🗊Презентация Графоаналитические методы оценки параметров распределения (лекция 5)

Графоаналитические методы оценки параметров распределения   (Ахметов С.К.)

Последовательность расчетов графоаналитическим методом, основанным на кривой Пирсона III типа Дано: Ряд наблюдений за СВ Требуется: Оценить параметры распределения – хср., σx*, Cv,* Cs*  Последовательность расчетов Ряд наблюдений ранжируется в убывающем порядке По формуле pm = (m/(n + 1))100%, где m - порядковый номер, а n – число наблюдений, рассчитываются ординаты эмпирической кривой обеспеченности На клетчатку вероятности наносятся точки эмпирической кривой распределения. При этом по оси ординат откладываются значения самой СВ, а не модульные коэффициенты. По точкам проводится сглаженная кривая.

Последовательность расчетов графоаналитическим методом, основанным на кривой Пирсона III типа 4. По сглаженной кривой определяются три опорные ординаты для обеспеченностей – 5, 50, 95%, т.е. х5, х50, х95 Это позволяет составить уравнения для оценки параметров (хср., σx*,Cv,* Cs*) по формуле хр = tp σp + mx

Последовательность расчетов графоаналитическим методом, основанным на кривой Пирсона III типа 5. Рассчитывается коэффициент скошенности S   S = (xp + x100-p – 2x50)/(x5 – x95)   Так как у нас обеспеченность первой ординаты равна 5%, то   S = (x5 + x95 – 2x50)/(x5 – x95)   подставляя вместо x5, x50, x95 формулы, записанные выше, получим   S = (t5 + t95 – 2t50)/(t5 – t95) 6. Зная S и р по таблице нормированных ординат для кривой Пирсона III типа находятся значения коэффициента асимметрии Cs*. Т.о., находится первая оценка параметра распределения 7. Зная S и р по таблице нормированных ординат для кривой Пирсона III типа находятся также t5, t50, t95

Г

Последовательность расчетов графоаналитическим методом, основанным на кривой Пирсона III типа 8. Вычитая друг от друга уравнения х5 = t5 σx* + хср. и х95 = t95 σx* + хср., получим оценку второго параметра - СКО   σx* = (х5 - х95)/(t5 - t95)   9. Оценку МО находим из третьего уравнения, а именно: х50 = t50 σx* + хср.   хср. = х50 - t50 σx*  10. С учетом формулы того, что Cv = σx/mx получим, что Cv*= σx*/хср.

Последовательность построения аналитической кривой распределения Пирсона III типа Дано: хср., σx*, Cv,* Cs,* t5, t50, t95 ряда СВ (только что определили)   Требуется: Построить аналитическую кривую распределения   Определяем х5, х50, х95 по формулам х5 = t5 σx* + хср.   х50 = t50 σx* + хср.   х95 = t95 σx* + хср. и наносим их на клетчатку вероятности распределения. Проводим по этим точкам сглаженную аналитическую кривую распределения.  

Графоаналитический метод на основе трехпараметрической логарифмической кривой распределения У этого вида распределения третий параметр (а) не влияет на форму кривой обеспеченности, а лишь приводит к сдвигу по оси Х. Поэтому, для этого вида распределения коэффициент скошенности S однозначно зависит от коэффициента асимметрии. Поэтому можно применить тот же способ, как и для кривой Пирсона III типа и составить таблицы Т.о., значения коэффициента скошенности S, вычисленные на основе опорных ординат t5, t50, t95 логнормального распределения в зависимости от коэффициента асимметрии Cs, определяются по таблице

Значения коэффициента скошенности S, вычисленные на основе опорных ординат t5, t50, t95 логнормального распределения в зависимости от коэффициента асимметрии Cs

Графоаналитический метод на основе трехпараметрической логарифмической кривой распределения Методика отличается тем, что здесь нужно дополнительно вычислить сдвиг а, который вычисляется по формуле   a = (x5x95 - x50 2)/(x5 + x95 - 2x50)   Дальнейший расчет ведется по той же схеме.

Последовательность расчетов графоаналитическим методом на основе трехпараметрической логарифмической кривой распределения Дано: Ряд наблюдений за СВ   Требуется: Оценить параметры распределения – хср., σx*, Cv,* Cs*   Последовательность расчетов   1. Ряд наблюдений ранжируется в убывающем порядке 2. По формуле pm = (m/(n + 1))100%, где m - порядковый номер, а n – число наблюдений, рассчитываются ординаты эмпирической кривой обеспеченности 3. На клетчатку вероятности наносятся точки эмпирической кривой распределения. При этом по оси ординат откладываются значения самой СВ, а не модульные коэффициенты. По точкам проводится сглаженная кривая 4. По сглаженной кривой определяются три опорные ординаты для обеспеченностей – 5, 50 и 95%, то есть х5, х50, х95

