🗊Презентация История математики. Алгебра и геометрия

Алгебра и геометрия for_ver@list.ru доцент кафедры ПМИиИТ Шапкина Вера Валерьевна

Математика…

Математика — совокупное название многих математических наук. Сначала математика возникла как одно из направлений философии в области пространственных отношений (землемеренье) и вычислений. Она была необходима для практических потребностей человека считать, вычислять, измерять, исследовать формы и движение физических тел. Позже математика развилась в сложную и многогранную науку об абстрактных, количественных и качественных соотношениях, формах и структурах. Но общепринятого определения математики нет.. Термин «математика» происходит от греческого слова μάθημα, что означает «наука, знание, изучение», и греческого μαθηματικός, что означает «любовь к познанию», в целом это приводит к более узкому и техническому (прикладному) значению «математическое исследование», которое использовалось и в античные (классические) времена. Греческое слово μαθηματική τέχνη означает математическое искусство.

Деление истории математики на 4 периода: период зарождения математики как самостоятельной дисциплины – до 6-5 века до н. э. Формировались понятия целого и рационального числа, дроби, понятие расстояния, площади, объема, создавались правила действий с числами и простейшие правила для вычисления площадей фигур и объемов тел. 2) период элементарной математики – от 6-5 в. до н. э. до середины 17 века. Возникла геометрия. Среди деятелей того времени ученые древней Греции (Фалес, Пифагор, Гиппократ Хиосский, Демокрит, Евдокс, Евклид, Архимед и проч.), Китая (Чжан Цан, Ген Шоу-чан, Цзу Чун-чжи и проч.), Средней Азии (Джемшид ибн-Масуд аль-Каши, Мухаммед бен-Муса аль Хорезми и др.), Индии и позже Западной Европы (Л. Феррари, Н. Тарталья, Дж. Кардано, С. Стевин и др.).

Историю математики обычно делят на 4 периода 3) период исследования переменных величин – середина 17 в. - Начало 20 в. Изобретен новый метод изучения движения и изменения - дифференциальное исчисление и интегральное исчисление. Возник ряд новых математических наук - теория функций, теория дифференциальных уравнений, дифференциальная геометрия, вариационное исчисление и др. Н.И. Лобачевский изобрел неевклидову геометрию, М.В. Остроградский сделал выдающиеся открытия в механике, математическом анализе, математической физике, П.Л. Чебышев поспособствовал развитию нового направления в теории функций, сделал значительные открытия в теории чисел, теории вероятностей, механике, приближенном анализе. В этот период действовали такие выдающиеся ученые, как А. М. Ляпунов, А. А. Марков (старший), Г.Ф. Вороной и многие другие.

Историю математики обычно делят на 4 периода 4) период современной математики – с начала 20 в. Характерные особенности: сознательное и систематическое изучение ВСЕХ возможных типов количественных соотношений и пространственных форм. В геометрии изучается уже не только трехмерное пространство, но и другие подобные ему пространственные формы. Выдающимися направлениями развития математики этого периода является функциональный анализ, теория множеств, современная алгебра, математическая логика, теория вероятностей, топология и т.д.

Владилен Панов | Современная математика и ее творцы   2011 Издательство: МГТУ им. Н. Э. Баумана ISBN: 978-5-7038-3536-4 Жанр: математика,научно-популярные http://www.math.ru/lib/ser/msch

Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. В общем случае математические понятия и теоремы не обязательно имеют соответствие чему-либо в физическом мире. Главная задача прикладного раздела математики — создать математическую модель, достаточно адекватную исследуемому реальному объекту. Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. В общем случае математические понятия и теоремы не обязательно имеют соответствие чему-либо в физическом мире. Главная задача прикладного раздела математики — создать математическую модель, достаточно адекватную исследуемому реальному объекту.

Содержание математики можно определить как систему математических моделей и инструментов для их создания. Модель объекта учитывает не все его черты, а только самые необходимые для целей изучения (идеализированные).

Алгебра Предметом алгебры является изучение уравнений и ряда вопросов, которые развились из теории уравнений. В настоящее время, когда математика разделилась ряд специальных областей, к области алгебры относят лишь уравнения определенного типа, так называемые алгебраические уравнения.

Геометрия Изучает пространственные свойства предметов, оставляя в стороне все остальные их признаки. Например, резиновый мяч диаметром 25 см и чугунное ядро того же диаметра отличаются друг от друга массой, цветом, упругостью и т.д. Однако форма и размеры одинаковы. С точки зрения геометрии – каждый из этих предметов -шар диаметром 25 см.

Алгебра Числовые множества

Натуральные числа N N={1,2,3,4,…} – множество натуральных чисел Для выполнения каких алгебраических операций достаточно этих чисел (натуральных)? На этом множестве можно выполнять сложение и умножение.

Пример 1 На дорогу от дома до университета и обратно у студента уходит 30 минут на метро и 20 мин на автобусе. Сколько минут тратит он на дорогу каждую неделю, состоящую из 6 рабочих дней?

Пример 2 Комната в студенческом общежитии имеет форму квадрата со стороной а=3 м. Какова ее площадь?

Целые числа Z Z={…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…} – множество целых чисел (содержит все натуральные числа, и числа, им противоположные и нуль), N⊂Z; Для выполнения каких алгебраических операций достаточно этих чисел (целых)? На этом множестве можно выполнять сложение, умножение и вычитание. Не будь уравнений, не было бы необходимости в отрицательных числах.

Пример 3 Из стипендии в 500 руб. студент в первый же день потратил на товарищеский ужин 200 рублей. Сколько денег у него осталось до следующей стипендии?

Пример 4 Получив стипендию 500 руб. студент в первый же день потратил 600 руб. на цветы для своей подруги, второй же в аналогичной ситуации ограничился духами, стоившими как раз 500 рублей. Сколько денег осталось у каждого из студентов?

Рациональные числа Q Q={x ׀ х = p/q, где p  Z, q  N} – множество рациональных чисел (состоит из чисел, допускающих представление в виде простой дроби), N⊂Z⊂Q; Для выполнения каких алгебраических операций достаточно этих чисел (рациональных)? На этом множестве можно выполнять сложение, умножение, вычитание и деление. Поскольку любое целое число можно записать в виде обыкновенной дроби, причем не единственным образом, все целые числа являются рациональными. Каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической дроби, пример 7/11 = 0,(63)

Пример 5 Пусть студент получает стипендию в размере 500 руб., магистрант – 750 руб., а аспирант – 1000 руб. Во сколько раз студент получает меньше аспиранта и магистранта?

Перефразируем пример 1 На дорогу от дома до университета и обратно у студента уходит 30 минут на метро и 20 мин на автобусе. Сколько часов тратит он на дорогу каждую неделю, состоящую из 6 рабочих дней?

Запишем эти задачи в виде уравнений

Действительные числа R R=(-∞;+∞) – множество действительных чисел, Q⊂R (кроме всех рациональных чисел, содержит иррациональные числа). Действительные числа изображаются точками координатной прямой (числовой оси). Например, эти числа являются иррациональными. Вспомним, что возведение в степень имеет две обратных операции: извлечение корня и логарифмирование.

Степени числа а

Логарифм

Пример 6 Соотношение 32 = 9 позволяет написать три уравнения: 32 = х; х2 = 9; 3х = 9 Неизвестна степень – решается уравнение умножением х = 32 = 3*3 = 9 Неизвестно основание степени – извлечением квадратного корня х = √9 = 3 Показатель степени – логарифмированием числа 9 по основанию 3: х = log 9 = 2

Пример 6 Но аналогичные уравнения: х2 = 2; 2х = 3 Формальная запись результатов Неизвестно основание степени – извлечением квадратного корня х = √2 Неизвестен показатель степени – логарифмированием числа 3 по основанию 2: х = log 3 Смысла не имеет на множестве рациональных чисел Q.

Посмотрим на геометрические задачи

Пример 7 Диагональ квадрата со стороной a удовлетворяет по теореме Пифагора, уравнению х2 = 2 * а2 (Почему?) Поэтому при а=1 приходим к уравнению х2 = 2

Пример 8 Площадь S квадрата со стороной а находится по формуле S = a2 . Какова сторона х квадрата, площадь S которого равна 2? Имеем х2 = 2

Из геометрических соображений заключаем, что «в природе» должно быть число, удовлетворяющее уравнению х2 = 2 Это число называется иррациональным. Также иррациональны корни уравнений х2 = 3 ; х3 = 5 и т.п. Эти иррациональные числа называются алгебраическими.

Корень уравнения 2х = 3 , обозначаемый х = log 3, также является иррациональным числом. Это число и аналогичные ему иррациональные корни уравнений 2х = 5; 3х = 4 и т.д. называются трансцендентными числами. Число π тоже является трансцендентным. π = l / 2*R

Существует бесконечное множество трансцендентных чисел, их появление связано с операцией предельного перехода, которая в курсе Элементарной математики фактически не изучается.

Эти термины происходят от греческих корней: «рациональное» - разумно обоснованное, «иррациональное» - то есть нерациональное, недоступно пониманию, «трансцендентное» - выходящее за пределы сознания.

Основные числовые множества: N={1,2,3,4,…} – множество натуральных чисел; Z={…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…} – множество целых чисел (содержит все натуральные числа и числа, им противоположные), N⊂Z; Q={x ׀ х = p/q, где p  Z, q  N} – множество рациональных чисел (состоит из чисел, допускающих представление в виде дроби), N⊂Z⊂Q; R=(-∞;+∞) – множество действительных чисел, Q⊂R (кроме всех рациональных чисел, содержит иррациональные числа). Действительные числа изображаются точками координатной прямой (числовой оси).

 –Поскольку любое целое число можно записать в виде обыкновенной дроби, причем не единственным образом, все целые числа являются рациональными.  –Поскольку любое целое число можно записать в виде обыкновенной дроби, причем не единственным образом, все целые числа являются рациональными. -А, например, эти числа являются иррациональными.

Уравнения Уравнением называется равенство, содержащее, по крайней мере, одно неизвестное (обычно обозначаемое х). Известные в задаче величины обычно обозначают начальными буквами латинского алфавита a, b, c… Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестное только в первой степени. ах=b или ах-b=0 , где а, b ∈ R Решить уравнение – найти все его решения (корни) или показать, что данное уравнение корней не имеет.

Линейные уравнения с одним неизвестным ах=b , где а, b ∈ R 1. Если а≠0, то х=b/а будет единственным решением уравнения. 2. Если а=0, то имеем уравнение 0*х=b. Сделаем предположения относительно b. А) Если b=0, то решением уравнения 0*х=b будет любое действительное число. Это уравнение имеет бесконечное множество решений. Б) Если b≠0, то 0*х=b не имеет решений, так как ему не удовлетворяет ни одно действительное число. Например, уравнение 0*х=5 решений не имеет. 0≠5

Алгебраическое линейное уравнение (АЛУ) с одним неизвестным ах=b может усложняться по двум направлениям. 1) Сохраняя одно неизвестное х, переходят к нелинейным уравнениям второй, третьей или более высокой (натуральной) степени относительно х. Квадратное уравнение ах2+bх+с=0, где а, b,с ∈ R, а≠0 2) Увеличивают число неизвестных и число уравнений, сохраняя при этом линейность относительно каждого неизвестного, т.е. переходят к системам линейных уравнений (СЛУ) с двумя и более неизвестными.