Интегрирование функций - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Интегрирование функций. Доклад-сообщение содержит 51 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

ВОЕННО–МЕДИЦИНСКАЯ АКАДЕМИЯ имени С.М. Кирова Кафедра биологической и медицинской физики ЛЕКЦИЯ № 2 по дисциплине «Физика, математика» на тему: «Интегрирование функций» для курсантов I курса ФПВ, ФПиУГВ и спецфакультета Исполнитель: к. ф.-м. наук доцент Н.Г. Новикова

Слайд 2

Описание слайда:

1. Понятие неопределенного интеграла При дифференцировании мы искали производную по заданной функции y=F(x), то есть нужно было найти f(x)=F’(x). Можно поставить обратную задачу: восстановить продифференцированную функцию, т.е., зная производную f(x), найти такую функцию F(x), чтобы F’(x) = f(x).

Слайд 3

Описание слайда:

Например, известна скорость перемещения точки , а найти нужно закон ее перемещения: Эта задача является более трудной, чем задача дифференцирования. Для решения подобных задач вводятся новые понятия и действия.

Слайд 4

Описание слайда:

Определение: Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), если F’(x)=f(x) на интервале (a,b). Например, для f(x) =x2 первообразная F(x) = x3/3, так как F’(x)=(x3/3)’=x2. Для f(x) =cosx первообразной будет F(x) =sinx, так как F’(x)=(sinx)’=cosx.

Слайд 5

Описание слайда:

Первообразная для заданной функции f(x) существует только, если эта функция непрерывна на (a,b). Кроме того, первообразных – множество, и отличаются они только постоянным слагаемым. Действительно, sinx+2, sinx-2, sinx+C – все эти функции будут являться первообразными для функции f(x) =cosx .

Слайд 6

Описание слайда:

Определение: Выражение F(x)+C, где С - произвольная постоянная величина, определяющее множество первообразных для функции f(x), называется неопределенным интегралом и обозначается символом т.е.

Слайд 7

Описание слайда:

Знак ∫ - знак неопределенного интеграла; f(x)dx – подынтегральное выражение; f(x) – подынтегральная функция.

Слайд 8

Описание слайда:

Определение: Операция нахождения первообразной по заданной производной или дифференциалу называется интегрированием.

Слайд 9

Описание слайда:

Интегрирование – действие, обратное дифференцированию. Его можно проверить дифференцированием, причем дифференцирование однозначно, а интегрирование дает ответ с точностью до постоянной.

Слайд 10

Описание слайда:

Придавая постоянной величине С различные значения С1, С2, С3, получим различные функции y1(x)=F(x)+C1, y2(x)=F(x)+C2, y3(x)=F(x)+C3, каждая из которых задает на координатной плоскости кривую, называемую интегральной. Все графики интегральных кривых сдвинуты друг относительно друга вдоль оси OY.

Слайд 11

Описание слайда:

Следовательно, геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых.

Слайд 12

Описание слайда:

Пример семейства интегральных кривых

Слайд 13

Описание слайда:

Чтобы находить первообразные, необходимо составить и выучить наизусть таблицу неопределенных интегралов от основных элементарных функций. Она получается в результате обращения соответствующих формул дифференцирования. Например, если (sinx)’=cosx, то ∫cosxdx=sinx+C.

Слайд 14

Описание слайда:

Таблица основных неопределенных интегралов

Слайд 15

Описание слайда:

Слайд 16

Описание слайда:

Слайд 17

Описание слайда:

Слайд 18

Описание слайда:

2. Свойства неопределенных интегралов 1) Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

Слайд 19

Описание слайда:

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

Слайд 20

Описание слайда:

3) Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной:

Слайд 21

Описание слайда:

4) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

Слайд 22

Описание слайда:

5) Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

Слайд 23

Описание слайда:

3. Непосредственное интегрирование Этот метод заключается в прямом использовании табличных интегралов и свойств.

Слайд 24

Описание слайда:

Метод разложения Этот метод заключается в разложении подынтегральной функции в комбинацию более простых функций с использованием известных формул.

Слайд 25

Описание слайда:

Слайд 26

Описание слайда:

3. Основные методы интегрирования Таких методов два: а) метод замены переменной; б) интегрирование по частям.

Слайд 27

Описание слайда:

Метод замены переменной Метод основан на замене переменной в неопределенном интеграле с целью свести его нахождение к нахождению такого неопределенного интеграла, который может быть найден методом разложения. Другими словами, необходимо получить: ∫f1(x)dx = ∫f2(y)dy, где y = φ(x)

Слайд 28

Описание слайда:

Пример: Найти неопределенный интеграл: ∫cos2xdx Этот интеграл не является табличным. Произведем замену: y = 2x Тогда dy=(y)’dx=2dx dx = dy/2 Соответственно:

Слайд 29

Описание слайда:

4. Определенный интеграл Рассмотрим некоторую непрерывную на конечном отрезке [a,b] функцию y=f(x). Разделим отрезок [a,b] на n частей (необязательно равных) и обозначим абсциссы точек деления A0, A1, A2, …, An-2, An-1, An в порядке возрастания следующим образом: x0=a, x1, x2, x3, …, xn-2, xn-1, xn=b

Слайд 30

Описание слайда:

Слайд 31

Описание слайда:

Из точек деления восставим перпендикуляры к оси абсцисс до их пересечения с графиком функции в точках, соответственно: B0, B1, B2, …, Bn-2, Bn-1, Bn

Слайд 32

Описание слайда:

На каждом из отрезков [x0, x1], [x1, x2], [x2, x3], …, [xn-2, xn-1], [xn-1, xn] (эти отрезки в отличие от всего отрезка [a,b] называют частичными отрезками) выберем по одной точке (необязательно в центре отрезка), обозначив их, соответственно, с1, с2, с3, …, сn-2, сn-1, сn. Из этих точек также восставим перпендикуляры к оси абсцисс до их пересечения с графиком функции.

Слайд 33

Описание слайда:

Составим сумму произведений значений функции y=f (x) в точках ci , где индекс i – номер частичного отрезка (1, 2, 3, …, n), на величины Δxi=xi-xi-1 соответствующих отрезков:

Слайд 34

Описание слайда:

или, в сокращенной записи

Слайд 35

Описание слайда:

где символ означает суммирование по индексу i , последовательно изменяющемуся от 1 до n включительно.

Слайд 36

Описание слайда:

Сумма In называется интегральной суммой функции y=f(x) на отрезке [a,b].

Слайд 37

Описание слайда:

Определение: Если существует конечный предел интегральной суммы функции y=f(x) на отрезке [a,b] при стремлении к 0 величины максимального из частичных отрезков, не зависящий от способа разделения данного отрезка на частичные отрезки и выбора на них точек ci , то такой предел называют определенным интегралом от этой функции на данном отрезке и обозначают следующим образом:

Слайд 38

Описание слайда:

Слайд 39

Описание слайда:

Функция f(x) – подынтегральная функция, x – переменная интегрирования. Числа a и b (границы отрезка [a,b]) называют, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования.

Слайд 40

Описание слайда:

Основное отличие определенного интеграла от неопределенного: Неопределенный интеграл – это семейство первообразных функций; Определенный интеграл – число!

Слайд 41

Описание слайда:

Геометрический смысл определенного интеграла: Определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, т.е. плоской фигуры, ограниченной сверху графиком непрерывной функции у= f(x) , снизу – осью абсцисс, слева – прямой линией x=a, справа – прямой линией x=b.

Слайд 42

Описание слайда:

Слайд 43

Описание слайда:

5. Свойства определенного интеграла 1. Определенный интеграл с одинаковыми верхним и нижним пределами равен 0: . 2. При перемене местами верхнего и нижнего пределов интегрирования определенный интеграл, сохраняя свое значение, меняет знак:

Слайд 44

Описание слайда:

3. Если отрезок интегрирования [a,b] разбить на несколько участков [a,d], [d,с],…, [k,b], то определенный интеграл от функции f(x) на отрезке [a,b] равен сумме определенных интегралов от этой функции на каждом из частичных отрезков: 4. Постоянный множитель можно выносить из-под знака определенного интеграла:

Слайд 45

Описание слайда:

5. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме определенных интегралов от каждого слагаемого: 6. Величина определенного интеграла от функции f(x), непрерывной на отрезке [a,b], равна приращению любой из первообразных этой функции на данном отрезке:

Слайд 46

Описание слайда:

Формулу называют формулой Ньютона-Лейбница.

Слайд 47

Описание слайда:

1. . 2. . 3. .

Слайд 48

Описание слайда:

6. Основные методы вычисления определенных интегралов а) Метод разложения (непосредственного интегрирования) = = = = = .

Слайд 49

Описание слайда:

б) Метод замены переменной = | u =cos x, du = -sinx dx | = = = .

Слайд 50

Описание слайда:

Обратите внимание: 1) при замене переменной соответствующим образом изменяют и пределы интегрирования (cos 0 = 1; cos (π/2) = 0); 2) если замена переменной и пределов интегрирования выполнена правильно, то нет необходимости возвращаться к исходной переменной x (нам необходимо получить число, которое будет одинаковым в обоих случаях).