Последовательность расчетов графоаналитическим методом на основе трехпараметрической логарифмической кривой распределения 5. Для оценки коэффициента асимметрии рассчитывается коэффициент скошенности S   S = (x5 + x95 – 2x50)/(x5 – x95)   6. Зная S и р по таблице нормированных ординат для трехпараметрической логарифмической кривой распределения находим значение коэффициента асимметрии Cs*, а также t5, t50, t95 7. Вычисляем оценку второго параметра – СКО по формуле   σx* = (х5 - х95)/(t5 - t95)

Последовательность расчетов графоаналитическим методом на основе трехпараметрической логарифмической кривой распределения 8. Оценка МО находится из третьего из уравнения хср. = х50 - t50 σx*   9. Коэффициент вариации рассчитывается по формуле Cv*= σx*/хср.   10. Если на основе этих оценок нужно рассчитать ординаты аналитической кривой обеспеченности, то дополнительно вычисляется сдвиг а по формуле a = (x5x95 - x50 2)/(x5 + x95 - 2x50) Далее по схеме, как было изложено по методу кривой Пирсона III типа.

Графоаналитический метод на основе кривой Крицкого-Менкеля У этого вида зависимости нет однозначной связи между коэффициентом асимметрии Cs и коэффициентом скошенности S Поэтому, наряду с обычным коэффициентом скошенности S., рассчитывается также коэффициент S2.  S2 = 2x50/(x5 – x95) = 2k50/(k5 - k95) При фиксированном значении Cs/Cv коэффициент S2 однозначно зависит от S. Зависимость эта представляется в виде номограммы Таким образом, рассчитав S и S2, можно по номограмме оценить соотношение Cs/Cv. При этом нужно значение Cs/Cv округлять до 0,5 Если значение коэффициента скошенности S>0,6, то Cv>1. В этой ситуации оценка Cs/Cv является крайне ненадежной и следует отказаться от расчета графоаналитическим методов (можно принять районное соотношение Cs/Cv)

Графоаналитический метод на основе кривой Крицкого-Менкеля При фиксированном Cs/Cv имеет место однозначная зависимость между коэффициентом вариации Cv и коэффициентом скошенности S. Эта зависимость представляется в виде таблицы. При известных значениях Cs/Cv и S по таблице можно определить коэффициент вариации Cv Для расчета среднего значения необходимо по таблице ординат кривой обеспеченности Крикого – Менкеля определить модульный коэффициент 50% обеспеченности k50. Тогда хср. = х50/k50

Номограмма для определения соотношения Cs/Cv в зависимости от коэффициента скошенности S и параметра S2 для кривой Крицкого – Менкеля.

Значения коэффициента скошенности S в зависимости от Cv и соотношения Cs/Cv для кривой обеспеченности Крицкого - Менкеля

Последовательность расчетов графоаналитическим методом на основе кривой Крицкого-Менкеля Дано: Ряд наблюдений Требуется: Оценить параметры распределения по кривой обеспеченности Крицкого – Менкеля. 1. Ряд наблюдений ранжируется в убывающем порядке 2. По формуле pm = (m/(n + 1))100%, где m - порядковый номер, а n – число наблюдений, рассчитываются ординаты эмпирической кривой обеспеченности 3. На клетчатку вероятности наносятся точки эмпирической кривой распределения. При этом по оси ординат откладываются значения самой СВ, а не модульные коэффициенты. По точкам проводится сглаженная кривая. 4. По сглаженной кривой определяются три опорные ординаты для обеспеченностей – 5, 50 и 95%, то есть х5, х50, х95.

Последовательность расчетов графоаналитическим методом на основе кривой Крицкого-Менкеля 5. Рассчитывается коэффициент скошенности S по формуле   S = (x5 + x95 – 2x50)/(x5 – x95)   6. Рассчитывается коэффициент S2 по формуле   S2 = 2x50/(x5 – x95) = 2k50/(k5 - k95)   7. Зная S и S2 по номограмме определяется соотношение Cs/Cv   8. По таблице значения коэффициента скошенности S в зависимости от Cv и соотношения Cs/Cv для кривой обеспеченности Крицкого – Менкеля определяется коэффициент вариации 9. По таблицам кривой обеспеченности Крицкого – Менкеля (см. лекцию 3) определяем k50. 10. По формуле хср. = х50/k50 определяется среднее значение СВ - хср.   Расчет ординат аналитической кривой обеспеченности производится по схеме, изложенной в предыдущих лекциях.

Обратная последовательность расчетов 1. По полученным оценкам (xср., Cv, Cs/Cv) по таблице ординат кривой обеспеченностей Крицкого и Менкеля определяются модульные коэффициенты 2. Умножаем модульный коэффициент на xср. и получаем расчетное значение СВ для 5%, 50% и 95% обеспеченностей 3. Наносим полученные значения на клетчатку вероятностей и проводим аналитическую кривую распределения по Крицкому – Менкелю   Хотя графоаналитические методы являются достаточно простыми и наглядными, их нужно применять с осторожностью, так как проведение сглаженной эмпирической кривой всегда носит субъективный характер и требует определенных навыков.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!