🗊Презентация Комбинаторные задачи о числах

Комбинаторные задачи о числах Выполнил: Смирнов Павел, 6 «Б» класс СШ №1 г. Дятлово

Проблема: простой перебор не даёт полного и обоснованного решения задач, необходимо использовать свойства простых чисел, комбинаторный подход.

Предмет исследования: задачи, связанные с нахождением пар чисел обладающих данным свойством

Цель работы: Исследовать задачи на нахождение всех пар натуральных чисел, которые в произведение дают числа, записанные одинаковыми цифрами.

Задачи: повторить свойства простых чисел; познакомится с комбинаторным методом решения задач; решить задачи на нахождение пар чисел; применять полученные знания в дальнейшем обучении.

Методы исследования: изучение литературы по теме; анализ данных; вычисление; обобщение.

Теоретические сведения Комбинаторика - один из разделов математики. Слово комбинаторика происходит от латинского слова combinare, которое означает соединять, сочетать. Она включает в себя задачи, решая которые приходиться составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи называются комбинаторными задачами.

Задачи на однозначные и двузначные числа Задача №1 Сколько существует пар натуральных чисел а и в, для которых произведение, а·в является двузначным числом, записанным одинаковыми цифрами? (Пары а и в, а также в и а считаются один раз).

Решение. а и в - натуральные числа, причем, а·в =Х·11, где Х={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Рассмотрим следующие случаи. 1) Если а=Х, то в=11 и имеем случаи. Х=1, а·в=Х·11=1·11=11; Х=2, а·в=Х·11=2·11=22; Х=3, а·в=Х·11=3·11=33; Х=4, а·в=Х·11=4·11=44; Х=5, а·в=Х·11=5·11=55; Х=6, а·в=Х·11=6·11=66; Х=7, а·в=Х·11=7·11=77; Х=8, а·в=Х·11=8·11=88; Х=9, а·в=Х·11=9·11=99. В результате получаем 9 пар чисел: (1;11), (2;11), (3;11), (4;11), (5;11), (6;11), (7;11), (8;11), (9;11).

2)Если а=1, то в=Х·11 Х=2, а·в=1·Х·11=1·22=22; Х=3, а·в=1·Х·11=1·33=33; Х=4, а·в=1·Х·11=1·44=44; Х=5, а·в=1·Х·11=1·55=55; Х=6, а·в=1·Х·11=1·66=66; Х=7, а·в=1·Х·11=1·77=77; Х=8, а·в=1·Х·11=1·88=88; Х=9, а·в=1·Х·11=1·99=99. В итоге получаем 8 пар чисел: (1;22), (1;33), (1;44), (1;55), (1;66), (1;77), (1;88), (1;99).

3)Если а=р1, в=р2·11, где р1=р2. а·в=р1·(р2·11)=2·(2·11)=2·22=44; а·в=р1·(р2·11)=3·(3·11)=3·33=99. В этом случае получаем две пары: (2;22), (3;33).

4)Если а=р1, в=р2·11, где р1≠р2. а·в=р1·(р2·11)=2·(3·11)=2·33=66; а·в=р1·(р2·11)=3·(2·11)=3·22=66; а·в=р1·(р2·11)=2·(4·11)=2·44=88; а·в=р1·(р2·11)=4·(2·11)=4·22=88. В результате имеем 4 пары: (2;33), (3;22), (2;44), (4;22).

Обобщая всё, имеем 23 пары чисел: 23=9+8+2+4. Для данной задачи можно сделать и следующим образом: 11=1·11; 22=1·22=2·11; 33=1·33=3·11; 44=1·44=2·22=4·11; 55=1·55=5·11; 66=1·66=2·33=3·22=6·11; 77=1·77=7·11; 88=1·88=2·44=4·22=8·11; 99=1·99=3·33=9·11. Ответ: 23 пары.

Задача №2 А) Найдите как можно больше пар двузначных натуральных чисел а и в, для которых произведение, а·в является трехзначным числом, записанным одинаковыми цифрами? (Пары а и в, а также в и а считаются один раз). Б) Сколько существует пар указанных, в пункте А?

Решение: По условию мы имеем, что а и в - натуральные числа, причем, а а·в=Х·111, где Х={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Заметим, что а·в=Х·111=Х·3·37, и числа 3 и 37 взаимно просты. Сделаем перебор. Х=1, то а·в=3·37 – не подходит, так как 3 – однозначное число; Х=2, то а·в=2·3·37=6·37 – не соответствует условию (6 – однозначное); Х=3, то а·в=3·3·37=9·37 – не соответствует условию (9 – однозначное); Х=4, то а·в=4·3·37=12·37=444; Х=5, то а·в=5·3·37=15·37=555; Х=6, то а·в=6·3·37=18·37=666; Х=7, то а·в=7·3·37=21·37=777; Х=8, то а·в=8·3·37=24·37=888; Х=9, то а·в=9·3·37=27·37=999. В итоге получаем 6 следующих пар двузначных чисел: (12;37),(15;37), (18;37), (21;37), (24;37), (27;37). Ответ: А)(12;37),(15;37), (18;37), (21;37), (24;37), (27;37). Б) 6 пар.

Задача №3 Сколько существует пар двузначных натуральных чисел а и в, для которых произведение, а·в является четырехзначным числом, записанным одинаковыми цифрами? (Пары а и в, а также в и а считаются один раз).

Решение: Поскольку четырехзначное число состоит из одинаковых цифр, то его можно представить в виде т. е. а·в=Х·1111, где Х={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Заметим, что а·в=Х·1111=Х·11·101. Так как число 101 является простым и трехзначным, то дальнейшее разложение, что бы все множители были двухзначными невозможно. Поэтому, таких пар двухзначных чисел не существует. Ответ: таких пар нет.

Задача №4 Сколько существует пар двузначных натуральных чисел а и в, для которых произведение, а·в является пятизначным числом, записанным одинаковыми цифрами? (Пары а и в, а также в и а считаются один раз).

Решение: По условию имеем, что а·в=Х·11111, где Х={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. а·в=Х·11111=Х·41·271, где 271 – простое число и является трехзначным, что не соответствует условию. Поэтому дальнейшее разложение невозможно и таких пар нет. Ответ: таких пар нет.

Задача №5 Сколько существует пар двузначных натуральных чисел а и в, для которых произведение, а·в является шестизначным числом, записанным одинаковыми цифрами? (Пары а и в, а также в и а считаются один раз).

Решение: а·в=Х*111111, где Х={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. а·в=Х·111111=Х·3·37037=Х·3·37·1001= =Х·111·1001. Таких пар нет, так как числа 111 и 1001 не двузначные. Ответ: таких пар нет.

Задачи на трехзначные числа Задача №1 Сколько существует пар трехзначных натуральных чисел а и в, для которых произведение, а·в является четырехзначным натуральным числом, записанным одинаковыми цифрами? (Пары а и в, а также в и а считаются один раз).

Решение: Поскольку а·в=Х·1111=Х·11·101, где Х={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, то один из множителей Х·11 всегда будет двузначным. Поэтому, таких пар чисел для данного случая не существует. Ответ: нет таких пар.

Задача №2 Сколько существует пар трехзначных натуральных чисел а и в, для которых произведение, а·в является пятизначным натуральным числом, записанным одинаковыми цифрами? (Пары а и в, а также в и а считаются один раз).

Решение: По условию имеем, что а·в=Х*11111, где Х={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. а·в=Х·11111=Х·41·271, где 271 – простое число и является трехзначным. Сделаем перебор. Х=1, то а·в=1·41·271=41·271 – не подходит, так как 41– двузначное число; Х=2, то а·в=2·41·271=82·271 – не соответствует условию (82 –двузначное); Х=3, то а·в=3·41·271=123·271=33333; Х=4, то а·в=4·41·271=164·271=44444; Х=5, то а·в=5·41·271=205·271=55555; Х=6, то а·в=6·41·271=246·271=66666; Х=7, то а·в=7·41·271=287·271=77777; Х=8, то а·в=8·41·271=328·271=88888; Х=9, то а·в=9·41·271=369·271=99999. В итоге получаем 7 следующих пар трехзначных чисел: (123;271),(164;271), (205;271), (246;271), (287;271), (328;271), (369;271). Ответ: (123;271),(164;271), (205;271), (246;271), (287;271), (328;271), (369;271).

Задача №3 Сколько существует пар трехзначных натуральных чисел а и в, для которых произведение, а·в является шестизначным натуральным числом, записанным одинаковыми цифрами? (Пары а и в, а также в и а считаются один раз).

Решение: а·в=Х*111111, где Х={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. а·в=Х·111111=Х·3·37037=Х·3·37·1001= =Х·111·1001. Таких пар нет, так как число 1001 простое и четырехзначное. Ответ: таких пар нет.

Задача №4 Сколько существует пар трехзначных натуральных чисел а и в, для которых произведение, а·в является семизначным натуральным числом, записанным одинаковыми цифрами? (Пары а и в, а также в и а считаются один раз).

Решение: а·в=Х*1111111, где Х={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. а·в=Х·1111111=Х·239·4649. Таких пар нет, так как число 4649 простое и четырехзначное. Ответ: таких пар нет.

Вывод: научился грамотно оперировать такими понятиями как «множество», «перебор», «сочетание», «простые числа» и использовать их при решении задач; расширил свои знания по математике, познакомился с ещё одним способом решения задач, который был мне мало знаком.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ.