🗊Исследовательская работа на тему: «ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ».

Исследовательская работа на тему: «ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ».

АКТУАЛЬНОСТЬ: При изучении на уроках математики темы: «Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10» у меня возник интерес к исследованию чисел на делимость. Не всегда одно натуральное число делится на другое натуральное число без остатка. Деля натуральное число, мы получаем остаток, допускаем ошибки, тем самым теряем время. Возникает необходимость, не выполняя деление установить, делится ли одно натуральное число на другое.

ГИПОТЕЗА: Если можно определить делимость натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа.

ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ: ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.

ПРЕДМЕТ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.

Цель: Дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел нацело, изучаемые в школе.

Задачи исследования: Изучить историографию вопроса. Повторить признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, изучаемые в школе. Исследовать самостоятельно признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000. Изучить дополнительную литературу о других признаках делимости натуральных чисел. Систематизировать и обобщить признаки делимости натуральных чисел на 7,11,13,19,37. Рассмотреть применение признаков делимости натуральных чисел при решении задач.

НОВИЗНА В ходе выполнения проекта я пополнил свои знания о признаках делимости натуральных чисел.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ: сбор информации, обработка данных, наблюдение, сравнение, анализ, обобщение.

Немного из истории Немного из истории Признаки делимости на 2, 3 и 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170 – 1228).

Немного из истории. Немного из истории.

Признак делимости на 15. Признак делимости на 15. Заметим, что 15=3·5 Если натуральное число одновременно делится и на 5 и на 3, то оно делится на 15. Примеры: 346725 делится на 5 и на 3, значит, число делится на 15. 48732 делится на 3, но не : на 5,значит, число не делится на 15. 87565 делится на 5, но не : на 3, значит, оно не делится на 15. Признак делимости на 25. На 25 делятся числа: 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200,… Натуральное число делится на 25, если оканчивается на 00, 25, 50, 75.

Все перечисленные признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы: Все перечисленные признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы: 1группа- когда делимость чисел определяется по последней(им) цифрой (ми)- это признаки делимости на 2, на 5, на разрядную единицу, на 4, на 8, на 25, на 50. 2 группа – когда делимость чисел определяется по сумме цифр числа- это признаки делимости на 3, на 9, на7, на 37, на 11 (1 признак). 3 группа – когда делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа- это признаки делимости на 7, на 11(1 признак), на 13, на 19. 4 группа – когда для определения делимости числа используются другие признаки делимости- это признаки делимости на 6, на 15, на 12, на14.

Применение признаков делимости Применение признаков делимости Задача 1: (Использование общих делителей и НОД) Ученики 5 класса купили 203 учебника. Каждый купил одинаковое количество книг. Сколько было пятиклассников, и сколько учебников купил каждый из них? Решение: Обе величины, которые требуется определить должны быть целыми числами, т.е. находиться среди делителей числа 203. Разложив 203 на множители, получаем: 203 = 1 ∙ 7 ∙ 29. Но учебников не может быть 29. Также число учебников не может равняться 1, т.к. в этом случае учеников было бы 203. Значит, пятиклассников – 29 и каждый из них купил по 7 учебников. Ответ: 29 пятиклассников; 7 учебников

ВЫВОДЫ: ВЫВОДЫ: В процессе работы я познакомился с историей развития признаков делимости. Сам правильно сформулировал признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000…, чему нашел подтверждение из дополнительной литературы. Работая с разными источниками, я убедился в том, что существуют другие признаки делимости натуральных чисел (на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37), что подтвердило правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел. Из дополнительной литературы я нашел и решил задачи, при решении которых применяются признаки делимости натуральных чисел.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ Знание и использование выше перечисленных признаков делимости натуральных чисел значительно упрощает многие вычисления, этим самым, экономя время; исключая вычислительные ошибки, которые можно сделать при выполнении действия деления. Собранный мной материал можно использовать на факультативных занятиях, на занятиях математического кружка. Учителя математики могут использовать его при изучении данной темы. Также рекомендую ознакомиться со своей работой тем сверстникам, которые хотят знать о математике больше, чем рядовой школьник.

Автор работы: Щербаков Андрей Автор работы: Щербаков Андрей