🗊Презентация Графические методы при решении текстовых задач

Применение графических методов при решении текстовых задач. Учитель математики «МОУ Чулковская средняя школа №20» Топкаева Галина Геннадьевна

Графическое изображение функций, описывающих условие задачи- зачастую удобный технический прием. График позволяет наглядно представить ситуацию, описанную в задаче. Также он позволяет найти и составить новые уравнения, описывающие условие задачи, а иногда и просто заменить алгебраическое решение чисто геометрическим. Особенно успешно можно применять этот метод при решении математических текстовых задач на движение и работу.

Задача 1 Из двух городов навстречу друг другу вышли одновременно два курьера. После встречи один был в пути 16 часов, а другой - 9 часов. Сколько времени был в пути каждый?

Рисунок s, км 16 В х А х 9 t, ч.

Решение: Обозначим время движения каждого курьера до встречи через х. Из подобия треугольников имеем х/16 = 9/х; х2 = 144; х = 12 12 ч. – время движения каждого до встречи. 12 + 16 = 28 ч.- время движения первого. 12 + 9 = 21 ч. – время движения второго. Ответ: 21 ч., 28 ч.

Задача 2 Два автомобиля выезжают одновременно навстречу друг другу из двух пунктов A и B. После встречи одному из них приходится быть в пути 2часа, а другому 9/8 часа. Найти скорость автомобилей, если между пунктами A и B 210 км?

Рисунок

Решение: BF = AK KD = 9/8 FC = 2 AOK ~ COF: (1) DKO ~ BFO: (2) Из (1) и (2) следует:; Пусть AK = BF = X, X1 = - не может быть X2 = 3/2 = 1,5 AK = 1,5; AD = 1,5 + 1,125 = 2,625 = t2 v2= 210 : 2,625 = 80 (км/ч) BF = 1,5; BC = 1,5 + 2 = 3,5 (ч) = t1, v1 = 210 : 3,5 = 60 (км/ч). Ответ: 60 км/ч, 80 км/ч.

Задача 3 Теплоход из Нижнего Новгорода до Астрахани идет 5 суток, а от Астрахани до Нижнего Новгорода 7 суток. Сколько дней будет плыть плот от Нижнего Новгорода до Астрахани?

Рисунок

Решение: ГА1 = 5 (дней) А1С = 7 (дней) Обозначим А1В = t время движения теплохода из А до встречи с плотом, v-собственная скорость лодки и vт – скорость течения реки. АГ = ВК + КМ ВК=(5+ t) vт , МК= t(v- vт), АГ=5(v+ vт) 5(v+ vт) =(5+ t) vт + t(v- vт) 5v+5vт=5vт+t vт+tv- t vт t=5 Т.е. теплоход, двигаясь из А, встретит плот через 5 дней. Получаем ГВ=10, ВС=7-5=2, DМ=5, МF=y ГКВ ~ FKM; СВК ~ DМК y = 25 = MF. AF = AM + MF = 10 + 25 = 35. Ответ: 35 суток.

Дополнительная задача №1: 1.Из пункта А в пункт В вышел пешеход. Вслед за ним через 2 часа из пункта А выехал велосипедист, а еще через 30 минут – мотоциклист. Пешеход, велосипедист, мотоциклист двигались равномерно и без остановок. Через некоторое время после выезда мотоциклиста оказалось, что к этому моменту времени все трое преодолели одинаковую часть пути от А до В. На сколько минут раньше пешехода в пункт В прибыл велосипедист, если пешеход прибыл в пункт В на 1 час позже мотоциклиста?

Рисунок s, км 1 В х А 2 ½ t, ч.

Решение: Из подобия треугольников следует пропорция: х/1 = 2/ 2,5 ; х = 4/5 4/5 ч. = 48 мин. Ответ: на 48 мин.

Дополнительная задача №2 Турист и велосипедист одновременно отправились навстречу друг другу из пунктов А и В. Они встретились через 1,5 ч., после чего каждый продолжил свое движение в своем направлении. Велосипедист прибыл в пункт А через два часа после выезда из В. За какое время прошел путь от А до В турист?

Рисунок s, км в 1,5 Х А 1,5 0,5 t,ч.

Решение: Из подобия треугольников получаем: х : 1,5 = 1,5 : 0,5 ; х = 4,5 4,5 + 1,5 = 6 часов потратил турист на путь от А до В. Ответ: за 6 ч.

