Кратные интегралы. (Лекция 3) - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Кратные интегралы. (Лекция 3), слайд №10

Кратные интегралы. (Лекция 3), слайд №11

Кратные интегралы. (Лекция 3), слайд №12

Кратные интегралы. (Лекция 3), слайд №13

Кратные интегралы. (Лекция 3), слайд №14

Кратные интегралы. (Лекция 3), слайд №15

Кратные интегралы. (Лекция 3), слайд №16

Кратные интегралы. (Лекция 3), слайд №17

Кратные интегралы. (Лекция 3), слайд №18

Кратные интегралы. (Лекция 3), слайд №19

Кратные интегралы. (Лекция 3), слайд №20

Кратные интегралы. (Лекция 3), слайд №21

Кратные интегралы. (Лекция 3), слайд №22

Кратные интегралы. (Лекция 3), слайд №23

Кратные интегралы. (Лекция 3), слайд №24

Кратные интегралы. (Лекция 3), слайд №25

Кратные интегралы. (Лекция 3), слайд №26

Кратные интегралы. (Лекция 3), слайд №27

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Кратные интегралы. (Лекция 3). Доклад-сообщение содержит 27 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов.

Слайд 2

Описание слайда:

Двойные интегралы. Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой f(x, y) = 0. Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой областью . Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой областью . С геометрической точки зрения  - площадь фигуры, ограниченной контуром.

Слайд 3

Описание слайда:

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Площадь фигуры S делим на элементарные прямоугольники, площади которых равны Si = xi  yi В каждой частичной области возьмем произвольную точку Р(хi, yi) и составим интегральную сумму где где f – функция непрерывная и однозначная для всех точек области . Если бесконечно увеличивать количество частичных областей i, тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка Si стремится к нулю.

Слайд 4

Описание слайда:

Определение: Определение: Если при стремлении к нулю шага разбиения области  интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области . т.е. С учетом того, что Si = xi  yi получаем:

Слайд 5

Описание слайда:

Условия существования двойного интеграла. Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области , то двойной интеграл существует. Теорема. Если функция f(x, y) ограничена в замкнутой области  и непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно – гладких линий, то двойной интеграл существует.

Слайд 6

Описание слайда:

Свойства двойного интеграла. 1) 2) 3) Если  = 1 + 2, то 4) Теорема о среднем. Двойной интеграл от функции f(x, y) равен произведению значения этой функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области интегрирования.

Слайд 7

Описание слайда:

Свойства двойного интеграла. 5) Если f(x, y)  0 в области , то 6) Если f1(x, y)  f2(x, y), то 7)

Слайд 8

Описание слайда:

Вычисление двойного интеграла. Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области , ограниченной линиями х = a, x = b, (a < b), y = (x), y = (x), где  и  - непрерывные функции и   , тогда

Слайд 9

Описание слайда:

Пример. Вычислить интеграл , если область  ограничена линиями: y = 0, y = x2, x = 2. Решение:

Слайд 10

Описание слайда:

Вычисление двойного интеграла Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области , ограниченной линиями y = c, y = d (c < d), x = (y), x = (y) ((y)  (y)), то

Слайд 11

Описание слайда:

Пример: Вычислить интеграл , если область  ограничена линиями y = x, x = 0, y = 1, y = 2. Решение:

Слайд 12

Описание слайда:

Пример. Вычислить интеграл если область интегрирования  ограничена линиями х = 0, х = у2, у = 2. Решение:

Слайд 13

Описание слайда:

Замена переменных в двойном интеграле. Рассмотрим двойной интеграл вида , где переменная х изменяется в пределах от a до b, а переменная у – от у1(x) до у2(х), т.е. Положим х = х(u, v); y = у(u, v), тогда

Слайд 14

Описание слайда:

Т.к. при первом интегрировании приведенное выше выражение для dx принимает вид ( при первом интегрировании полагаем v = const, dv = 0), то при изменении порядка интегрирования, получаем соотношение:

Слайд 15

Описание слайда:

Двойной интеграл в полярных координатах. Воспользуемся формулой замены переменных: При этом известно, что В этом случае Якобиан имеет вид:

Слайд 16

Описание слайда:

Тогда Здесь  - новая область значений,

Слайд 17

Описание слайда:

Тройной интеграл. Единственное отличие заключается в том, что при нахождении тройного интеграла интегрирование ведется не по двум, а по трем переменным, а областью интегрирования является не часть плоскости, а некоторая область в техмерном пространстве. Суммирование производится по области v, которая ограничена некоторой поверхностью (x, y, z) = 0. Здесь х1 и х2 – постоянные величины, у1 и у2 – могут быть некоторыми функциями от х или постоянными величинами, z1 и z2 – могут быть функциями от х и у или постоянными величинами.

Слайд 18

Описание слайда:

Пример. Вычислить интеграл Решение:

Слайд 19

Описание слайда:

Замена переменных в тройном интеграле. Операция замены переменных в тройном интеграле аналогична соответсвующей операции для двойного интеграла. Можно записать: где

Слайд 20

Описание слайда:

Геометрические и физические приложения кратных интегралов. 1) Вычисление площадей в декартовых координатах.

Слайд 21

Описание слайда:

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2 = 4x + 4; x + y – 2 = 0. Решение: построим графики заданных функций: Линии пересекаются в двух точках – (0, 2) и (8, -6). Таким образом, область интегрирования ограничена по оси Ох графиками кривых от до х = 2 – у, а по оси Оу – от –6 до 2.

Слайд 22

Описание слайда:

Тогда искомая площадь равна: S =

Слайд 23

Описание слайда:

2) Вычисление площадей в полярных координатах.

Слайд 24

Описание слайда:

3) Вычисление объемов тел. Пусть тело ограничено снизу плоскостью ху, а сверху– поверхностью z = f(x,y), а с боков – цилиндрической поверхностью. Такое тело называется цилиндроид.

Слайд 25

Описание слайда:

Пример. Вычислить объем, ограниченный поверхностями: x2 + y2 = 1; x + y + z =3 и плоскостью ХОY. Пределы интегрирования: по оси ОХ: по оси ОY: x1 = -1; x2 = 1; Решение:

Слайд 26

Описание слайда:

4) Вычисление площади кривой поверхности. Если поверхность задана уравнением: f(x, y, z) = 0, то площадь ее поверхности находится по формуле: Если поверхность задана в неявном виде, т.е. уравнением z = (x, y), то площадь этой поверхности вычисляется по формуле:

Слайд 27

Описание слайда:

5) Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла. Если поверхность тела описывается уравнением f(x, y, z) = 0, то объем тела может быть найден по формуле: при этом z1 и z2 – функции от х и у или постоянные, у1 и у2 – функции от х или постоянные, х1 и х2 – постоянные.