🗊Презентация Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений

Категория: Математика
Нажмите для полного просмотра!
Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №1Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №2Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №3Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №4Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №5Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №6Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №7Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №8Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №9Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №10Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №11Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №12Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №13Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №14Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №15Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №16Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №17Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №18Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №19Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №20Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №21Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №22
Скачать
Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений. Доклад-сообщение содержит 22 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1


Тема 2. Методы решения нелинейных уравнений Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений. 1.Нелинейные уравнения. Понятия и определения. 2.Метод половинного деления. 3.Решение нелинейных уравнений методом итерации. 4. Решение нелинейных уравнений методом Ньютона-Рафсона. Литература: [1] с.31-43, 123-126.
Описание слайда:
Тема 2. Методы решения нелинейных уравнений Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений. 1.Нелинейные уравнения. Понятия и определения. 2.Метод половинного деления. 3.Решение нелинейных уравнений методом итерации. 4. Решение нелинейных уравнений методом Ньютона-Рафсона. Литература: [1] с.31-43, 123-126.

Слайд 2


1. Нелинейные уравнения. Понятия и определения Уравнение вида: f(x)=0, если f(x) не является многочленом 1-ой степени, называется нелинейным или трансцедентным. Всякое x=x*, обращающее в 0 уравнение, есть его корень. Решение состоит из 2-х этапов: а) отделение корней (изолированные корни); б) уточнение корней.
Описание слайда:
1. Нелинейные уравнения. Понятия и определения Уравнение вида: f(x)=0, если f(x) не является многочленом 1-ой степени, называется нелинейным или трансцедентным. Всякое x=x*, обращающее в 0 уравнение, есть его корень. Решение состоит из 2-х этапов: а) отделение корней (изолированные корни); б) уточнение корней.

Слайд 3


а): Теорема 1 Если, непрерывная на отрезке [a;b] функция f(x) на его краях принимает разные значения, т.е. f(a)f(b)<0, то внутри этого отрезка существует хотя бы один корень уравнения f(x)=0. Корень единственный, если производная f/(x) сохраняет знак внутри интервала (a;b).
Описание слайда:
а): Теорема 1 Если, непрерывная на отрезке [a;b] функция f(x) на его краях принимает разные значения, т.е. f(a)f(b)<0, то внутри этого отрезка существует хотя бы один корень уравнения f(x)=0. Корень единственный, если производная f/(x) сохраняет знак внутри интервала (a;b).

Слайд 4


Алгоритм отделения корней: определяются граничные точки x=a, x=b области существования f(x); вычисляются значения функции f(x) на [a;b] с шагом h до смены знака функции при переходе от f(x) до f(x+h) (шаг выбирается с учетом особенностей функции);
Описание слайда:
Алгоритм отделения корней: определяются граничные точки x=a, x=b области существования f(x); вычисляются значения функции f(x) на [a;b] с шагом h до смены знака функции при переходе от f(x) до f(x+h) (шаг выбирается с учетом особенностей функции);

Слайд 5


б): Уточнение корней заключается в поиске приближенного корня xn, при котором: f(xn)<ε, (5.1) где ε- заданная точность определения корней (для точного корня x* выполняется f(x)=0). Теорема 2 Для точного x* и приближенного xn корней нелинейного уравнения, принадлежащих отрезку [a;b], модуль производной функции на этом отрезке всегда больше некоторого m1.
Описание слайда:
б): Уточнение корней заключается в поиске приближенного корня xn, при котором: f(xn)<ε, (5.1) где ε- заданная точность определения корней (для точного корня x* выполняется f(x)=0). Теорема 2 Для точного x* и приближенного xn корней нелинейного уравнения, принадлежащих отрезку [a;b], модуль производной функции на этом отрезке всегда больше некоторого m1.

Слайд 6


б): Тогда, точность отыскания корней определяется: | xn - x* |< f/(x) /m1 (5.2) Методы уточнения корней (решения) нелинейных уравнений: метод половинного деления; метод простой итерации; метод касательных (метод Ньютона - Рафсона).
Описание слайда:
б): Тогда, точность отыскания корней определяется: | xn - x* |< f/(x) /m1 (5.2) Методы уточнения корней (решения) нелинейных уравнений: метод половинного деления; метод простой итерации; метод касательных (метод Ньютона - Рафсона).

Слайд 7


2. Метод половинного деления. Постановка задачи: уточнить корни уравнения f(x)=0, на отрезке [a;b]. Алгоритм: выбирается середина отрезка C=(a+b)/2; проверка условия окончания f(с)=0 или |b-a|/2n<E (n, Е-число итераций и точность); определение отрезка [a;c] или [c;b], на концах которого значения функции имеют разные знаки; повторение итераций.
Описание слайда:
2. Метод половинного деления. Постановка задачи: уточнить корни уравнения f(x)=0, на отрезке [a;b]. Алгоритм: выбирается середина отрезка C=(a+b)/2; проверка условия окончания f(с)=0 или |b-a|/2n<E (n, Е-число итераций и точность); определение отрезка [a;c] или [c;b], на концах которого значения функции имеют разные знаки; повторение итераций.