Дополнительная задача №3 3.Из пункта А пункт В выехала машина. Через 2ч из А в В выехала другая машина, через некоторое время расстояние между ними составило шестую часть расстояния АВ. Проехав еще 4ч, обе машины одновременно прибыли в В. Найдите время движения от А до В для первой и второй машины.

Рисунок Обозначим неизвестный промежуток через х. Скорость первой машины V1= S/(x + 6), а второй V2= S/(x + 4). Расстояние S/6 сокращалось на (V2 - V1) и сократилось до 0 за 4ч. S, км В S S/6 А 2 х 4 t

Решение: Получаем уравнение для х: S/6 =4 S/(х+4) – S/(х+6) (х+4)(х+6)=48, х2+10х – 24 = 0, х = 2. х + 4 = 6, х + 6 = 8. Ответ: 8ч, 6ч.

Задача на работу 4.Две машинистки должны отпечатать рукописи с одинаковым числом страниц. Первая машинистка приступила к работе на 3 ч раньше второй и отпечатала к определенному моменту времени больше, чем вторая, на 5/18 страниц рукописи. Проработав после этого момента еще 5 ч, обе одновременно закончили каждая свою работу. За сколько времени каждая отпечатала свою рукопись?

Всю работу примем за 1. 1 5/18 3 х 5 t Ответ: 9ч, 6ч.

Задачи для внеклассной работы Шел человек по берегу реки против течения со скоростью в полтора раза большей, чем скорость течения и держал в руках палку и шляпу. В некоторый момент он бросил в ручей шляпу, перепутав ее с палкой, и продолжал идти против течения ручья с той же скоростью. Через некоторое время он заметил ошибку, бросил палку и побежал назад со скоростью, вдвое большей, чем шел ранее. Догнав плывущую шляпу, он мгновенно выудил ее, повернулся и пошел против течения с первоначальной скоростью. Через 10 минут он встретил плывущую по ручью палку. На сколько минут раньше он пришел бы домой, если бы не перепутал палку со шляпой?

Рисунок: . Построим графики движения человека, палки и шляпы. ________________ движение человека _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ движение шляпы и палки

Решение: в момент В - человек бросил шляпу в момент С - бросил палку и побежал назад в момент D - выудил шляпу в момент Е – встретил палку t- потерянное время СD+DF Uчел : Uручья = PB/AB : PB/BD = 3/2 Uчел : U'чел =KC/AC: KC/CD = CD/AC = 1/2 DE = BC=10 Найдем CF. Пусть CD = X, тогда DF = AC=2X AB=2X-10, BD=X+10. (X+10)/(2X-10) = 3 /2 , т.е. X=12,5 мин. CF=CD+DF= X+2X = 37,5 мин. Ответ: потерял 37,5 мин.

Задачи для внеклассной работы «Из Ливерпульской гавани».Задача эта навеяна вот какими стихами Р. Киплинга (в вольном переводе С.Я. Маршака): Из Ливерпульской гавани Всегда по четвергам Суда уходят в плаванье К далеким берегам. Плывут они в Бразилию, Бразилию, Бразилию. И я хочу в Бразилию, К далеким берегам.

Задача Итак, из Ливерпульской гавани всегда по четвергам суда уходят в плаванье к далеким берегам. Плывут они в Бразилию…, в город Рио-де-Жанейро. Ровно за 14 суток судно покрывает весь путь – 9800 км (по 700 км в сутки) и прибывает в Рио-де-Жанейро в четверг в 12 ч дня. После стоянки (она длится 4 суток) судно идет обратным курсом, и через 14 суток, в понедельник, в полдень, оно снова уходит в Бразилию. Учитывая, что суда отплывают из Ливерпуля каждый четверг, ответьте на следующие вопросы: За время пути судна от Ливерпуля до Рио-де-Жанейро сколько оно встретит в открытом океане судов, идущих обратным рейсом? В какие дни недели произойдут встречи? На каком расстоянии от Ливерпуля?

Решение

Задача 2: (из домашнего задания) – разобрать у доски. Два автомобиля выезжают одновременно навстречу друг другу из двух пунктов A и B. После встречи одному из них приходится быть в пути 2часа, а другому 9/8 часа. Найти скорость автомобилей, если между пунктами A и B 210 км?