. Лекция №1-2

Нажмите для полного просмотра!

Функции нескольких переменных, область определения. Частные производные. Полный дифференциал. Лекция №1-2, слайд №2

Функции нескольких переменных, область определения. Частные производные. Полный дифференциал. Лекция №1-2, слайд №3

Функции нескольких переменных, область определения. Частные производные. Полный дифференциал. Лекция №1-2, слайд №4

Функции нескольких переменных, область определения. Частные производные. Полный дифференциал. Лекция №1-2, слайд №5

Функции нескольких переменных, область определения. Частные производные. Полный дифференциал. Лекция №1-2, слайд №6

Функции нескольких переменных, область определения. Частные производные. Полный дифференциал. Лекция №1-2, слайд №7

Функции нескольких переменных, область определения. Частные производные. Полный дифференциал. Лекция №1-2, слайд №8

Функции нескольких переменных, область определения. Частные производные. Полный дифференциал. Лекция №1-2, слайд №9

Функции нескольких переменных, область определения. Частные производные. Полный дифференциал. Лекция №1-2, слайд №10

Функции нескольких переменных, область определения. Частные производные. Полный дифференциал. Лекция №1-2, слайд №11

Функции нескольких переменных, область определения. Частные производные. Полный дифференциал. Лекция №1-2, слайд №12

Функции нескольких переменных, область определения. Частные производные. Полный дифференциал. Лекция №1-2, слайд №13

Функции нескольких переменных, область определения. Частные производные. Полный дифференциал. Лекция №1-2, слайд №14

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Функции нескольких переменных, область определения. Частные производные. Полный дифференциал. Лекция №1-2. Доклад-сообщение содержит 14 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Функции нескольких переменных, область определения. Частные производные. Полный дифференциал.

Слайд 2

Описание слайда:

Если каждой паре (х,у) значений двух не зависимых друг от друга переменных величин х и у из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных х и у, определенная в области D: Если каждой паре (х,у) значений двух не зависимых друг от друга переменных величин х и у из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных х и у, определенная в области D: Примеры. 1) Площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых равны х и у , выражается формулой . Каждой паре значений х и у соответствует определенное значение площади S, т.е. S есть функция двух переменных. 2) Объем V прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны x, y, z выражается формулой . В данном примере V является функцией трех переменных.

Слайд 3

Описание слайда:

Совокупность пар (х; у) значений х и у , при которых определяется функция , называется областью определения или областью существования этой функции. Обозначение: D(z) или D(f). Совокупность пар (х; у) значений х и у , при которых определяется функция , называется областью определения или областью существования этой функции. Обозначение: D(z) или D(f). Область определения наглядно иллюстрируется геометрически: если каждую пару значений х и у мы будем изображать точкой M(x;y) в плоскости Оху, то область определения функции изобразится в виде некоторой совокупности точек на плоскости. Эту совокупность точек будем называть также областью определения функции. Линию, ограничивающую данную область будем называть границей области. Точки области, не лежащие на границе, называются внутренними точками области. Область, состоящая только из внутренних точек области называется открытой или незамкнутой. Если же к области относятся и точки границы, то область называется замкнутой.

Слайд 4

Описание слайда:

Примеры. Найти области определения следующих функций: Примеры. Найти области определения следующих функций: 1) 2) 3) Решение. 1) D(z): 2) D(z): 3) D(z): y y -2 2 x x x

Слайд 5

Описание слайда:

Рассмотрим функцию , определенную в области D на плоскости Оху. Рассмотрим функцию , определенную в области D на плоскости Оху. z В каждой точке (х;у) восставим перпендикуляр к плоскости Оху и на нем отложим отрезок, равный Тогда мы получим в пространстве точку Р с координатами у Геометрическое место точек Р, координаты которых удовлетворяют уравнению , называется графиком D функции двух переменных . График функции двух переменных представляет собой некоторую поверхность, проектирующая на плоскость Оху в область определения функции. Пример. Графиком функции z является параболоид вращения. y x

Слайд 6

Описание слайда:

Пусть задана функция . Пусть задана функция . Дадим переменной х приращение , а переменную у оставим без изменения, тогда функция z получит приращение, которое называется частным приращением функции z по переменной х и обозначается : Аналогично определяется частное приращение функции z по у: Если обе переменные получают приращения и , то функция z получит приращение, которое называется полным приращением функции z и определяется равенством:

Слайд 7

Описание слайда:

Частной производной функции z по переменной х называется предел отношения частного приращения функции z по переменной х к приращению переменной х когда приращение переменной х стремится к нулю: Частной производной функции z по переменной х называется предел отношения частного приращения функции z по переменной х к приращению переменной х когда приращение переменной х стремится к нулю: Частная производная функции z по переменной х – это производная, вычисленная при условии, что у является постоянной величиной. Частной производной функции z по переменной у называется предел отношения частного приращения функции z по переменной у к приращению переменной у когда приращение переменной у стремится к нулю: Частная производная функции z по переменной у – это производная, вычисленная при условии, что х является постоянной величиной.

Слайд 8

Описание слайда:

Найти частные производные следующих функций: Найти частные производные следующих функций: 1) 2) 3) Решение. 1)

Слайд 9

Описание слайда:

2) 2) 3)

Слайд 10

Описание слайда:

Частные производные первого порядка можно рассматривать как функции от переменных х и у . Эти функции также могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Частные производные первого порядка можно рассматривать как функции от переменных х и у . Эти функции также могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом: ; ; Частные производные второго порядка по различным переменным называются смешанными частными производными:

Слайд 11

Описание слайда:

Решение. Находим сначала частные производные первого порядка Решение. Находим сначала частные производные первого порядка Частные производные второго порядка будут равны: Получили , т.е смешанные частные производные равны между собой.

Слайд 12

Описание слайда:

По определению полного приращения . Функция называется дифференцируемой в точке , если её полное приращение можно представить в виде По определению полного приращения . Функция называется дифференцируемой в точке , если её полное приращение можно представить в виде где при . Сумма первых двух слагаемых представляет главную часть приращения функции. Главная часть приращения функции, линейная относительно и , называется полным дифференциалом этой функции и обозначается: Для независимых переменных х и у полагают , поэтому полный дифференциал можно записать в виде:

Слайд 13

Описание слайда:

Из определения дифференциала функции следует, что при достаточно малых и имеет место приближенное равенство Из определения дифференциала функции следует, что при достаточно малых и имеет место приближенное равенство Так как полное приращение , то приближенное равенство можно записать в следующем виде: (*) Эта формула применяется в приближенных вычислениях. Пример. Вычислить приближенно . Решение. Введем функцию , тогда требуется найти . Т.е. . Находим частные производные . Далее вычисляем Подставив найденные значения в формулу (*), получим: