🗊 Глава 2. Дифференциальные уравнения высших порядков.

Категория: Математика
Нажмите для полного просмотра!
– / 45
Скачать

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать Глава 2. Дифференциальные уравнения высших порядков. . Презентация содержит 45 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1


Глава 2. Дифференциальные уравнения высших порядков.
Описание слайда:
Глава 2. Дифференциальные уравнения высших порядков.

Слайд 2


1. Общие сведения.
Описание слайда:
1. Общие сведения.

Слайд 3


Определение. Дифференциальное уравнение содержащее производную функции двух и более порядков, называется дифференциальным уравнением порядка высшее первого. Уравнение порядка “ ”- или
Описание слайда:
Определение. Дифференциальное уравнение содержащее производную функции двух и более порядков, называется дифференциальным уравнением порядка высшее первого. Уравнение порядка “ ”- или

Слайд 4


Теорема: Дано дифференциальное уравнение и система начальных условий , ,…., Если функция непрерывна в окрестностях начального условия и имеет непрерывные частные производные по , то существует и притом единственное решение уравнения, определенное и непрерывное в некотором интервале содержащем , и удовлетворяющее заданной системе начальных условий.
Описание слайда:
Теорема: Дано дифференциальное уравнение и система начальных условий , ,…., Если функция непрерывна в окрестностях начального условия и имеет непрерывные частные производные по , то существует и притом единственное решение уравнения, определенное и непрерывное в некотором интервале содержащем , и удовлетворяющее заданной системе начальных условий.

Слайд 5


2.Типы уравнений, допускающих понижение порядка.
Описание слайда:
2.Типы уравнений, допускающих понижение порядка.

Слайд 6


1.
Описание слайда:
1.

Слайд 7


2. Дифференциальное уравнение не содержащее явно и младших производных до (k-1) порядка включительно, допускает понижение порядка на k единиц
Описание слайда:
2. Дифференциальное уравнение не содержащее явно и младших производных до (k-1) порядка включительно, допускает понижение порядка на k единиц

Слайд 8


3. Уравнение вида также допускает понижение порядка путем замены обоих переменных.
Описание слайда:
3. Уравнение вида также допускает понижение порядка путем замены обоих переменных.

Слайд 9


4. Если левая часть уравнения есть точная правая, то порядок уравнения поднимается на единицу путем непосредственного интегрирования. (Это уравнение встречается редко, но к этому виду приводятся некоторые уравнения.)
Описание слайда:
4. Если левая часть уравнения есть точная правая, то порядок уравнения поднимается на единицу путем непосредственного интегрирования. (Это уравнение встречается редко, но к этому виду приводятся некоторые уравнения.)

Слайд 10


Линейное дифференциальное уравнение высшего порядка.
Описание слайда:
Линейное дифференциальное уравнение высшего порядка.

Слайд 11


Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида:
Описание слайда:
Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида:

Слайд 12


Теорема Пусть коэффициент , . Линейное дифференциальное уравнение непрерывно на некотором отрезке [a;b]. одно и только одно решение дифференциального уравнения, определенное и непрерывное на всем интервале (a;b), удовлетворяющее этому уравнению и любой системе начальных условий, если только значение принадлежит интервалу (a;b).
Описание слайда:
Теорема Пусть коэффициент , . Линейное дифференциальное уравнение непрерывно на некотором отрезке [a;b]. одно и только одно решение дифференциального уравнения, определенное и непрерывное на всем интервале (a;b), удовлетворяющее этому уравнению и любой системе начальных условий, если только значение принадлежит интервалу (a;b).

Слайд 13


Определение: Уравнение вида называется линейным однородным дифференциальным уравнением.
Описание слайда:
Определение: Уравнение вида называется линейным однородным дифференциальным уравнением.

Слайд 14


Определение. Обозначим линейную часть уравнения через , . . Выражение называется линейным дифференциальным оператором от функции .
Описание слайда:
Определение. Обозначим линейную часть уравнения через , . . Выражение называется линейным дифференциальным оператором от функции .

Слайд 15


Свойства линейного дифференциального оператора. 1.Постоянный множитель можно выносить за знак оператора, то есть для любого n размерной дифференциальной функции - свойство однородности. 2.Оператор от суммы двух функций и равен сумме операторов от каждого из слагаемых в отдельности, то есть для любых n раз дифференцируемых функций и верно равенство: - свойство аддитивности
Описание слайда:
Свойства линейного дифференциального оператора. 1.Постоянный множитель можно выносить за знак оператора, то есть для любого n размерной дифференциальной функции - свойство однородности. 2.Оператор от суммы двух функций и равен сумме операторов от каждого из слагаемых в отдельности, то есть для любых n раз дифференцируемых функций и верно равенство: - свойство аддитивности

Слайд 16


Определение: Линейное дифференциальное однородное уравнение можно записать в виде
Описание слайда:
Определение: Линейное дифференциальное однородное уравнение можно записать в виде

Слайд 17


Теоремы о свойствах частичных решений Теоремы о свойствах частичных решений
Описание слайда:
Теоремы о свойствах частичных решений Теоремы о свойствах частичных решений

Слайд 18


Теорема1. Если функция является решением уравнения , то и функция есть решение этого уравнения.
Описание слайда:
Теорема1. Если функция является решением уравнения , то и функция есть решение этого уравнения.

Слайд 19


Теорема2. Если функции и являются решениями уравнения , то и функция есть решение этого уравнения.
Описание слайда:
Теорема2. Если функции и являются решениями уравнения , то и функция есть решение этого уравнения.

Слайд 20


Теорема3. Если - частные решения линейного однородного дифференциального уравнения, то их линейная комбинация есть также решение этого уравнения.
Описание слайда:
Теорема3. Если - частные решения линейного однородного дифференциального уравнения, то их линейная комбинация есть также решение этого уравнения.

Слайд 21


Линейная зависимость и независимость функций. Определитель Вронского и его применение.
Описание слайда:
Линейная зависимость и независимость функций. Определитель Вронского и его применение.

Слайд 22


Определение. Система функций определенных и непрерывных на отрезке [a;b] называется линейно зависимой на отрезке [a;b], если n таких чисел , что выполняется тождество , при этом (не все одновременно равны нулю) .
Описание слайда:
Определение. Система функций определенных и непрерывных на отрезке [a;b] называется линейно зависимой на отрезке [a;b], если n таких чисел , что выполняется тождество , при этом (не все одновременно равны нулю) .

Слайд 23


Теорема. Если уравнение линейно зависимо, то хотя бы одну из них можно выразить через остальные.
Описание слайда:
Теорема. Если уравнение линейно зависимо, то хотя бы одну из них можно выразить через остальные.

Слайд 24


Если функции системы дифференцируемы n-1 то из них можно построить определитель n-го порядка, который имеет вид Если функции системы дифференцируемы n-1 то из них можно построить определитель n-го порядка, который имеет вид Этот определитель является функцией от х и обозначается Этот определитель называется определителем Вронского
Описание слайда:
Если функции системы дифференцируемы n-1 то из них можно построить определитель n-го порядка, который имеет вид Если функции системы дифференцируемы n-1 то из них можно построить определитель n-го порядка, который имеет вид Этот определитель является функцией от х и обозначается Этот определитель называется определителем Вронского

Слайд 25


Теорема1. Если функции линейно зависимы, то определитель Вронского тождественно равен 0.
Описание слайда:
Теорема1. Если функции линейно зависимы, то определитель Вронского тождественно равен 0.

Слайд 26


Теорема 2. Если - линейно независимые функции, удовлетворяющие некоторому однородному дифференциальному уравнению n-го порядка, то определитель системы не обращается в ноль ни в одной точке.
Описание слайда:
Теорема 2. Если - линейно независимые функции, удовлетворяющие некоторому однородному дифференциальному уравнению n-го порядка, то определитель системы не обращается в ноль ни в одной точке.

Слайд 27


Определение. Систему частных решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка называют фундаментальной, если она состоит из n независимых функций.
Описание слайда:
Определение. Систему частных решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка называют фундаментальной, если она состоит из n независимых функций.

Слайд 28


Теорема. Любое линейное однородное дифференциальное уравнение обладает бесчисленным множеством фундаментальных систем.
Описание слайда:
Теорема. Любое линейное однородное дифференциальное уравнение обладает бесчисленным множеством фундаментальных систем.

Слайд 29


Теорема Если функции образуют фундаментальную систему решений уравнения ,то их линейная комбинация - является общим решением этого уравнения.
Описание слайда:
Теорема Если функции образуют фундаментальную систему решений уравнения ,то их линейная комбинация - является общим решением этого уравнения.

Слайд 30


Линейное однородное уравнение с постоянным коэффициентом.
Описание слайда:
Линейное однородное уравнение с постоянным коэффициентом.

Слайд 31


Определение. Уравнение вида , г де =const, называется линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянным коэффициентом.
Описание слайда:
Определение. Уравнение вида , г де =const, называется линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянным коэффициентом.

Слайд 32


Определение. называется характеристическим членом линейного однородного дифференциального уравнения.
Описание слайда:
Определение. называется характеристическим членом линейного однородного дифференциального уравнения.

Слайд 33


Определение. Уравнение называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения.
Описание слайда:
Определение. Уравнение называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения.

Слайд 34


Все корни уравнения Все корни уравнения действительны и различны
Описание слайда:
Все корни уравнения Все корни уравнения действительны и различны

Слайд 35


линейная комбинация является общим решением линейного однородного дифференциального уравнения.
Описание слайда:
линейная комбинация является общим решением линейного однородного дифференциального уравнения.

Слайд 36


Все корни различны, но среди них есть комплексные Все корни различны, но среди них есть комплексные
Описание слайда:
Все корни различны, но среди них есть комплексные Все корни различны, но среди них есть комплексные

Слайд 37


формулы Эйлера :
Описание слайда:
формулы Эйлера :

Слайд 38


паре комплексных сопряженных корней паре комплексных сопряженных корней можно поставить в соответствие частных решений
Описание слайда:
паре комплексных сопряженных корней паре комплексных сопряженных корней можно поставить в соответствие частных решений

Слайд 39


Доказать самостоятельно линейную независимость системы частных решений Доказать самостоятельно линейную независимость системы частных решений
Описание слайда:
Доказать самостоятельно линейную независимость системы частных решений Доказать самостоятельно линейную независимость системы частных решений

Слайд 40


При доказательстве нигде не учитывается, что - действительное число поэтому когда пара корней является двойной, то ей соответствует четыре частных решения следующих видов: При доказательстве нигде не учитывается, что - действительное число поэтому когда пара корней является двойной, то ей соответствует четыре частных решения следующих видов:
Описание слайда:
При доказательстве нигде не учитывается, что - действительное число поэтому когда пара корней является двойной, то ей соответствует четыре частных решения следующих видов: При доказательстве нигде не учитывается, что - действительное число поэтому когда пара корней является двойной, то ей соответствует четыре частных решения следующих видов:

Слайд 41


Вывод: Задача нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n – го порядка с постоянным коэффициентом сводится к нахождению всех корней алгебраического уравнения n-ой степени.
Описание слайда:
Вывод: Задача нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n – го порядка с постоянным коэффициентом сводится к нахождению всех корней алгебраического уравнения n-ой степени.

Слайд 42


3.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.
Описание слайда:
3.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.

Слайд 43


Определение Линейным неоднородным дифференциальным уравнением называется уравнение вида
Описание слайда:
Определение Линейным неоднородным дифференциальным уравнением называется уравнение вида

Слайд 44


Теорема (о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения): Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения представляет сумму частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного (при g=0), .
Описание слайда:
Теорема (о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения): Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения представляет сумму частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного (при g=0), .

Слайд 45


Теорема2: Если правая часть неоднородного уравнения есть сумма двух функций, т.е. , то частное решение такого уравнения можно получить как сумму частных решений аналогичных уравнений с правыми частями соответственно и
Описание слайда:
Теорема2: Если правая часть неоднородного уравнения есть сумма двух функций, т.е. , то частное решение такого уравнения можно получить как сумму частных решений аналогичных уравнений с правыми частями соответственно и

Скачать

Похожие презентации
Mypresentation.ru
Загрузить презентацию