Функция нескольких переменных - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Функция нескольких переменных, слайд №10

Функция нескольких переменных, слайд №11

Функция нескольких переменных, слайд №12

Функция нескольких переменных, слайд №13

Функция нескольких переменных, слайд №14

Функция нескольких переменных, слайд №15

Функция нескольких переменных, слайд №16

Функция нескольких переменных, слайд №17

Функция нескольких переменных, слайд №18

Функция нескольких переменных, слайд №19

Функция нескольких переменных, слайд №20

Функция нескольких переменных, слайд №21

Функция нескольких переменных, слайд №22

Функция нескольких переменных, слайд №23

Функция нескольких переменных, слайд №24

Функция нескольких переменных, слайд №25

Функция нескольких переменных, слайд №26

Функция нескольких переменных, слайд №27

Функция нескольких переменных, слайд №28

Функция нескольких переменных, слайд №29

Функция нескольких переменных, слайд №30

Функция нескольких переменных, слайд №31

Функция нескольких переменных, слайд №32

Функция нескольких переменных, слайд №33

Функция нескольких переменных, слайд №34

Функция нескольких переменных, слайд №35

Функция нескольких переменных, слайд №36

Функция нескольких переменных, слайд №37

Функция нескольких переменных, слайд №38

Функция нескольких переменных, слайд №39

Функция нескольких переменных, слайд №40

Функция нескольких переменных, слайд №41

Функция нескольких переменных, слайд №42

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Функция нескольких переменных. Доклад-сообщение содержит 42 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Лекция № 1 Функция нескольких переменных

Слайд 2

Описание слайда:

Вопросы Понятие функции двух и более переменных. Дифференцирование функции нескольких переменных. Частные производные. Полный дифференциал. Экстремум функции двух переменных.

Слайд 3

Описание слайда:

1. Рассмотрим функцию двух переменных. Опр. Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно значение переменной z, то она называется функцией двух переменных. z = f(x, y)

Слайд 4

Описание слайда:

Опр. Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует. Опр. Окрестностью точки М0(х0, у0) радиуса r называется совокупность всех точек (х, у), которые удовлетворяют условию .

Слайд 5

Описание слайда:

Опр. Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки М(х, у) к точке М0(х0, у0), если для любого числа  > 0 найдется такое число r > 0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие также верно и условие Записывают:

Слайд 6

Описание слайда:

Опр. Пусть точка М0(х0, у0) принадлежит области определения функции f(x, y). Тогда функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке М0(х0, у0), если (1) причем точка М(х, у) стремится к точке М0(х0, у0) произвольным образом.

Слайд 7

Описание слайда:

Если в какой – либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва функции f(x, y). Это может быть в следующих случаях: 1. Функция z = f(x, y) не определена в точке М0(х0, у0). 2. Не существует предел в точке М0(х0, у0). 3. Этот предел существует, но он не равен f( x0, y0).

Слайд 8

Описание слайда:

2. Дифференцирование функции нескольких переменных Опр. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и дадим приращение х переменной х. Тогда величина zx = f( x + x, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.

Слайд 9

Описание слайда:

Можно записать Тогда называется частной производной функции z = f(x, y) по х.

Слайд 10

Описание слайда:

Обозначение: Аналогично определяется частная производная функции по у:

Слайд 11

Описание слайда:

Полное приращение и полный дифференциал Опр. Для функции f(x, y) выражение z = f( x + x, y + y) – f(x, y) называется полным приращением. Полное приращение функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), можно представить как

Слайд 12

Описание слайда:

где 1 и 2 – бесконечно малые функции при х  0 и у  0 соответственно. Опр. Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно х и у часть приращения функции z в точке (х, у).

Слайд 13

Описание слайда:

Для функции произвольного числа переменных: Пример 1. Найти полный дифференциал функции .

Слайд 14

Описание слайда:

Слайд 15

Описание слайда:

Пример 2. Найти полный дифференциал функции Находим частные производные:

Слайд 16

Описание слайда:

Получаем Частные производные высших порядков Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные тоже будут определены в той же области или ее части.

Слайд 17

Описание слайда:

Будем называть эти производные частными производными первого порядка. Производные этих функций будут частными производными второго порядка.

Слайд 18

Описание слайда:

Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные производные более высоких порядков. Опр. Частные производные вида и т.д. называются смешанными производными.

Слайд 19

Описание слайда:

Теорема. Если функция f(x, y) и ее частные производные определены и непрерывны в точке М(х, у) и ее окрестности, то верно соотношение: т.е. частные производные высших порядков не зависят от порядка дифференцирования.

Слайд 20

Описание слайда:

Пример 3. Найти частные производные 1-го и 2-го порядков функций 1) Решение. Рассматривая у как постоянную величину, получим

Слайд 21

Описание слайда:

Рассматривая х как постоянную величину, найдем Далее,

Слайд 22

Описание слайда:

* Имеем,

Слайд 23

Описание слайда:

2) Решение. Рассматривая у как постоянную величину, получим Рассматривая х как постоянную величину, найдем

Слайд 24

Описание слайда:

Далее,

Слайд 25

Описание слайда:

* Имеем,

Слайд 26

Описание слайда:

3. Экстремум функции нескольких переменных Опр. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство то точка М0 называется точкой максимума.

Слайд 27

Описание слайда:

Опр. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство то точка М0 называется точкой минимума.

Слайд 28

Описание слайда:

Теорема. (Необходимые условия экстремума). Если функция f(x,y) в точке (х0, у0) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю либо хотя бы одна из них не существует. Эту точку (х0, у0) будем называть критической точкой.

Слайд 29

Описание слайда:

Теорема. (Достаточные условия экстремума). Пусть в окрестности критической точки (х0, у0) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение:

Слайд 30

Описание слайда:

Если Δ(x0, y0) > 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) имеет экстремум, если - максимум, если - минимум. 2. Если Δ(x0, y0) < 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) не имеет экстремума. 3. В случае, если Δ = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.

Слайд 31

Описание слайда:

*Пример 4. Найти экстремум функции Решение. Найдем частные производные первого порядка: Используя необходимые условия экстремума, находим стационарные точки:

Слайд 32

Описание слайда:

* Откуда х = 0, у = 3; М(0;3). Находим значения частных производных второго порядка в точке М:

Слайд 33

Описание слайда:

*и составляем выражение Так как , то функция в точке М(0;3) имеет минимум. Значение функции в этой точке

Слайд 34

Описание слайда:

Пример 5.Найти область определения функции Решение. Функция принимает действительное значение при условии т.е. Областью определения данной функции является круг радиуса 5 с центром в начале координат, включая граничную окружность.

Слайд 35

Описание слайда:

Метод множителей Лагранжа Условный экстремум Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в функцию u = f( x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение (х, у) = 0, которое называется уравнением связи. Тогда из переменных х и у только одна будет независимой, так как другая может быть выражена через нее из уравнения связи.

Слайд 36

Описание слайда:

Тогда u = f(x, y(x)). В точках экстремума: =0 (1) Кроме того: (2)

Слайд 37

Описание слайда:

Умножим равенство (2) на число  и сложим с равенством (1).

Слайд 38

Описание слайда:

Для выполнения этого условия во всех точках найдем неопределенный коэффициент  так, чтобы выполнялась система трех уравнений:

Слайд 39

Описание слайда:

Полученная система уравнений является необходимыми условиями условного экстремума. Однако это условие не является достаточным. Поэтому при нахождении критических точек требуется их дополнительное исследование на экстремум. Выражение u = f(x, y) + (x, y) называется функцией Лагранжа.

Слайд 40

Описание слайда:

Пример. Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи: 2x + 3y – 5 = 0. Решение. Составим функцию Лагранжа

Слайд 41

Описание слайда:

Имеем * Таким образом, функция имеет экстремум в точке

Слайд 42

Описание слайда:

Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума функции называется также методом множителей Лагранжа. Выше мы рассмотрели функцию двух переменных, однако, все рассуждения относительно условного экстремума могут быть распространены на функции большего числа переменных.