Кривые на плоскости - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Кривые на плоскости. Доклад-сообщение содержит 29 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Кривые на плоскости Лекция 3

Слайд 2

Описание слайда:

Задача построения произвольных кривых Линия может быть задана в форме неявного уравнения или в параметрической форме Задача в этом случае сводится к нахождению соответствующих функциональных зависимостей

Слайд 3

Описание слайда:

Задача построения произвольных кривых Однако на практике линия обычно задается некоторым множеством точек и задача ее построения может быть сформулирована одним из двух способов: как задача интерполяции как задача аппроксимации

Слайд 4

Описание слайда:

Задача интерполяции На заданном классе функций (например, полиномов указанной степени) ищется функция, обеспечивающая прохождение описываемой ею кривой через заданное множество точек

Слайд 5

Описание слайда:

Сплайны В этом случае широко применяется подход, основанный на использовании полиномов невысокой степени, называемых сплайнами Основная идея заключается в том, чтобы не пытаться найти функциональные зависимости, которые описывали бы линию в целом

Слайд 6

Описание слайда:

Сплайновое приближение Вместо этого воспроизводится достаточно точное описание отдельных участков этой линии с обеспечением плавного перехода между такими участками Подобное кусочно-гладкое описание кривой, заданной конечным множеством своих точек, называется ее сплайновым приближением

Слайд 7

Описание слайда:

Интерполяционные полиномы Лагранжа Пусть на плоскости задан набор точек (xi, yi), i = 0,1,…,n Кривая, проходящая через каждую из этих точек, описывается полиномом n-й степени - многочленом Лагранжа, который имеет вид:

Слайд 8

Описание слайда:

Недостатки многочлена Лагранжа Многочлен Лагранжа описывает кривую в целом, однако такое описание имеет ряд недостатков: высокая степень полинома приводит к сильным колебаниям интерполирующей функции между узлами интерполяции интерполирующая функция обладает высокой чувствительностью к узловым значениям изменение одного из узлов приводит к необходимости пересчета всей функции

Слайд 9

Описание слайда:

Кубические сплайны Вместо интерполяционных полиномов Лагранжа используют кубические сплайны Кубическим сплайном называется функция S(x), обладающая следующими свойствами: описываемая ею кривая проходит через каждую точку заданного множества, т.е. S(xi)=yi на каждом из отрезков [xi, xi+1] функция является многочленом 3-й степени на всем отрезке [x0, xn] функция имеет непрерывную вторую производную

Слайд 10

Описание слайда:

Кубические сплайны Таким образом, задача сводится к построению n полиномов вида: y = ai3 * x3 + ai2 * x2 + ai1 * x + ai0, i=1, 2,…,n Соответственно, потребуется найти 4n коэффициентов aij (i=1,…,n; j=0,1,2,3) этих полиномов

Слайд 11

Описание слайда:

Кубические сплайны Коэффициенты полиномов определяются системой линейных уравнений, которые получаются из следующих условий: прохождения через каждый из узлов (n+1 условие), непрерывности функции в промежуточных узлах (n-1 условие), непрерывности 1-й производной функции в промежуточных узлах (n-1 условие), непрерывности 2-й производной функции в n-1 промежуточных узлах (n-1 условие),

Слайд 12

Описание слайда:

Кубические сплайны 2-х дополнительных условий в граничных узлах (например, равенства нулю первых производных) Тем самым, удается получить систему 4n линейных уравнений с 4n неизвестными, имеющую при ненулевом детерминанте единственное решение

Слайд 13

Описание слайда:

Задача аппроксимации Задача заключается в построении гладкой кривой, наилучшим образом приближенной к некоторому множеству точек в пространстве или на плоскости

Слайд 14

Описание слайда:

Методы аппроксимации Наиболее известные методы аппроксимации: метод наименьших квадратов метод кривых Безье метод B-сплайнов.

Слайд 15

Описание слайда:

Метод наименьших квадратов На заданном классе функций (например, полиномов указанной степени) ищется функция, обеспечивающая минимальное значение суммы квадратов отклонений на некотором множестве точек

Слайд 16

Описание слайда:

Аппроксимация полиномом

Слайд 17

Описание слайда:

Аппроксимация полиномом

Слайд 18

Описание слайда:

Аппроксимация полиномом

Слайд 19

Описание слайда:

Кривые Безье Пусть в пространстве или на плоскости задан упорядоченный набор точек, определяемый векторами V0, V1, … , Vm. Ломаная V0V1 …Vm называется контрольной ломаной, порожденной массивом V ={ V0, V1, … , Vm }.

Слайд 20

Описание слайда:

Кривые Безье Кривой Безье, определяемой массивом V, называется линия задаваемая векторным уравнением где - биномиальные коэффициенты.

Слайд 21

Описание слайда:

Свойства кривых Безье Гладкость Линия начинается в точке и заканчивается в точке касаясь при этом отрезков и контрольной ломаной Коэффициенты при вершинах Vi являются многочленами Бернштейна; они неотрицательны и их сумма равна 1.

Слайд 22

Описание слайда:

Кубическая кривая Безье При m = 3 получаем кубическую кривую Безье, описываемую векторным параметрическим уравнением Порядок точек в заданном наборе существенно влияет на вид кривой Безье. что демонстрируется на следующих слайдах.

Слайд 23

Описание слайда:

Слайд 24

Описание слайда:

Слайд 25

Описание слайда:

Слайд 26

Описание слайда:

Слайд 27

Описание слайда:

Недостатки кривых Безье Степень функциональных коэффициентов связана с числом точек в заданном наборе При добавлении хотя бы одной точки в набор все коэффициенты должны быть пересчитаны Изменение хотя бы одной точки приводит к заметному изменению вида всей кривой.

Слайд 28

Описание слайда:

Составная кубическая кривая Безье В практических вычислениях оказывается удобным пользоваться кривыми, составленными из элементарных кривых Безье, как правило кубических. При этом обеспечить гладкость в точках стыковки. Составная кривая называется G1–непрерывной, если вдоль нее непрерывен единичный вектор касательной и G2–непрерывной, если непрерывен также и вектор кривизны.