Интегрирование дробно-рациональных функций. (Лекция 2) - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Интегрирование дробно-рациональных функций. (Лекция 2), слайд №1

Интегрирование дробно-рациональных функций. (Лекция 2), слайд №2

Интегрирование дробно-рациональных функций. (Лекция 2), слайд №3

Интегрирование дробно-рациональных функций. (Лекция 2), слайд №4

Интегрирование дробно-рациональных функций. (Лекция 2), слайд №5

Интегрирование дробно-рациональных функций. (Лекция 2), слайд №6

Интегрирование дробно-рациональных функций. (Лекция 2), слайд №7

Интегрирование дробно-рациональных функций. (Лекция 2), слайд №8

Интегрирование дробно-рациональных функций. (Лекция 2), слайд №9

Интегрирование дробно-рациональных функций. (Лекция 2), слайд №10

Интегрирование дробно-рациональных функций. (Лекция 2), слайд №11

Интегрирование дробно-рациональных функций. (Лекция 2), слайд №12

Интегрирование дробно-рациональных функций. (Лекция 2), слайд №13

Интегрирование дробно-рациональных функций. (Лекция 2), слайд №14

Интегрирование дробно-рациональных функций. (Лекция 2), слайд №15

Интегрирование дробно-рациональных функций. (Лекция 2), слайд №16

Интегрирование дробно-рациональных функций. (Лекция 2), слайд №17

Интегрирование дробно-рациональных функций. (Лекция 2), слайд №18

Интегрирование дробно-рациональных функций. (Лекция 2), слайд №19

Интегрирование дробно-рациональных функций. (Лекция 2), слайд №20

Интегрирование дробно-рациональных функций. (Лекция 2), слайд №21

Интегрирование дробно-рациональных функций. (Лекция 2), слайд №22

Интегрирование дробно-рациональных функций. (Лекция 2), слайд №23

Интегрирование дробно-рациональных функций. (Лекция 2), слайд №24

Интегрирование дробно-рациональных функций. (Лекция 2), слайд №25

Интегрирование дробно-рациональных функций. (Лекция 2), слайд №26

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Интегрирование дробно-рациональных функций. (Лекция 2). Доклад-сообщение содержит 26 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Интегрирование некоторых функций Лекция 2.

Слайд 2

Описание слайда:

I. Интегрирование дробно-рациональных функций Опр. Дробной рациональной функцией называют частное от деления двух многочленов. При этом можно считать, что степень многочлена, стоящего в числителе, ниже степени многочлена в знаменателе (в противном случае, можно выделить целую часть, разделив "углом" числитель на знаменатель). Пример. = + Тогда интеграл от исходной дроби сведется к сумме интегралов от многочлена и правильной дроби.

Слайд 3

Описание слайда:

Как известно из теории многочленов, каждый многочлен может быть представлен в виде произведения многочленов (разложен на множители) первой и/или второй степени в зависимости от того, действительные или комплексные у него корни, причем кратным корням отвечают одинаковые множители. В соответствии с этим, рациональная дробь представляется в виде суммы некоторого количества выражений следующих видов: , где А, С , N, где ‑ трехчлен с действительными коэффициентами не имеет действительных корней (D < 0).

Слайд 4

Описание слайда:

Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби. Метод неопределённых коэффициентов. Пример. Вычислить интеграл . Решение. Общее правило интегрирования дробей. 1) Разложим знаменатель на линейные и квадратичные множители: = ((‒1)( 1). 2) Разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби: = + + + 3) Приведем правую часть к общему знаменателю и освободимся от знаменателя: 1 () + ) +()++‒. 1 + + ) + (++)+ ()‒ .

Слайд 5

Описание слайда:

Пример 4) Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях полученного тождества и решим систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов: │ + + = 0, │ ++ = 0, │ = 0, │‒ = 1. Отсюда получим: = ‒ 1, = 0, = , = ‒ , = . Тогда получим: = + +

Слайд 6

Описание слайда:

Пример 5) = + + = + ln││‒ = = + ln││‒ + = + ln││‒ ln││+ = = + ln││‒ ln││+ · arctg + C = = + ln││‒ ln││+ arctg + C.

