Инженерные кривые и поверхности - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Инженерные кривые и поверхности, слайд №1

Инженерные кривые и поверхности, слайд №2

Инженерные кривые и поверхности, слайд №3

Инженерные кривые и поверхности, слайд №4

Инженерные кривые и поверхности, слайд №5

Инженерные кривые и поверхности, слайд №6

Инженерные кривые и поверхности, слайд №7

Инженерные кривые и поверхности, слайд №8

Инженерные кривые и поверхности, слайд №9

Инженерные кривые и поверхности, слайд №10

Инженерные кривые и поверхности, слайд №11

Инженерные кривые и поверхности, слайд №12

Инженерные кривые и поверхности, слайд №13

Инженерные кривые и поверхности, слайд №14

Инженерные кривые и поверхности, слайд №15

Инженерные кривые и поверхности, слайд №16

Инженерные кривые и поверхности, слайд №17

Инженерные кривые и поверхности, слайд №18

Инженерные кривые и поверхности, слайд №19

Инженерные кривые и поверхности, слайд №20

Инженерные кривые и поверхности, слайд №21

Инженерные кривые и поверхности, слайд №22

Инженерные кривые и поверхности, слайд №23

Инженерные кривые и поверхности, слайд №24

Инженерные кривые и поверхности, слайд №25

Инженерные кривые и поверхности, слайд №26

Инженерные кривые и поверхности, слайд №27

Инженерные кривые и поверхности, слайд №28

Инженерные кривые и поверхности, слайд №29

Инженерные кривые и поверхности, слайд №30

Инженерные кривые и поверхности, слайд №31

Инженерные кривые и поверхности, слайд №32

Инженерные кривые и поверхности, слайд №33

Инженерные кривые и поверхности, слайд №34

Инженерные кривые и поверхности, слайд №35

Инженерные кривые и поверхности, слайд №36

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Инженерные кривые и поверхности. Доклад-сообщение содержит 36 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Харьковский национальный университет им В.Н.Каразина Лекция 4-5 Инженерные кривые и поверхности Чтобы выполнить большой и важный труд, необходимы две вещи: ясный план и ограниченное время. Элберт Хаббард Кафедра теплофизики и молекулярной физики

Слайд 2

Описание слайда:

Литература Курс высшей математики: Смирнов В.И. , 1-й т., М., Наука, 1974. – 480с. Курс высшей математики, Смирнов В.И., 2-й т., М., Наука, 1974. – 656с. Введение в математические основы САПР: Д. М. Ушаков — Санкт-Петербург, ДМК Пресс, 2012 г.- 208 с. Введение в современные САПР: Владимир Малюх — Москва, ДМК Пресс, 2014 г.- 192 с. Любые книги по Solid Works

Слайд 3

Описание слайда:

План Кусочные кривые и их гладкость . Билинейный лоскут. Поверхности сдвига и вращения. Линейчатая поверхность. Лоскут Кунса. Эрмитова кривая. Бикубическая поверхность. Кривые и поверхности Безье. Сплайн-интерполяция. Рациональные кривые и поверхности Граничные модели. Корректность граничных моделей Пакеты геометрического моделирования

Слайд 4

Описание слайда:

Кусочные кривые и их гладкость - непрерывность кривых и поверхностей - непрерывность k-x производных их параметрических уравнений . Кривые составляются из криволинейных сегментов Поверхности - из лоскутов разной параметризации. - непрерывность – непрерывность направления (единичного вектора) k-й производной параметрического уравнения Пример. Для сходимости итерационных методов второго порядка (например, метода Ньютона-Рафсона) необходимо, чтобы рассматриваемые кривые и поверхности имели - непрерывность.

Слайд 5

Описание слайда:

Кусочные кривые и их гладкость Уравнения кривых и поверхностей записываются в некой удобной системе координат. Для преобразования в глобальную систему координат используются аффинные трансформации. Аффинное пространство: задается двумя непересекающимися множествами - точек и векторов; задается операцией откладывания точки от другой точки с помощью вектора; задается обратной операцией вычисления вектора, соединяющего две точки. множество векторов должно образовывать евклидово пространство (линейное пространство со скалярным произведением).

Слайд 6

Описание слайда:

Кусочные кривые и их гладкость В случае САПР: трехмерное аффинное пространство; определено векторное произведение; точки и векторы в этом пространстве могут задаваться тройками вещественных чисел. Соглашение о нотации Точки: P, Ω, … Векторы: е, θ, … Скалярные величины: x, α, … Скалярное произведение: (u, v) Векторное произведение: u^v

Слайд 7

Описание слайда:

Билинейный лоскут Лоскут - конечная поверхность, представленная в виде области отображения прямоугольника в параметрическом Пространстве (зачастую ) Простейший лоскут – билинейная поверхность, задаваемая четырьмя граничными вершинами: Р(0,0) = Р00, Р(0,1) = Р01 Р(1,0) = Р10, Р(1,1) = Р11. Уравнение билинейного лоскута: Р(u,v) = (1-u)(1-v)P00 + (l-u)vP01+ u(1-v)Р10 +uvP11.

