Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений

Нажмите для полного просмотра!

Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №2

Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №3

Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №4

Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №5

Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №6

Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №7

Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №8

Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №9

Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №10

Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №11

Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №12

Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №13

Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №14

Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №15

Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №16

Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №17

Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №18

Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №19

Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №20

Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №21

Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №22

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений. Доклад-сообщение содержит 22 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Тема 2. Методы решения нелинейных уравнений Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений. 1.Нелинейные уравнения. Понятия и определения. 2.Метод половинного деления. 3.Решение нелинейных уравнений методом итерации. 4. Решение нелинейных уравнений методом Ньютона-Рафсона. Литература: [1] с.31-43, 123-126.

Слайд 2

Описание слайда:

1. Нелинейные уравнения. Понятия и определения Уравнение вида: f(x)=0, если f(x) не является многочленом 1-ой степени, называется нелинейным или трансцедентным. Всякое x=x*, обращающее в 0 уравнение, есть его корень. Решение состоит из 2-х этапов: а) отделение корней (изолированные корни); б) уточнение корней.

Слайд 3

Описание слайда:

а): Теорема 1 Если, непрерывная на отрезке [a;b] функция f(x) на его краях принимает разные значения, т.е. f(a)f(b)

Слайд 4

Описание слайда:

Алгоритм отделения корней: определяются граничные точки x=a, x=b области существования f(x); вычисляются значения функции f(x) на [a;b] с шагом h до смены знака функции при переходе от f(x) до f(x+h) (шаг выбирается с учетом особенностей функции);

Слайд 5

Описание слайда:

б): Уточнение корней заключается в поиске приближенного корня xn, при котором: f(xn)

Слайд 6

Описание слайда:

б): Тогда, точность отыскания корней определяется: | xn - x* |< f/(x) /m1 (5.2) Методы уточнения корней (решения) нелинейных уравнений: метод половинного деления; метод простой итерации; метод касательных (метод Ньютона - Рафсона).

Слайд 7

Описание слайда:

2. Метод половинного деления. Постановка задачи: уточнить корни уравнения f(x)=0, на отрезке [a;b]. Алгоритм: выбирается середина отрезка C=(a+b)/2; проверка условия окончания f(с)=0 или |b-a|/2n

Слайд 8

Описание слайда:

Пример: Уточнить корень уравнения x4+2x3-x-1=0, принадлежащий отрезку [0;1]. Сделать 6 итераций.

Слайд 9

Описание слайда:

Слайд 10

Описание слайда:

Слайд 11

Описание слайда:

Слайд 12

Описание слайда:

Слайд 13

Описание слайда:

3. Решение нелинейных уравнений методом итерации. Уравнение f(x)=0 должно удовлетворять условиям: f(x) должна быть дифференцируема на [a,b]; f(x) должна принимать разные значения на краях интервала: f(a)f(b)

Слайд 14

Описание слайда:

Метод заключается в том, что: а)заменяется уравнение f(x)=0 на равносильное ему уравнение вида x=φ(x); б)произвольно выбирается начальное значение x0 ∈ [a,b]; в)вычисляются итерации: x1 =φ(x0); x2 =φ(x1); ……………….. xn+1 =φ(xn); n=0,1…..

Слайд 15

Описание слайда:

г)проверяется выполнение условий сходимости: Теорема: процесс итерации xn+1=φ(xn) сходится не зависимо от выбора начального значения x0 ∈ [a,b] и предельное значение x*=limn→∞xn – единственный корень уравнения x=φ(x) на [a,b], если: все значения φ(x)∈[a,b] и она дифференцируема на этом отрезке; существует правильная дробь q, такая, что |φ(x)|≤q

Слайд 16

Описание слайда:

Алгоритм метода итераций: А) исходное уравнение заменяется функцией вида φ(x)=λf(x)+x, где: (1) -1/r

Слайд 17

Описание слайда:

Г) Проверяются условия сходимости: ∆x=|x*-xn|≤m/(1-q)qm, (2) где m= |xn- φ(xn)|; q=| φ(xn) |. Процесс вычисления (пункты в, г) повторяется до тех пор, пока не достигается заданная точность решения Е, т.е. расчеты прекращаются, когда выполнится неравенство (пункт г): ∆x≤Е.

Слайд 18

Описание слайда:

4. Решение нелинейных уравнений методом Ньютона-Рафсона. Для решения уравнения вида f(x)=0 формула метода Ньютона-Рафсона: xn+1= xn- f(xn) f(xn) (1) Возможность применения метода определяется теоремой: если на интервале [a;b] функция F(x)=f(x)-x дважды дифференцируема и на краях интервала принимает различные по знаку значения F(a)F(b)

Слайд 19

Описание слайда:

приближения, отвечающего условию: F(x0)F(x)>0, (2) можно вычислить методом Ньютона-Рафсона единственный корень уравнения с любой заданной точностью. Из теоремы следует, что F(x)=f(x)-x на интервале [a;b] должна удовлетворять следующим требованиям: должна быть определена и непрерывна; на краях принимать противоположные по знаку значения F(a)F(b)

Слайд 20

Описание слайда:

F(x) ≢0; F (x) существует и сохраняет знак (следовательно, на [a;b] только один корень); если F(x) в окрестности корня x* имеет производную близкую к нулю (корень-экстремум функции), то применение метода дает неудовлетворительный результат. Погрешность оценивается как: |xn- xn-1|≤ 2min|F(x)|E/max|F (x)|; (3)

Слайд 21

Описание слайда:

Алгоритм метода Ньютона-Рафсона : А) определяются 1-я и 2-я производные, их знаки, минимальное для 1-ой и максимальное для 2-ой производных значения на отрезке [a,b] (с помощью Excel); Б) выбирается начальное значение x0 из условия (2), т.е. если это условие выполняется и на [a,b] 2-я производная сохраняет знак, то x0 может быть любым; В) по рекурентной формуле (1) вычисляется значение корня; Г) по соотношению (3) оценивается погрешность: если условие выполняется,

Слайд 22

Описание слайда:

то вычисления прекращаются, в противном случае повторяются В), Г). Т.о., метод Ньютона-Рафсона критичен к выбору x0, поэтому его комбинируют с др. методами: вначале «грубо» определяют приближенное значение корня методом половинного деления, а затем методом Ньютона-Рафсона уточняют его.