Слайд 7

Описание слайда:

Интегралы от простейших дробей: 1 тип: = ln││+C (подстановка ). 2 тип: (применяется та же подстановка). 3 тип: Следующий интеграл находится путем такого преобразования:

Слайд 8

Описание слайда:

Интегрирование дробно-рациональных функций Произвольную постоянную здесь можно опускать, пока в правой части равенства есть хоть один интеграл. Первый из интегралов найден с помощью подстановки: . Оставшийся интеграл путем несложных преобразований (выделение полного квадрата) легко привести к виду: , который приводится к табличному с помощью подстановки , что дает в результате

Слайд 9

Описание слайда:

Пример Вычислить интеграл Решение. Это интеграл 3-го типа, причем D < 0. Получим = = = === = = 2 = = ln │ │ arctg + C = = ln││ arctg + C .

Слайд 10

Описание слайда:

Интегрирование дробно-рациональных функций 4 тип: > 0. Представим этот интеграл с помощью подстановки + = в виде суммы двух интегралов, один из которых легко берется: А + ( ‒ ) = . Первый интеграл находится легко. Если второй интеграл проинтегрируем по частям, то получим рекуррентную формулу для вычисления интеграла для любого натурального числа : = (· + ).

Слайд 11

Описание слайда:

Пример Вычислить интеграл Решение. Здесь = 1, Так как = arctg + С, то = (· + )= = + = arctg + + ; = (· + )= = + = (arctg + ) + + +;

Слайд 12

Описание слайда:

II.Интегрирование рациональных выражений тригонометрических функций Вычисление неопределённых интегралов типа сводится к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой tg = t, которая называется универсальной тригонометрической подстановкой.

Слайд 13

Описание слайда:

Интегрирование тригонометрических функций Для преобразования рациональных выражений от sin x, cos x, tg x, ctg x в алгебраические рациональные функции переменной t применяются следующие тригонометрические формулы:

Слайд 14

Описание слайда:

Интегрирование тригонометрических функций. Четность функций. Тогда = = где ) – рациональная функция от Замечание. Обычно этот способ очень громоздкий, но он всегда приводит к результату. На практике применяют другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств и вида подынтегральной функции. В частности, удобны правила: Если функция ) нечетна относительно , т.е. ) = ‒ ), то подстановка = ; Если функция ) нечетна относительно , т.е. ) = ‒ ), то подстановка = ;

Слайд 15

Описание слайда:

3) Если функция ) четна относительно , т.е. ) = ), то подстановка = ; 4) Для интеграла также применяется подстановка = . Тогда = = arctgt, . В этом случае применяют тригонометрические формулы: = , = = =,

Слайд 16

Описание слайда:

Пример 1. Вычислить интеграл . Решение. Используем универсальную тригонометрическую подстановку: Так как = то = = = 2 =‒ +С= =‒ +С.

Слайд 17

Описание слайда:

Пример 2. Вычислить интеграл . Решение. = = = = = arctg + С = arctg + С .

Слайд 18

Описание слайда:

Интегралы вида 1) Если – целое положительное нечетное число, то подстановка = ; 2) Если – целое положительное нечетное число, то подстановка = ; 3) Если – целые неотрицательные четные числа, то применяют формулы понижения степени: = , = 4) Если – целое отрицательное четное число, то подстановка .

Слайд 19

Описание слайда:

Пример 3. Вычислить интеграл . Решение. = == = = = + = ‒ + ln│t│+C = = ‒ + ln│tg │+C.

Слайд 20

Описание слайда:

Интегралы вида и где – целое положительное число. Применяются формулы = ‒ 1, = ‒ 1, с помощью которых последовательно понижается степень и . Пример. + ln││+ C.

Слайд 21

Описание слайда:

Интегралы вида Применим известные тригонометрические формулы: = ( + ‒ = ( + ‒ = ( ‒ + Пример. = =‒ +

Слайд 22

Описание слайда:

Интегрирование иррациональных функций I. Пусть – рациональная функция своих аргументов; , n, …, s – целые числа. Пусть k – общий знаменатель дробей , … , . Тогда подстановка = , k· преобразует данный интеграл в интеграл от рациональной функции. II. Пусть , тогда подстановка =, где k – общий знаменатель дробей , … , .

Слайд 23

Описание слайда:

Пример Вычислить интеграл . Решение. = = = = 3 = 3 = 3) = = 3 + 3 + 3ln││+C = + +3 + 3ln││+C .

Слайд 24

Описание слайда:

Интегрирование некоторых видов иррациональностей Тригонометрические подстановки применяются, если: подстановка = 2. подстановка = 3. подстановка = или = .