🗊Презентация Корреляционный анализ. Парная корреляция

Корреляционный анализ Парная корреляция

Корреляционный анализ. Он используется для установления статистических связей между параметрами оптимизации. Для множества объектов матрицу парных корреляций R получают в ходе следующих преобразований матриц: где Z – матрица стандартных значений, а ее элементы получают:

Элементы матрицы коэффициентов получают по данным матрицы частных корреляций. Коэффициент множественной корреляции Ro представляет собой численную характеристику силы связей отклика со всеми факторами.

Парная корреляция Корреляционный анализ – метод установления статистических связей между выходными параметрами сложной системы. Коэффициент парной корреляции является мерой тесноты линейной связи между двумя случайными величинами. В общем случае его величина меняется от 0 до 1. Если коэффициент = 0, то связь отсутствует, а если 1, то связь линейная.

Определение коэффициента парной корреляции

Упрощение расчетов

Заполняем таблицу

Статистическая значимость коэффициента Для этого по выбранному уровню доверительной вероятности  (для обычных технических расчетов  принимается равной 0,95 или 0,99) и числу степеней свободы f=N-2 определяется критическое значение коэффициента парной корреляции (rкр). Выбор значений rкр производится по таблице , имеющейся в приложении. В случае, если абсолютная величина коэффициента парной корреляции не меньше критического, то линейная связь между параметрами считается статистически значимой. В противном случае линейная связь статистически не значима и, следовательно, необходимо переходить более сложным математическим зависимостям.

Построение уравнения регрессии Линейное уравнение регрессии имеет вид: Коэффициенты уравнения регрессии можно рассчитать по следующим формулам (за х и у можно принять ту или другую величину):

Анализ полученных результатов После установления статистически значимой линейной связи необходимо определить параметр, который будет определяться экспериментально, и по которому будет осуществляться оптимизация технологического процесса. Оценку линейных связей параметров необходимо осуществлять с учетом абсолютного значения коэффициента парной корреляции. При прочих равных условиях предпочтение отдается тем параметрам, для которых метод определения более прост или позволяет проводить измерения с высокой точностью. Для упрощения анализ полученных результатов регрессионное уравнение может быть представлено в графическом виде.

Коэффициент парной корреляции

Множественная корреляция

Множественная корреляция На практике, весьма часто, приходиться анализировать связь между зависимой переменной у и группой факторов х1; х2; ....... хl. Для оценки используют: а) коэффициент множественной корреляции. б) коэффициент парциальной корреляции

Коэффициент множественной корреляции выражает степень связи между у и всей группой независимых переменных R – матрица парных корреляций R11 – алгебраическое дополнение определителя R к элементу ryy . Для l – независимых переменных и n измеренных значений у:

Для случая двух независимых переменных

Коэффициент парциальной корреляции позволяет оценить влияние на у каждой из независимых переменных последовательно алгебраические дополнения к элементам Для частных случаев можно воспользоваться формулами Другие коэффициенты получают циклической перестановкой индексов

Оценка статистической значимости гипотезы Если (х1.....хl) – факторы, а (у1........уn) – опыты на точках, то: где это число степеней свободы. При наличии линейной связи проводят проверку по критерию Фишера: Можно пользоваться корреляционным отношением: где m – количество измерений на одну точку

Пример: При анализе связи σв(у) размеры частиц η – фазы (х1) и межчастичным расстоянием (х2) после 5 режимов обработки при испытании трех образцов получено: n=15 1 = числу свободных переменных = l. 2= 15-2-1=12 Парциальные корреляции:

Каноническая корреляция

Сущность и теоретические основы метода Метод канонических корреляций относится к статистическим методам анализа связей между массовыми явлениями и процессами. Если рассматривается зависимость между одним результативным показателем Y и одним фактором X, то речь идет о парной корреляции. Когда имеется несколько переменных X и одна переменная У, проводится множественный корреляционный анализ для установления и измерения степени связи между переменными. Каноническая корреляция — это распространение парной корреляции на случай, когда имеется несколько результативных показателей Y и несколько факторов X. Основная цель применения этого метода состоит прежде всего в поиске максимальных корреляционных связей между группами исходных переменных: показателями-факторами и результативными качественными показателями. Кроме того, метод канонических корреляций дает возможность сократить объем исходных данных за счет отсева малозначимых факторов.

Матрица значений исходных переменных Х1, Х2, Xg — переменные факторы; У1, Y2, Yp — результативные показатели. Так как на практике количество факторов значительно пре­восходит количество результативных показателей, то будем предполагать, что р < g. Каноническая корреляция — это корреляция между новыми компонентами (каноническими переменными) U и V:

Подготовка информации и вычисления канонических корреляций По аналогии с парной корреляцией теснота связи между каноническими переменными будет определятся каноническими коэффициентами: cov - некоторое число Е – математическое ожидание величины. Pij– совместная вероятность х и у. var – дисперсия случайной величины (вспомним 2 случая среднеквадратических отклонения). var(х) = 0.

Вычисление канонических коэффициентов корреляции S12 , S21 – матрица взаимодействия х и у (размерность). (S12 – g x p и S21 – p x g) S21 – результат транспонирования S12 . S11 – ковариационная матрица исходных переменных, ее размер g x g. S22 – ковариантная матрица у, p x p.

Решение задачи необходимо решить уравнения: U, V – векторы канонических переменных. X, Y – матрицы исходных значений. А, В – векторы коэффициентов. Если предположить, что средние значения канонических переменных U и V равны нулю, а их дисперсии равны единице, r Для упрощения расчетов, считаем, что каждая из переменных имеет единичную дисперсию и нулевое математическое ожидание, следовательно знаменатель этого выражения = 1.

Находим максимальный коэффициент корреляции воспользуемся способом множителей Лагранжа для нахождения условного экстремума (λ – множитель Лагранжа), продифференцируем функцию Лагранжа по компонентам векторов А и В и приравняем их к нулю, получим систему: Домножим полученные выражения на λ и обратную матрицу соответсвенно, получим: Умножив обе части на , получим Рассуждая аналогично

Решение последнего уравнения Чтобы решить уравнение, необходимо найти характеристи-ческие корни и характеристические векторы. Из предположения, что р < g, вытекает, что размерность вектора В меньше размерности вектора А. Можно определить вектор А из 1 уравнения системы: Для того чтобы найти компоненты вектора А, необходимо определить векторы В и . Значения 2 находятся как собственные значения матрицы С: Можно показать, что =r

Расчет канонических корреляций 3 фактора 2 параметра оптимизации Пример

Матрица исходных данных

Матрица ковариаций

Матрица парных коэффициентов корреляции

Вспомогательные матрицы

Вспомогательные матрицы

Канонические переменные И так максимальный коэффициент канонической корреляции 0,71.

Проверка статистической значимости Проверку статистической значимости коэффициентов проводят по критерию Бартлета: И для данного числа степеней свободы сравнивают с табличными: для числа степеней свободы (p-1)(g-1)=2, и уровня значимости 0,95.

Получение реальных коэффициентов Для того чтобы получить коэффициенты, относящиеся к исходным данным, необходимо помнить, что мы все дисперсии приравняли к 1 =>

Выводы Максимальный коэффициент корреляции 0,701, что означает наличии тесной связи между факторами. Сами факторы Y тесно связаны между собой (их корреляция 0,53), также высокую сязь имеют факторы Х1 и Х3 (0,52) Второй коэффициент корреляции не велик и говорит о том, что другие линейные комбинации маловероятны. В обеих линейных комбинациях наиболее значима величина Х3, коэффициенты при других величинах существенно меняются по величине и меняют знак, т.е. достоверно только влияние фактора Х3. Для уточнения результатов следует повторить расчеты для других сочетаний факторных и результативных переменных, можно отбрасывать одну из переменных, и рассчитывать новые коэффициенты. В случае определения канонических корреляций нет необходимости добиваться независимости исходных переменных.