🗊Презентация Интеграл с переменным верхним пределом

Интеграл с переменным верхним пределом Пусть функция непрерывна на . Тогда для любого из функция интегрируема на отрезке , следовательно на определена функция которая называется интегралом с переменным верхним пределом.

Значение функции в точке из равно площади под кривой на отрезке . Т Е О Р Е М А 1. Пусть функция непрерывна на . Тогда функция заданная формулой обладает следующими свойствами: непрерывна на отрезке ; имеет производную для всех из , удовлетворяющую равенству

Формула Ньютона – Лейбница. Пусть функция непрерывна на , функция любая ее первообразная на . Тогда определенный интеграл от функции по отрезку равен значения функции в точках а и b соответственно.

Формула называется формулой Ньютона – Лейбница. Исаак Ньютон (1643-1727) – английский физик, математик и астроном. Один из создателей классической физики. Автор фундаментального труда «Математические начала натуральной философии» , в котором он изложил Закон всемирного тяготения и три закона механики. Разработал дифференциальное и интегральное исчисление. Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646-1716) математик, физик и изобретатель, юрист, историк, языковед. Основные математические сочинения: "Об истинном отношении круга к квадрату" (1682), "Новый метод максимумов и минимумов" (1684), "О скрытой геометрии и анализе неделимых..." (1686).

Вычисление определенных интегралов Вычисление определенных интегралов с использованием формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два шага. На первом шаге, используя технику нахождения неопределенного интеграла, получают некоторую первообразную для подынтегральной функции . на втором этапе применяется собственно формула Ньютона-Лейбница.

Примеры. Пример 1. Вычислить Решение. Произвольная первообразная для функции имеет вид Применяя формулу Ньютона – Лейбница, получим Ответ:

Пример 2. Вычислить Решение. Ответ:

Замена переменной в определенном интеграле Теорема. Пусть функция имеет непрерывную производную на , и функция непрерывна в каждой токе ,где Тогда справедливо следующее равенство Эту формулу называют формулой замены переменной в определенном интеграле.

Примеры Пример 3. Вычислить Решение. Пусть Следовательно,

Интегрирование по частям в определенном интеграле Теорема. Пусть функция и имеют непрерывные производные на , тогда справедливо следующее равенство Эту формулу называют формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Примеры. Пример 4. Вычислить Решение. 0

Ответ: Пример 5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Решение. Из рисунка следует, что площадь искомой фигуры равна: каждая их которых находится по геометрическому смыслу определенного интеграла.

Решая систему получим координаты точки В(2;4). ОТВЕТ:

Несобственный интеграл Определение: Пусть функция f(x) непрерывна на интервале Если существует то этот предел называется несобственным интегралом и обозначается Если предел, стоящий в правой части равенства, существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае - расходящимся.