🗊Презентация Геометрия в одной задаче

Научно-практическая конференция школьников «Вектор познания» Исследовательская работа «Геометрия в одной задаче» СЕКЦИЯ МАТЕМАТИКИ Автор – Семенников Николай Викторович, обучающийся 10 класса МБОУ «Краснобогатырская СОШ» Судогодского района Владимирской области Научный руководитель - Урум Елена Николаевна, учитель математики МБОУ «Краснобогатырская СОШ»

Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение. (В. Произволов). Предлагаемая исследовательская работа посвящена изучению различных методов решения одной задачи планиметрии. Геометрия – наиболее сложное звено школьной математики. Решение геометрических задач вызывает трудности у многих учащихся. Это связано с обилием различных типов задач, с многообразием методов их решения.

Проблема исследования заключается в изучении различных методов решения планиметрических задач и нахождении задач, решаемых разными методами, для того чтобы качественно подготовиться к ЕГЭ. Проблема исследования заключается в изучении различных методов решения планиметрических задач и нахождении задач, решаемых разными методами, для того чтобы качественно подготовиться к ЕГЭ.

Объектом исследования является геометрическая задача из раздела «Планиметрия». Объектом исследования является геометрическая задача из раздела «Планиметрия». Предметом исследования являются различные методы решения. Гипотеза состоит в том, что изучать различные методы решения геометрических задач лучше на примере одной задачи, если она будет иметь их несколько.

Цель исследования - поиск рациональных методов решения геометрических задач из раздела планиметрии. Цель исследования - поиск рациональных методов решения геометрических задач из раздела планиметрии. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи: исследовать разнообразные методы решений планиметрических задач; найти и решить геометрическую задачу всеми возможными изученными методами; проанализировать и сравнить полученные решения с целью нахождения наиболее эффективного подхода.

Актуальность темы моей работы определяется необходимостью уметь решать задачи при сдаче ЕГЭ. Большинство задач по планиметрии не решается с помощью жестких алгоритмов, почти каждая из предложенных требует своего подхода. Здесь уже мало иметь те или иные знания, нужно уметь применять их в каждом конкретном случае. Особое значение имеет выработка разнообразных подходов, которые могут быть успешно применены при решении многих геометрических задач. Задача выступает не только в качестве иллюстрации теории, но и рассматривается как самостоятельный объект, как средство развития исследовательской деятельности. Актуальность темы моей работы определяется необходимостью уметь решать задачи при сдаче ЕГЭ. Большинство задач по планиметрии не решается с помощью жестких алгоритмов, почти каждая из предложенных требует своего подхода. Здесь уже мало иметь те или иные знания, нужно уметь применять их в каждом конкретном случае. Особое значение имеет выработка разнообразных подходов, которые могут быть успешно применены при решении многих геометрических задач. Задача выступает не только в качестве иллюстрации теории, но и рассматривается как самостоятельный объект, как средство развития исследовательской деятельности.

В математике известно множество методов решения разных задач, к ним относятся: В математике известно множество методов решения разных задач, к ним относятся: Методы с использованием дополнительных построений. Методы, основанные на подобии треугольников. Методы, использующие соотношение между углами и сторонами прямоугольного треугольника. Координатный метод. Методы, использующие векторный аппарат.

В данной работе предлагается несколько методов решения одной задачи по планиметрии, детальный анализ которой позволит убедиться в реальной и существенной пользе проделанной работы. Задача. В трапеции ABCD диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны, причем AC = 16, BD = 12. Найти среднюю линию трапеции.

1. Методы, использующие дополнительные построения 1.1 Построение прямой, параллельной диагонали. Проведем CFBD, CAD = F 2. BCFD – параллелограмм (BCDF, т. к. ABCD - трапеция, BD по построению), значит BC = DF, BD = CF. 3. AF = AD + DF = AD + BC. 4. Рассмотрим ACF: AC = 16, CF = 12, ACF = 90 (AKD = ACF = 90(соответственные углы при CFBD и секущей AC)), тогда AF = = = 20 5. MN = (AD + BC) = AF = 10. Ответ: 10

1. Методы, использующие дополнительные построения 1.2 Построение средних линий треугольников. 1. Проведем средние линии: ∆ABD (MEBD) и ∆ACD (NEAC) 2. Рассмотрим ∆ABD: ME=BD = =6; ∆ACD: NE== =8. 3. Рассмотрим ∆MEN:NEM=90° (MEBD, NEAC и BD⊥AC, значит ME⊥NE) MN== = 10 Ответ: 10

1. Методы, использующие дополнительные построения. 1.3 Применение признаков равенства треугольников (1 признак) 1. Продлим AC на AE=KC, BD на DL=BK. 2. Рассмотрим ∆EKL: KE = AC = 16, KL = BD = 12, EKL = 90. EL = = = 20. 3. Проведем EOBD, EO∩AD=O. 4. ∆OEA=∆BKC (по 1 признаку: OE = BK, EA=CK (по построению), OEA=BKC = 90 (соответственные при BL OE и секущей CE) из этого следует AO=BC. 5. ODLE - параллелограмм, значит OE = DL = BK. 6. MN = (BC + AD) = (OA + AD) EL = 10. Ответ: 10

1. Методы, использующие дополнительные построения 1.3 Применение признаков равенства треугольников (2 признак) 1. Продлим AC на AE=KC и BD на DL=KB. 2. Рассмотрим ∆EKL: EKL=90°, EK = 16, KL = 12, тогда по теореме Пифагора EL = = = 20. 3. Постоим: AF⊥EL, DO⊥EL, HK⊥BC. 4. ∆EAF=∆HKC (EAF=HKC,AEF=HCK (накрест лежащие при BCEL и секущей EC), тогда EF =HC. 5. ∆DOL=∆KHB (ODL=HKB, (HBK=OLD (накрест лежащие при BCEL и секущей BL), тогда BH = OL. 6. EL = EF + FO + OL = AD + BC = 20. Значит MN = 10. Ответ: 10.

1. Методы, использующие дополнительные построения 1.4 Построение середин сторон трапеции. 1. BO = OC, AL = LD. 2. Проведем ML, LN, ON, MO. MONL – параллелограмм. 3. MOAC, MO = AC = 8, LNAC, LN =AC = 8. 4. ONBD, ON = BD = 6, MLBD, ML = BD = 6. 5. Так как AC⊥BD, то (MON = 90, значит MONL – прямоугольник 6. Рассмотрим ∆MLN: MLN = 90, ML = 6, LN = 8. По теореме Пифагора MN = = 10. Ответ: 10.

2. Метод, основанный на подобии треугольников. 1. ∆ BKC~∆AKD (по 2-м углам BKC=AKD=90° и BCK=DKA (накрест лежащие при BCAD и секущей AC) 2. Пусть BK = x, KC = y, тогда KD = 12 – x, AK = 16 – y, y= 4/3x. 3. ∆AKD: по теореме Пифагора AD= = 20 - x 4. ∆ BKC: по теореме Пифагора BC= = x 5. BC + AD = x + 20 - x = 20, а значит MN = 10. Ответ: 10.

3. Методы, использующие соотношение между углами и сторонами треугольника. 3.1 Метод площадей и тригонометрия. 1. Проведем высоты BB1=CC1=h 2. SABCD=d1d2sinα=96. 3. SABCD= (BC + AD)h = MNh 4. Рассмотрим ∆BB1D: sinα=(90-α)=, тогда cosα=. 5. Рассмотрим ∆CC1A: sinα=. 6. sin2α+cos2α=1(основное тригонометрическое тождество): + = 1, h = 7. Приравняв обе формулы площади трапеции, получаем: MN=10. Ответ: 10.

3. Методы, использующие соотношение между углами и сторонами треугольника. 3.2 Метод высот. 1. Проведем высоты BB1=CC1=h 2. ∆ACC1: по теореме Пифагора АС1 = = 3. ∆DBB1: по теореме Пифагора DB1 = = 4. AC1+DB1= + =AB1+B1C1+B1C1+C1D=AD + BC. 5. MN=(AD + BC)/2 =+ )/2. 6. ∆BKC~∆AKD, тогда tgCAD=3/4 7. ∆ACC1: tgCAD = = = . Решаем это уравнение, h = 9,6 8. Подставим h = 9,6 в уравнение: MN=(+ )/2 = = (12,8+7,2)/2 = 10.

4. Метод координат. 1. Зададим оси координат по прямым: BD и AC точка О(0; 0) 2. Координаты вершин: A(0; y-16); B(x-12; 0); C(0;y ); D(x; 0). 3. Найдем координаты точек M, N: M(; ), N(; ) 4. Найдем длину MN = = 10 Ответ: 10.

5. Векторный метод. 1. AD=AK+KD, BC=BK+KC (правило треугольника) 2. AD+BC = AK+KD+BK+KC = AC+BD = 2AD*BC*cos0+BC2+AD2 = =AC2+2AC*BD*cos90+BD2 AD+BC =20. 3. MN = (AD+BC)/2=10. Ответ: 10.

Заключение В ходе моей работы было выявлено 10 различных методов решения одной конкретной задачи из раздела «планиметрия». На примере этой задачи можно увидеть многообразие геометрической теории. Проведенное исследование позволило сделать следующие выводы: Самым понятным и простым является метод, в котором используются дополнительные построения. Подробный разбор способов решения задач является хорошим подспорьем для того, чтобы освежить в памяти пройденный материал. При работе над задачей формируется логическое мышление, развивается интуиция, систематизируются знания. Овладевая основными методами решения задач, можно рационально планировать поиск решения задачи, выполнять полезные преобразования условия задачи, а также использовать известные приемы познавательной деятельности – наблюдение, сравнение, обобщение. Все перечисленное создает условия для формирования навыков исследовательской деятельности, способствующей накоплению творческого потенциала.  

Список использованных источников и литературы 1.Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др. «Геометрия 7-9», Москва, «Просвещение», 2005г. 2.Э.Г.Готман, З.А.Скопец. «Задача одна - решения разные». 3.А.И. Громов, В.М. Савчин «Пособие - репетитор по математике», Ростов-на-Дону, «Феникс», 2001г. 4.Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.Г. Баханский «Пособие для учащихся 7-11 классов общеобразовательных учреждений», Москва, «Просвещение», 2000г. 5.Д.Ф.Изаак. «Поиски решения геометрической задачи». «Математика в школе»№6,1998. 6.Я.П.Понарин. «Задача одна – решений много». «Математика в школе» №1,1992.