🗊Презентация Использование преобразований тригонометрических выражений при решении заданий ЕГЭ

Использование преобразований тригонометрических выражений при решении заданий ЕГЭ

Задание 10 Найдите sin x, если cos x = 0,6 и ∏<Х<2∏ Найдите tg x , если sin x = 0,8 и ∏/2<Х<2∏

Известные формулы: основные тригонометрические тождества; формулы двойного аргумента; синус, косинус, тангенс, котангенс суммы и разности двух углов; формулы понижения степени; формулы преобразования тригонометрических сумм в произведение.

Свойства тригонометрических функций: чётность; периодичность; ограниченность.

Реши устно: 1. sin x = ∏/3 2 cos x = √3 3. tg ∏/4 + tg x = 2 1 - tg ∏/4 + tg x 4. √2 cos2 7x - cos 7x = 0 5. 3 cos2x - sin2x - 2 sin x cos x = 0

Способы решения уравнений: разложение на множители; использование тригонометрических формул; замена переменной; однородное уравнение, делением на синус или косинус.

Определи способы решения уравнения: 1. (2sin x - cos x) (1+cos x)=sin2x 2. 2 cos 2x + cos x = 1 3. 4 cos4x – 3 cos 2x – 1 = 0 Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие интервалу (-7∏/2;-2∏)

Тест

Решение 1 варианта

Решение 2 варианта

Работа с тестами из интернета ЕГЭ 2015 по математике; случайные вопросы; режим тренировки; С1 а; С1 б.

Пример 2 Решите уравнение 2 cos2x − 7cos(π/2+x) + 2 = 0 1 ±π/6+2πn, n∈Z 2 π/6+2πn, n∈Z; 5π/6+2πk, k∈Z 3 −π/6+2πn, n∈Z; −5π/6+2πk, k∈Z 4 −π/3+2πn, n∈Z; −2π/3+2πk, k∈Z

Преобразуем выражение cos(π/2+x) по формуле косинуса суммы (или формуле приведения). Получится  cos(π/2+x) = −sinx.  Уравнение примет вид 2cos2x +7sinx + 2 = 0 Это уравнение может быть сведено к функции  sinx с помощью основного тригонометрического тождества: 2(1−sin2x) +7sinx +2 =0;  2−2sin2x +7sinx +2 = 0;  −2sin2x +7sinx +4 = 0. Сделаем замену переменной   sinx = t, при этом   t∈[−1,1]. Получим квадратное уравнение −2t 2+7t+4=0 t1 = −1/2, t 2 =4. Корень  t2  не удовлетворяет условию t ∈[−1,1]. Вернемся к переменной x при  t = −1/2: sin x = −1/2; x= −π/6+2πn, n∈Z или  x= −5π/6+2πk, k∈Z. Ответ: x = −π/6+2πn, n∈Z;  x = −5π/6+2πk, k∈Z.

  Найдите корни уравнения 2 cos2x − 7cos(π/2+x) + 2 = 0 принадлежащие промежутку  [0;11π/6) 1 5π/6 2 7π/6 3 π/3 4 0; π

Составим и решим двойное неравенство для корней первой серии x = −π/6+2πn:  0<−π/6+2πn <11π/6 ∣:π;  0<−16+2n <11/6 ∣⋅6;  0<−1+12n <11 ∣+1;  1< 12n <12; 1/12< n <1.  Вспомним, что n – это целое число. Но в полученном промежутке нет целых чисел, значит, первая серия корней не содержит корней с заданным условием. 

Запишем неравенство для другой серии корней x = −5π/6+2πn 0<−5π/ 6+2πn <11π/ 6 ∣:π;  0<−5/6+2n <11/6 ∣⋅6; 0<−5+12n <11 ∣+5;  5<12n <16;  5/12<n <16/12.  В этом промежутке имеется единственное целое число n=1. Найдем соответствующее значение переменной:  х = −5π/ 6+2π⋅1= −5π/ 6+12π = 7π/ 6.  Ответ: x=7π/ 6.

Из истории Слово тригонометрия впервые появляется в 1505 году в заглавии книги немецкого математика Питискуса.  Тригонометрия – слово греческое, и в буквальном переводе означает измерение треугольников ( trigonan – треугольник, metreo - измеряю). Возникновение тригонометрии было тесно связано с землемерием, астрономией и строительным делом.…

Использование тригонометрических функций в астрономии Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии; поэтому, в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из разделов астрономии. Составленные Гиппархом таблицы положений Солнца и Луны позволили предвычислять моменты наступления затмений (с ошибкой 1—2 ч). Гиппарх впервые стал использовать в астрономии методы сферической тригонометрии.

Использование тригонометрических функций в медицине Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения. Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца - комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.

Использование тригонометрических функций в биологии Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения. При полёте  птицы траектория взмаха крыльев образует синусоиду.

Школьник в 14-15 лет не всегда знает, куда пойдет учиться и где будет работать… Для некоторых профессий знание тригонометрии необходимо, т.к. позволяет измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Принципы тригонометрии,  используются и в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография…

Тригонометрические уравнения

Отметить точки:

Тригонометрические уравнения 1. 1 2. 1 3. 2 4. 2 5. 2 6. 1 7. 3 8. 3 9. 1 10 2