Слайд 8

Описание слайда:

Поверхности сдвига и вращения Поверхность сдвига (swept surface) задается точками заданной кривой P(f)=(x(t), y(t), z(t)), , при ее движении в заданном направлении е=(еx, еy , еz). Параметризация поверхности сдвига: Р(u,v)=Р(u) + ve. Поверхность вращения описывается движением заданной кривой (Р1(t)) вдоль направляющей кривой (Р2(t)). Уравнение обобщенной поверхности: Р(u,v)=P1(u) + P2(v) - Р2(0),

Слайд 9

Описание слайда:

Линейчатая поверхность Линейчатая поверхность (ruled surface) - способ задания поверхности по двум кривым Р1(t) и Р2(t), Параметрическое уравнение линейчатой поверхности: Р(u,v) = uP1(v) + (1-u)P2(v),

Слайд 10

Описание слайда:

Лоскут Кунса Лоскут Кунса (Coons' patch) - обобщение поверхности сдвига и линейчатой поверхности. Задается четырьмя граничными кривыми P0(t), Р1(t), Q0(t), Q1(t), образующими замкнутый контур в трехмерном пространстве: P0(0)= Q0(0)=P0,0, P0(1)=Q1(0)=P0,1 , Р1(0)=Q0(1)=P1,0 , Р1(t)=Q1(t)=P1,1. Параметрическое уравнение лоскута Кунса: P(u,v)=(l-u)P0(v) + uP1(v) + (l-v)Q0(u) + vQ1(u) – (l-u)(l-v)P0,0-u(1-v)P1,0-(1-u)vP0,1 –uvP1,1 Замечание: лоскут Кунса позволяет контролировать форму поверхности на ее границах, но не между ними

Слайд 11

Описание слайда:

Эрмитова кривая Кубическая кривая - основной примитив при работе в САПР. Эрмитова кривая - геометрический способ задания Кубической кривой: с помощью концевых точек и касательных векторов в них. Уравнение Эрмитовой кривой: Р(t)= (1 – 3t2 + 2t3)P0 + (3t2 – 2t3)Р1, +(t- 2t2 + t3)P0’ + (-t2+t3)P1’, при этом P(0)= P0, P(l) =P1, P'(0) = P0’, P'(1) = P1’,

Слайд 12

Описание слайда:

Бикубическая поверхность Бикубическая поверхность (bicubic surface) задается алгебраически с помощью 48 (!) коэффициентов. Для задания БП необходимы: Четыре граничные точки Р00, Р01, Р10, Р11. Восемь касательных векторов в этих точках. Четыре вектора кручения. БП - обладающая кубической кривизной как в направлении М, так и в направлении N поверхность, «натянутая» на четыре пространственные кривые

Слайд 13

Описание слайда:

Кривые и поверхности Безье Недостаток Эрмитовой кривой: можно определить поведение кривой только в граничных точках. Кривая Безье - конструктивно задаваемая кривая, форму которой можно контролировать в промежуточных, так называемых контрольных, точках. Кривая Безье задаётся опорными точками.

Слайд 14

Описание слайда:

Кривые и поверхности Безье Точки не всегда на кривой. Степень кривой равна числу точек минус один. Кривая всегда находится внутри выпуклой оболочки, образованной опорными точками: Благодаря (3) в компьютерной графике можно оптимизировать проверку пересечений двух кривых – если их выпуклые оболочки не пересекаются, то и кривые тоже не пересекутся.

Слайд 15

Описание слайда:

Кривые и поверхности Безье

Слайд 16

Описание слайда:

Кривые и поверхности Безье Координаты кривой описываются в зависимости от параметра t є [0,1] Для двух точек: P = (1-t)P1 + tP2 Для трёх точек: P = (1−t)2P1 + 2(1−t)tP2 + t2P3 Для четырёх точек: P = (1−t)3P1 + 3(1−t)2tP2 +3(1−t)t2P3 + t3P4

Слайд 17

Описание слайда:

Кривые и поверхности Безье Вместо Pi подставляют координаты i-й опорной точки (xi, yi). Эти уравнения векторные, то есть для каждой из координат: x = (1−t)2x1 + 2(1−t)tx2 + t2x3 y = (1−t)2y1 + 2(1−t)ty2 + t2y3 Вместо x1, y1, x2, y2, x3, y3 подставляются координаты трёх опорных точек. В то время как t пробегает множество от 0 до 1, соответствующие значения (x, y) образуют кривую.

Слайд 18

Описание слайда:

Кривые и поверхности Безье Кривая Безье определяется вершинами многогранника, который единственным образом задает форму кривой. Кривой принадлежат первая и последняя вершины, другие вершины характеризуют производные, порядок и вид кривой. Параметрическое представление кривой Безье: , , где базис Безье-Бернштейна, или функция аппроксимации , где - это i-я функция базиса Бернштейна порядка n.