Слайд 8


Пример: Уточнить корень уравнения x4+2x3-x-1=0, принадлежащий отрезку [0;1]. Сделать 6 итераций.
Описание слайда:
Пример: Уточнить корень уравнения x4+2x3-x-1=0, принадлежащий отрезку [0;1]. Сделать 6 итераций.

Слайд 9


Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №9
Описание слайда:

Слайд 10


Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №10
Описание слайда:

Слайд 11


Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №11
Описание слайда:

Слайд 12


Лекция 5. Численные методы решения нелинейных уравнений, слайд №12
Описание слайда:

Слайд 13


3. Решение нелинейных уравнений методом итерации. Уравнение f(x)=0 должно удовлетворять условиям: f(x) должна быть дифференцируема на [a,b]; f(x) должна принимать разные значения на краях интервала: f(a)f(b)<0 (тогда внутри интервала имеется хотя бы один корень уравнения); f(x)=0 на [a,b] (если производная внутри интервала не меняет знак, то корень один);
Описание слайда:
3. Решение нелинейных уравнений методом итерации. Уравнение f(x)=0 должно удовлетворять условиям: f(x) должна быть дифференцируема на [a,b]; f(x) должна принимать разные значения на краях интервала: f(a)f(b)<0 (тогда внутри интервала имеется хотя бы один корень уравнения); f(x)=0 на [a,b] (если производная внутри интервала не меняет знак, то корень один);

Слайд 14


Метод заключается в том, что: а)заменяется уравнение f(x)=0 на равносильное ему уравнение вида x=φ(x); б)произвольно выбирается начальное значение x0 ∈ [a,b]; в)вычисляются итерации: x1 =φ(x0); x2 =φ(x1); ……………….. xn+1 =φ(xn); n=0,1…..
Описание слайда:
Метод заключается в том, что: а)заменяется уравнение f(x)=0 на равносильное ему уравнение вида x=φ(x); б)произвольно выбирается начальное значение x0 ∈ [a,b]; в)вычисляются итерации: x1 =φ(x0); x2 =φ(x1); ……………….. xn+1 =φ(xn); n=0,1…..

Слайд 15


г)проверяется выполнение условий сходимости: Теорема: процесс итерации xn+1=φ(xn) сходится не зависимо от выбора начального значения x0 ∈ [a,b] и предельное значение x*=limn→∞xn – единственный корень уравнения x=φ(x) на [a,b], если: все значения φ(x)∈[a,b] и она дифференцируема на этом отрезке; существует правильная дробь q, такая, что |φ(x)|≤q<1.
Описание слайда:
г)проверяется выполнение условий сходимости: Теорема: процесс итерации xn+1=φ(xn) сходится не зависимо от выбора начального значения x0 ∈ [a,b] и предельное значение x*=limn→∞xn – единственный корень уравнения x=φ(x) на [a,b], если: все значения φ(x)∈[a,b] и она дифференцируема на этом отрезке; существует правильная дробь q, такая, что |φ(x)|≤q<1.

Слайд 16


Алгоритм метода итераций: А) исходное уравнение заменяется функцией вида φ(x)=λf(x)+x, где: (1) -1/r<λ<0 при f(x)>0; 0<λ<1/r при f(x)<0; r=max(|f(a)|,|f(b)|). Б) выбирается начальное значение x0∈[a,b]. В) в (1) по условиям после вычисления r выбирается λ и составляется рекурентная формула метода итерации вида: Xn+1=λf(xn)+xn
Описание слайда:
Алгоритм метода итераций: А) исходное уравнение заменяется функцией вида φ(x)=λf(x)+x, где: (1) -1/r<λ<0 при f(x)>0; 0<λ<1/r при f(x)<0; r=max(|f(a)|,|f(b)|). Б) выбирается начальное значение x0∈[a,b]. В) в (1) по условиям после вычисления r выбирается λ и составляется рекурентная формула метода итерации вида: Xn+1=λf(xn)+xn

Слайд 17


Г) Проверяются условия сходимости: ∆x=|x*-xn|≤m/(1-q)qm, (2) где m= |xn- φ(xn)|; q=| φ(xn) |. Процесс вычисления (пункты в, г) повторяется до тех пор, пока не достигается заданная точность решения Е, т.е. расчеты прекращаются, когда выполнится неравенство (пункт г): ∆x≤Е.
Описание слайда:
Г) Проверяются условия сходимости: ∆x=|x*-xn|≤m/(1-q)qm, (2) где m= |xn- φ(xn)|; q=| φ(xn) |. Процесс вычисления (пункты в, г) повторяется до тех пор, пока не достигается заданная точность решения Е, т.е. расчеты прекращаются, когда выполнится неравенство (пункт г): ∆x≤Е.

Слайд 18


4. Решение нелинейных уравнений методом Ньютона-Рафсона. Для решения уравнения вида f(x)=0 формула метода Ньютона-Рафсона: xn+1= xn- f(xn) f(xn) (1) Возможность применения метода определяется теоремой: если на интервале [a;b] функция F(x)=f(x)-x дважды дифференцируема и на краях интервала принимает различные по знаку значения F(a)F(b)<0, то исходя из начального
Описание слайда:
4. Решение нелинейных уравнений методом Ньютона-Рафсона. Для решения уравнения вида f(x)=0 формула метода Ньютона-Рафсона: xn+1= xn- f(xn) f(xn) (1) Возможность применения метода определяется теоремой: если на интервале [a;b] функция F(x)=f(x)-x дважды дифференцируема и на краях интервала принимает различные по знаку значения F(a)F(b)<0, то исходя из начального

Слайд 19


приближения, отвечающего условию: F(x0)F(x)>0, (2) можно вычислить методом Ньютона-Рафсона единственный корень уравнения с любой заданной точностью. Из теоремы следует, что F(x)=f(x)-x на интервале [a;b] должна удовлетворять следующим требованиям: должна быть определена и непрерывна; на краях принимать противоположные по знаку значения F(a)F(b)<0;
Описание слайда:
приближения, отвечающего условию: F(x0)F(x)>0, (2) можно вычислить методом Ньютона-Рафсона единственный корень уравнения с любой заданной точностью. Из теоремы следует, что F(x)=f(x)-x на интервале [a;b] должна удовлетворять следующим требованиям: должна быть определена и непрерывна; на краях принимать противоположные по знаку значения F(a)F(b)<0;

Слайд 20


F(x) ≢0; F (x) существует и сохраняет знак (следовательно, на [a;b] только один корень); если F(x) в окрестности корня x* имеет производную близкую к нулю (корень-экстремум функции), то применение метода дает неудовлетворительный результат. Погрешность оценивается как: |xn- xn-1|≤ 2min|F(x)|E/max|F (x)|; (3)
Описание слайда:
F(x) ≢0; F (x) существует и сохраняет знак (следовательно, на [a;b] только один корень); если F(x) в окрестности корня x* имеет производную близкую к нулю (корень-экстремум функции), то применение метода дает неудовлетворительный результат. Погрешность оценивается как: |xn- xn-1|≤ 2min|F(x)|E/max|F (x)|; (3)

Слайд 21


Алгоритм метода Ньютона-Рафсона : А) определяются 1-я и 2-я производные, их знаки, минимальное для 1-ой и максимальное для 2-ой производных значения на отрезке [a,b] (с помощью Excel); Б) выбирается начальное значение x0 из условия (2), т.е. если это условие выполняется и на [a,b] 2-я производная сохраняет знак, то x0 может быть любым; В) по рекурентной формуле (1) вычисляется значение корня; Г) по соотношению (3) оценивается погрешность: если условие выполняется,
Описание слайда:
Алгоритм метода Ньютона-Рафсона : А) определяются 1-я и 2-я производные, их знаки, минимальное для 1-ой и максимальное для 2-ой производных значения на отрезке [a,b] (с помощью Excel); Б) выбирается начальное значение x0 из условия (2), т.е. если это условие выполняется и на [a,b] 2-я производная сохраняет знак, то x0 может быть любым; В) по рекурентной формуле (1) вычисляется значение корня; Г) по соотношению (3) оценивается погрешность: если условие выполняется,

Слайд 22


то вычисления прекращаются, в противном случае повторяются В), Г). Т.о., метод Ньютона-Рафсона критичен к выбору x0, поэтому его комбинируют с др. методами: вначале «грубо» определяют приближенное значение корня методом половинного деления, а затем методом Ньютона-Рафсона уточняют его.
Описание слайда:
то вычисления прекращаются, в противном случае повторяются В), Г). Т.о., метод Ньютона-Рафсона критичен к выбору x0, поэтому его комбинируют с др. методами: вначале «грубо» определяют приближенное значение корня методом половинного деления, а затем методом Ньютона-Рафсона уточняют его.

Скачать

Похожие презентации
Mypresentation.ru
Загрузить презентацию