🗊Презентация Интегрирование иррациональных функций

Интегрирование иррациональных функций Интегрирование иррациональных функций Квадратичные иррациональности Рассмотрим некоторые типы интегралов,содержащих иррациональные функции. Интегралы типа Называют неопределенными интегралами от квадратичных иррациональностей.Их можно найти следующим образом: под радикалом выделить полный квадрат: и сделать подстановку

При этом первые два интеграла приводятся к табличным, а третий – к сумме двух табличных интегралов. Пример№1. Найти интеграл: Решение: Так как

Пример №2.Найти интеграл : Пример №2.Найти интеграл : Решение: Выделим полный квадрат : Сделаем подстановку: Тогда:

Интегрирование тригонометрических функций Интегрирование тригонометрических функций Интегралы вида Находятся с помощью формул:

Пример №1. Найти интеграл: Пример №1. Найти интеграл: Решение:Воспользуемся формулой Получим: Тогда

Пример№2. Найти интеграл: Пример№2. Найти интеграл: Решение: Воспользуемся формулой: Получим: Тогда

Пример№3. Найти интеграл: Пример№3. Найти интеграл: Решение: Воспользуемся формулой: Получим: Тогда:

Интегралы типа Интегралы типа Для нахождения таких интегралов используются следующие приемы: Подстановка если целое положительное нечетное число; Подстановка если целое положительное нечетное число; Формулы понижения порядка: Если целые неотрицательные четные числа; 4)Подстановка если есть четное отрицательное целое число.

Пример№1. Найти интеграл: Пример№1. Найти интеграл: Решение: Применим подстановку Т.к.n=5 (1 cлучай). Тогда Получим:

Пример №2.Найти интеграл: Пример №2.Найти интеграл: Решение: воспользуемся формулой:

Пример №3. Найти интеграл: Пример №3. Найти интеграл: Решение:Здесь (4 случай) Обозначим Тогда Получим:

Универсальная тригонометрическая подстановка Универсальная тригонометрическая подстановка Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрическихфункций.Функцию с переменными и ,над которыми выполняются рациональные действия (сложения,вычитание,умножение иделение) Принято обозначать знак рациональной функции. Вычисление неопределённых интегралов типа Сводится к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой ,которая называется универсальной

Действительно, Действительно, Поэтому Где рациональная функция от .Обычно этот способ весьма громоздкий,зато всегда приводит к результату.

На практике применяют и другие,более простые подстановки, в зависимости от свойств ( и вида) подынтегральной функции.В частности,удобны следующие правила: 1)Если функция нечётна относительно Т.е ,то подстановка рационализирует интеграл; 2)Если функция нечётна относительно Т.е. ,то делается подстановка 3)Если функция четна относительно ,то интеграл рационализируется подстановкой .Такая же подстановка применяется,если интеграл имеет вид

Пример: Найти интеграл Пример: Найти интеграл Решение: Сделаем универсальную подстановку Тогда Следовательно