Слайд 19

Описание слайда:

Кривые и поверхности Безье

Слайд 20

Описание слайда:

Кривые и поверхности Безье Пусть заданы вершины многоугольника Безье В0[1, 1], В1[2, 3], В2[4, 3], В4[3, 1]. Найти семь точек, лежащих на кривой Безье. Рассмотрим уравнения (5-62) - (5-64): , где и

Слайд 21

Описание слайда:

Кривые и поверхности Безье В нашем случае n=3, так как имеется четыре вершины. Отсюда и , , , .

Слайд 22

Описание слайда:

Кривые и поверхности Безье Итак, Коэффициенты для кривой Безье для различных значений t

Слайд 23

Описание слайда:

Кривые и поверхности Безье Точки на кривой:

Слайд 24

Описание слайда:

Кривые и поверхности Безье Применение: В компьютерной графике, моделировании, в графических редакторах; Шрифты описываются с помощью кривых Безье; В веб-разработке – для графики на Canvas (создание растрового двухмерного изображения при помощи скриптов ) или в формате SVG (обеспечения векторной графической поддержки для Web-браузеров ); В CSS-анимации, для задания траектории или скорости передвижения. CSS - Cascading Style Sheets (каскадные таблицы стилей) – это язык описания внешнего вида веб-страницы .

Слайд 25

Описание слайда:

Кривые и поверхности Безье Недостатки кривых: С помощью кривых Безье нельзя точно представить конические сечения; Алгебраическая степень кривых растет вместе с числом контрольных точек, что весьма затрудняет численные расчеты..

Слайд 26

Описание слайда:

Кривые и поверхности Безье Алгоритм перехода от кривых к поверхностям Безье (1-й способ) Вводятся образующие кривые Безье, имеющие одинаковую параметризацию. При каждом значении параметра по точкам на этих кривых в свою очередь строится кривая Безье. Перемещаясь по образующим кривым, получаем поверхность, которая называется поверхностью Безье на четырёхугольнике. Областью задания параметров такой поверхности является прямоугольник.

Слайд 27

Описание слайда:

Кривые и поверхности Безье

Слайд 28

Описание слайда:

Кривые и поверхности Безье Естественное обобщение полиномов Бернштейна на случай двух переменных (второй способ) Используются сегменты Безье, определяемые с помощью произведения полиномов Бернштейна где и = и0(1 - t) + u1t и v = v0 (1 - S) + v1 s; S, t є [0, 1] Большие куски поверхностей можно получать из сегментов Безье. Поверхность, которая задается таким полиномом, называется поверхностью Безье на треугольнике.

Слайд 29

Описание слайда:

Кривые и поверхности Безье Как бороться с алгебраической степенью сложной кривой? Способ известен давно – достаточно построить кривую, состоящую из гладко сопряженных сегментов, каждый из которых имеет ограниченную алгебраическую степень. Такие кривые называются сплайнами (Исаак Шёнберг, 1946). Карл де Бур - “On calculating with B-Splines” (1972), “The numerical evaluation of B-Splines” (1972) -установлена связь между геометрической формой составной кривой и алгебраическим способом ее задания.

Слайд 30

Описание слайда:

Кривые и поверхности Безье Однородные В-сплайны (Basic spline) являются обобщением кривых Безье. Уравнение В-сплайна степени k - 1, определяемого п + 1 точками, имеет вид, аналогичный кривой Безье: , где сопрягающие функции не являются многочленами Бернштейна, а определяются следующим рекурсивным образом:

Слайд 31

Описание слайда:

Рациональные кривые и поверхности Недостаток кривых Безье и В-сплайнов: с их помощью нельзя точно аппроксимировать конические сечения Рациональная кривая Безье: hi=0, - обычная поверхность Безье, h0=h1=1, h2=cosθ - дуга окружности Кен Версприл (1975) - NURBS (non-uniform rational B-spline) – неоднородные рациональные B-сплайны.

Слайд 32

Описание слайда:

Сплайн-интерполяция Сплайн (от англ. spline, от flatspline — гибкое лекало, гибкая плазовая рейка — полоса металла, используемая для черчения кривых линий) — функция, область определения которой разбита на конечное число отрезков, на каждом из которых сплайн совпадает с некоторым алгебраическим многочленом. Универсальный математический аппарат для описания, хранения, преобразования, анализа и представления.

Слайд 33

Описание слайда:

Сплайн-интерполяция Сплайны представляют собой сегменты Эрмитовых кривых или В-сплайновых кривых третьей степени, гладко совмещенных друг с другом (G2) и проходящих через задающие их точки. Сплайновые поверхности состоят из гладко спрягающихся бикубических лоскутов или В-сплайновых поверхностей.