🗊Презентация Функция. Классификация функций. Основные свойства функций. Понятие функции. (Семинар 3)

Семинар 3. Функция. Классификация функций. Основные свойства функций. Семинар 3. Функция. Классификация функций. Основные свойства функций. Понятие функции При изучении различных явлений обычно имеем дело с совокупностью переменных величин, которые связаны между собой так, что значения одних величин (независимые переменные) полностью определяют значения других (зависимые переменные и функции). Определение Переменная величина y называется функцией (однозначной) от переменной величины x, если они связаны между собой так, что каждому рассматриваемому значению x соответствует единственное вполне определенное значение величины y (сформулировал Н.И.Лобачевский). Обозначение y=f(x) (1) Определение Графиком функции y=f(x) называется множество точек M(x,y) плоскости OXY, координаты которых связаны данной функциональной зависимостью. Или график функции – это линия, уравнением которой служит равенство, определяющее функцию. Классификация функций одного аргумента Принята следующая классификация: 1.Целая рациональная функция или многочлен Над аргументом выполняются действия: сложение, вычитание, умножение, возведение в целую положительную степень.

2.Дробно-рациональная функция 2.Дробно-рациональная функция 1)и 2) – класс рациональных функций. 3.Иррациональная функция Над аргументом х помимо вышеперечисленных операций производится операция извлечения корня конечное число паз и при этом результат не является рациональной функцией. Пример Совокупность рациональных и иррациональных функций образует класс явных алгебраических функций 4.Многозначная неявная функция Это - более общий случай алгебраических функций , где n – целое положительное число - целые рациональные функции от х. Пример 5.Трансцендентные функции Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной.

Элементарные трансцендентные функции: Элементарные трансцендентные функции: а) показательная ; б) логарифмическая функция ; с) тригонометрические функции sinx, cosx, tgx, ctgx; d) обратные тригонометрические функции arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx. Обозначения: D(f) – область определения функции y=f(x). Областью определения функции может быть: интервал, сегмент, бесконечный интервал, совокупность интервалов или сегментов, вся числовая ось (множество действительных чисел). E(f) – множество значений функции. Функция f(x) область определения которой симметрична относительно нуля, называется четной, если f(x)=f(-x) для любого значения х. График четной функции симметричен относительно оси ординат. Функция f(x) область определения которой симметрична относительно нуля, называется нечетной, если f(-x)=-f-x) для любого значения х. График четной функции симметричен относительно начала координат. Задачи с решениями. 1. Найти область определения функции Решение. Данная функция определена, если . Таким образом, областью определения функции является объединение двух интервалов

2. Найти область определения функции 2. Найти область определения функции Решение. Данная функция определена, если 1+x>0, т.е. x>-1 и . Таким образом, областью определения функции является объединение двух интервалов 3. Найти область определения функции Решение. Для нахождения области определения функции необходимо решить систему уравнений Следовательно, D(f)=[-1/3;1/2] 4. Найти множество значений функций Решение. 1) выделяя из квадратного трехчлена полный квадрат, получаем . Первое слагаемое является неотрицательным числом, поэтому функция принимает значения, не меньшие -4. Итак, множество значений функции – бесконечный промежуток .

2. Так как синус принимает значения, не превосходящие по модулю 1, запишем неравенство 2. Так как синус принимает значения, не превосходящие по модулю 1, запишем неравенство Следовательно, E(f)=[-1;5] 5.Установит четность или нечетность функций: Решение. В рассматриваемых примерах область определения каждой функции симметрична относительно 0; в первых четырех примерах , а в последнем 1) Заменяя x на –x получим , то есть f(-x)=f(x). Значит данная функция нечетная 2) Имеем . Следовательно, данная функция – четная. 3) Имеем . Следовательно, данная функция – четная. 4) Имеем . Таким образом, функция не является четной и не является нечетной. 5) Находим .

Следовательно, данная функция – нечетная. Следовательно, данная функция – нечетная. Задания для самостоятельного решения 1.Найти области определения функций: 2.Найти множества значений функций: 3.Установить четность или нечетность функций: