🗊Презентация Функция нескольких переменных

Категория: Математика
Нажмите для полного просмотра!
Функция нескольких переменных, слайд №1Функция нескольких переменных, слайд №2Функция нескольких переменных, слайд №3Функция нескольких переменных, слайд №4Функция нескольких переменных, слайд №5Функция нескольких переменных, слайд №6Функция нескольких переменных, слайд №7Функция нескольких переменных, слайд №8Функция нескольких переменных, слайд №9Функция нескольких переменных, слайд №10Функция нескольких переменных, слайд №11Функция нескольких переменных, слайд №12Функция нескольких переменных, слайд №13Функция нескольких переменных, слайд №14Функция нескольких переменных, слайд №15Функция нескольких переменных, слайд №16Функция нескольких переменных, слайд №17Функция нескольких переменных, слайд №18Функция нескольких переменных, слайд №19Функция нескольких переменных, слайд №20Функция нескольких переменных, слайд №21Функция нескольких переменных, слайд №22Функция нескольких переменных, слайд №23Функция нескольких переменных, слайд №24Функция нескольких переменных, слайд №25Функция нескольких переменных, слайд №26Функция нескольких переменных, слайд №27Функция нескольких переменных, слайд №28Функция нескольких переменных, слайд №29Функция нескольких переменных, слайд №30Функция нескольких переменных, слайд №31Функция нескольких переменных, слайд №32Функция нескольких переменных, слайд №33Функция нескольких переменных, слайд №34Функция нескольких переменных, слайд №35Функция нескольких переменных, слайд №36Функция нескольких переменных, слайд №37Функция нескольких переменных, слайд №38Функция нескольких переменных, слайд №39Функция нескольких переменных, слайд №40Функция нескольких переменных, слайд №41Функция нескольких переменных, слайд №42
Скачать

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Функция нескольких переменных. Доклад-сообщение содержит 42 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1


Лекция № 1 Функция нескольких переменных
Описание слайда:
Лекция № 1 Функция нескольких переменных

Слайд 2


Вопросы Понятие функции двух и более переменных. Дифференцирование функции нескольких переменных. Частные производные. Полный дифференциал. Экстремум функции двух переменных.
Описание слайда:
Вопросы Понятие функции двух и более переменных. Дифференцирование функции нескольких переменных. Частные производные. Полный дифференциал. Экстремум функции двух переменных.

Слайд 3


1. Рассмотрим функцию двух переменных. Опр. Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно значение переменной z, то она называется функцией двух переменных. z = f(x, y)
Описание слайда:
1. Рассмотрим функцию двух переменных. Опр. Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно значение переменной z, то она называется функцией двух переменных. z = f(x, y)

Слайд 4


Опр. Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует. Опр. Окрестностью точки М0(х0, у0) радиуса r называется совокупность всех точек (х, у), которые удовлетворяют условию .
Описание слайда:
Опр. Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует. Опр. Окрестностью точки М0(х0, у0) радиуса r называется совокупность всех точек (х, у), которые удовлетворяют условию .

Слайд 5


Опр. Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки М(х, у) к точке М0(х0, у0), если для любого числа  > 0 найдется такое число r > 0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие также верно и условие Записывают:
Описание слайда:
Опр. Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки М(х, у) к точке М0(х0, у0), если для любого числа  > 0 найдется такое число r > 0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие также верно и условие Записывают:

Слайд 6


Опр. Пусть точка М0(х0, у0) принадлежит области определения функции f(x, y). Тогда функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке М0(х0, у0), если (1) причем точка М(х, у) стремится к точке М0(х0, у0) произвольным образом.
Описание слайда:
Опр. Пусть точка М0(х0, у0) принадлежит области определения функции f(x, y). Тогда функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке М0(х0, у0), если (1) причем точка М(х, у) стремится к точке М0(х0, у0) произвольным образом.

Слайд 7


Если в какой – либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва функции f(x, y). Это может быть в следующих случаях: 1. Функция z = f(x, y) не определена в точке М0(х0, у0). 2. Не существует предел в точке М0(х0, у0). 3. Этот предел существует, но он не равен f( x0, y0).
Описание слайда:
Если в какой – либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва функции f(x, y). Это может быть в следующих случаях: 1. Функция z = f(x, y) не определена в точке М0(х0, у0). 2. Не существует предел в точке М0(х0, у0). 3. Этот предел существует, но он не равен f( x0, y0).

Слайд 8


2. Дифференцирование функции нескольких переменных Опр. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и дадим приращение х переменной х. Тогда величина zx = f( x + x, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.
Описание слайда:
2. Дифференцирование функции нескольких переменных Опр. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и дадим приращение х переменной х. Тогда величина zx = f( x + x, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.

Слайд 9


Можно записать Тогда называется частной производной функции z = f(x, y) по х.
Описание слайда:
Можно записать Тогда называется частной производной функции z = f(x, y) по х.

Слайд 10


Обозначение: Аналогично определяется частная производная функции по у:
Описание слайда:
Обозначение: Аналогично определяется частная производная функции по у:

Слайд 11


Полное приращение и полный дифференциал Опр. Для функции f(x, y) выражение z = f( x + x, y + y) – f(x, y) называется полным приращением. Полное приращение функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), можно представить как
Описание слайда:
Полное приращение и полный дифференциал Опр. Для функции f(x, y) выражение z = f( x + x, y + y) – f(x, y) называется полным приращением. Полное приращение функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), можно представить как

Слайд 12


где 1 и 2 – бесконечно малые функции при х  0 и у  0 соответственно. Опр. Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно х и у часть приращения функции z в точке (х, у).
Описание слайда:
где 1 и 2 – бесконечно малые функции при х  0 и у  0 соответственно. Опр. Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно х и у часть приращения функции z в точке (х, у).

Слайд 13


Для функции произвольного числа переменных: Пример 1. Найти полный дифференциал функции .
Описание слайда:
Для функции произвольного числа переменных: Пример 1. Найти полный дифференциал функции .

Слайд 14


*
Описание слайда:
*

Слайд 15


Пример 2. Найти полный дифференциал функции Находим частные производные:
Описание слайда:
Пример 2. Найти полный дифференциал функции Находим частные производные:

Слайд 16


Получаем Частные производные высших порядков Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные тоже будут определены в той же области или ее части.
Описание слайда:
Получаем Частные производные высших порядков Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные тоже будут определены в той же области или ее части.

Слайд 17


Будем называть эти производные частными производными первого порядка. Производные этих функций будут частными производными второго порядка.
Описание слайда:
Будем называть эти производные частными производными первого порядка. Производные этих функций будут частными производными второго порядка.

Слайд 18


Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные производные более высоких порядков. Опр. Частные производные вида и т.д. называются смешанными производными.
Описание слайда:
Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные производные более высоких порядков. Опр. Частные производные вида и т.д. называются смешанными производными.

Слайд 19


Теорема. Если функция f(x, y) и ее частные производные определены и непрерывны в точке М(х, у) и ее окрестности, то верно соотношение: т.е. частные производные высших порядков не зависят от порядка дифференцирования.
Описание слайда:
Теорема. Если функция f(x, y) и ее частные производные определены и непрерывны в точке М(х, у) и ее окрестности, то верно соотношение: т.е. частные производные высших порядков не зависят от порядка дифференцирования.

Слайд 20


Пример 3. Найти частные производные 1-го и 2-го порядков функций 1) Решение. Рассматривая у как постоянную величину, получим
Описание слайда:
Пример 3. Найти частные производные 1-го и 2-го порядков функций 1) Решение. Рассматривая у как постоянную величину, получим

Слайд 21


Рассматривая х как постоянную величину, найдем Далее,
Описание слайда:
Рассматривая х как постоянную величину, найдем Далее,

Слайд 22


* Имеем,
Описание слайда:
* Имеем,

Слайд 23


2) Решение. Рассматривая у как постоянную величину, получим Рассматривая х как постоянную величину, найдем
Описание слайда:
2) Решение. Рассматривая у как постоянную величину, получим Рассматривая х как постоянную величину, найдем

Слайд 24


Далее,
Описание слайда:
Далее,

Слайд 25


* Имеем,
Описание слайда:
* Имеем,

Слайд 26


3. Экстремум функции нескольких переменных Опр. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство то точка М0 называется точкой максимума.
Описание слайда:
3. Экстремум функции нескольких переменных Опр. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство то точка М0 называется точкой максимума.

Слайд 27


Опр. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство то точка М0 называется точкой минимума.
Описание слайда:
Опр. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство то точка М0 называется точкой минимума.

Слайд 28


Теорема. (Необходимые условия экстремума). Если функция f(x,y) в точке (х0, у0) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю либо хотя бы одна из них не существует. Эту точку (х0, у0) будем называть критической точкой.
Описание слайда:
Теорема. (Необходимые условия экстремума). Если функция f(x,y) в точке (х0, у0) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю либо хотя бы одна из них не существует. Эту точку (х0, у0) будем называть критической точкой.

Слайд 29


Теорема. (Достаточные условия экстремума). Пусть в окрестности критической точки (х0, у0) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение:
Описание слайда:
Теорема. (Достаточные условия экстремума). Пусть в окрестности критической точки (х0, у0) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение:

Слайд 30


Если Δ(x0, y0) > 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) имеет экстремум, если - максимум, если - минимум. 2. Если Δ(x0, y0) < 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) не имеет экстремума. 3. В случае, если Δ = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.
Описание слайда:
Если Δ(x0, y0) > 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) имеет экстремум, если - максимум, если - минимум. 2. Если Δ(x0, y0) < 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) не имеет экстремума. 3. В случае, если Δ = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.

Слайд 31


*Пример 4. Найти экстремум функции Решение. Найдем частные производные первого порядка: Используя необходимые условия экстремума, находим стационарные точки:
Описание слайда:
*Пример 4. Найти экстремум функции Решение. Найдем частные производные первого порядка: Используя необходимые условия экстремума, находим стационарные точки:

Слайд 32


* Откуда х = 0, у = 3; М(0;3). Находим значения частных производных второго порядка в точке М:
Описание слайда:
* Откуда х = 0, у = 3; М(0;3). Находим значения частных производных второго порядка в точке М:

Слайд 33


*и составляем выражение Так как , то функция в точке М(0;3) имеет минимум. Значение функции в этой точке
Описание слайда:
*и составляем выражение Так как , то функция в точке М(0;3) имеет минимум. Значение функции в этой точке

Слайд 34


Пример 5.Найти область определения функции Решение. Функция принимает действительное значение при условии т.е. Областью определения данной функции является круг радиуса 5 с центром в начале координат, включая граничную окружность.
Описание слайда:
Пример 5.Найти область определения функции Решение. Функция принимает действительное значение при условии т.е. Областью определения данной функции является круг радиуса 5 с центром в начале координат, включая граничную окружность.

Слайд 35


Метод множителей Лагранжа Условный экстремум Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в функцию u = f( x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение (х, у) = 0, которое называется уравнением связи. Тогда из переменных х и у только одна будет независимой, так как другая может быть выражена через нее из уравнения связи.
Описание слайда:
Метод множителей Лагранжа Условный экстремум Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в функцию u = f( x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение (х, у) = 0, которое называется уравнением связи. Тогда из переменных х и у только одна будет независимой, так как другая может быть выражена через нее из уравнения связи.

Слайд 36


Тогда u = f(x, y(x)). В точках экстремума: =0 (1) Кроме того: (2)
Описание слайда:
Тогда u = f(x, y(x)). В точках экстремума: =0 (1) Кроме того: (2)

Слайд 37


Умножим равенство (2) на число  и сложим с равенством (1).
Описание слайда:
Умножим равенство (2) на число  и сложим с равенством (1).

Слайд 38


Для выполнения этого условия во всех точках найдем неопределенный коэффициент  так, чтобы выполнялась система трех уравнений:
Описание слайда:
Для выполнения этого условия во всех точках найдем неопределенный коэффициент  так, чтобы выполнялась система трех уравнений:

Слайд 39


Полученная система уравнений является необходимыми условиями условного экстремума. Однако это условие не является достаточным. Поэтому при нахождении критических точек требуется их дополнительное исследование на экстремум. Выражение u = f(x, y) + (x, y) называется функцией Лагранжа.
Описание слайда:
Полученная система уравнений является необходимыми условиями условного экстремума. Однако это условие не является достаточным. Поэтому при нахождении критических точек требуется их дополнительное исследование на экстремум. Выражение u = f(x, y) + (x, y) называется функцией Лагранжа.

Слайд 40


Пример. Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи: 2x + 3y – 5 = 0. Решение. Составим функцию Лагранжа
Описание слайда:
Пример. Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи: 2x + 3y – 5 = 0. Решение. Составим функцию Лагранжа

Слайд 41


Имеем * Таким образом, функция имеет экстремум в точке
Описание слайда:
Имеем * Таким образом, функция имеет экстремум в точке

Слайд 42


Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума функции называется также методом множителей Лагранжа. Выше мы рассмотрели функцию двух переменных, однако, все рассуждения относительно условного экстремума могут быть распространены на функции большего числа переменных.
Описание слайда:
Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума функции называется также методом множителей Лагранжа. Выше мы рассмотрели функцию двух переменных, однако, все рассуждения относительно условного экстремума могут быть распространены на функции большего числа переменных.

Скачать

Похожие презентации
Mypresentation.ru
Загрузить презентацию