🗊Презентация Классы Фиттинга с заданными свойствами операторов Локетта

Дипломная работа КЛАССЫ ФИТТИНГА С ЗАДАННЫМИ СВОЙСТВАМИ ОПЕРАТОРОВ ЛОКЕТТА

Цель

Напомним, что Классом Фиттинга называется класс групп F, удовлетворяющий следующим условиям: каждая нормальная подгруппа любой группы из F также принадлежит F; из того, что нормальные подгруппы A и B группы G принадлежат , всегда следует, что их произведение AB принадлежит F.

Напомним, что Если F – произвольный непустой класс Фиттинга. Тогда F* - наименьший из классов Фиттинга, содержащий F,, такой, что (G×H) F*=GF*×HF* для всех групп G и H, а класс F* - пересечение всех таких классов Фиттинга X, для которых X*= F* для класса Фиттинга . Операторы «*» и «*» называются операторами Локетта.

Введение Классы Фиттинга конечных групп впервые рассматриваются в статье Фишера, Гашюца, Хартли. Центральное место среди проблем, связанных с построением структурной теории классов Фиттинга, занимает общая проблема определения структуры класса Фиттинга, известная в теории классов групп под названием "гипотеза Локетта". Ее возникновение обусловлено результатами Блессеноля-Гашюца и Локетта , которые в терминах радикалов определили два обширных семейства классов Фиттинга: нормальные классы, а также классы, которые в дальнейшем стали называть классами Локетта.

Напомним, что Нормальный класс Фиттинга – такой класс Фиттинга F , у которого в любой группе G ее F –радикал G F является F -максимальной подгруппой . F -максимальная подгруппа группы G – такая F -подгруппа H из G, которая не содержится ни в какой большей F -подгруппе.

Напомним, что Класс Локетта – такой класс Фиттинга F, что имеет место F= F*, где F* наименьший из классов Фиттинга, содержащий класс Фиттинга F, такой, что (G×H) F*=G F*×HF* для всех групп G и H, а класс F* - пересечение всех таких классов Фиттинга X, для которых X*= F* для класса Фиттинга .

Гипотеза Локетта Каждый класс Фиттинга определяется как пересечение некоторого нормального класса Фиттинга и класса Локетта, порожденного F?

Примечателен тот факт, что первоначально гипотеза Локетта была подтверждена для отдельных случаев локального класса Фиттинга. Для произвольных локальных классов Фиттинга указанная гипотеза подтверждена в разрешимом случае в 1988 году Н.Т.Воробьевым и в произвольном случае в 1996 году Галледжи. Для отдельных случаев частично локальных классов Фиттинга гипотеза Локетта была подтверждена Н.Т. Воробьевым, Е.Н. Залесской и Н.Н. Воробьевым в 2007 году, Е.Н. Залесской и Ж.П. Макаровой в 2012 году. Вместе с тем Бергер и Косси установили, что это предположение неверно для нелокальных классов Фиттинга Примечателен тот факт, что первоначально гипотеза Локетта была подтверждена для отдельных случаев локального класса Фиттинга. Для произвольных локальных классов Фиттинга указанная гипотеза подтверждена в разрешимом случае в 1988 году Н.Т.Воробьевым и в произвольном случае в 1996 году Галледжи. Для отдельных случаев частично локальных классов Фиттинга гипотеза Локетта была подтверждена Н.Т. Воробьевым, Е.Н. Залесской и Н.Н. Воробьевым в 2007 году, Е.Н. Залесской и Ж.П. Макаровой в 2012 году. Вместе с тем Бергер и Косси установили, что это предположение неверно для нелокальных классов Фиттинга

Напомним, что Локальная функция Хартли или H-функция– функция вида f :P{классы Фиттинга}. Локальный класс Фиттинга F – такой класс Фиттинга, для которого существует Н-функция f такая, что F  = LR(f).

Таким образом, проблема описания классов Фиттинга, удовлетворяющих гипотезе Локетта, остается по-прежнему актуальной. Таким образом, проблема описания классов Фиттинга, удовлетворяющих гипотезе Локетта, остается по-прежнему актуальной. В данной работе гипотеза Локетта подтверждена для отдельных случаев произведений классов Фиттинга. Основным результатом является теорема 4.1. Напомним некоторые основные определения.

Основные определения Гомоморф– такой класс групп F, у которого каждая фактор-группа любой группы из F также принадлежит F. Формация – гомоморф F, замкнутый относительно конечных подпрямых произведений. Радикальный гомоморф – гомоморф F, который является классом Фиттинга. Гомоморф F называется насыщенным, если из того, что G/Ф(G) ∈F,следует G ∈ F..

Основные определения Формацию F называют насыщенной или локальной, если F замкнута относительно франттиниевых расширений, т.е. из того, что G/Ф(G)∊ F всегда следует G ∊ F .Ф(G) – подгруппа Фраттини группы G, т.е. пересечение всех максимальных подгрупп G.

Теорема(4.1)

Схема доказательства По лемме 3.7 докажем, что X * Y является L -классом. Докажем, что F≠F*. Пойдем от противного. По леммам 3.1 и 3.2 докажем равенство X * Y =(X * Y )*. Докажем равенство (X⋂S *) Y= X Y ⋂ S * Y по лемме 1.2(b).

Схема доказательства Из леммы 1.2(а) и условия следует равенство S * Y ⋂ S * X= S * (Y ⋂ X)=[(Y ⋂ X)-(1)]= S * Получаем противоречие условию. Значит наше предположение не верно и класс F не является классом Локетта.

Полученные результаты можно использовать при изучении классов Фиттинга, а также при написании курсовых и дипломных проектов, чтении курсов по теории групп для студентов математических специальностей. Полученные результаты можно использовать при изучении классов Фиттинга, а также при написании курсовых и дипломных проектов, чтении курсов по теории групп для студентов математических специальностей.

Данная работа выполнена в рамках ГПНИ «Конвергенция» подпрограмма «Математические методы» 2011-2015 гг. Данная работа выполнена в рамках ГПНИ «Конвергенция» подпрограмма «Математические методы» 2011-2015 гг. Работа внедрена в учебный процесс кафедры алгебры и методики преподавания математики. Результаты исследований представлены и приняты к печати в материалах «XII Белорусской математической конференции БМК-2016».

Спасибо за внимание!!! Спасибо за внимание!!!