🗊Презентация Лекция 7. Постановка задачи нелинейного программирования. Теорема Куна-Таккера

Лекция 7. Постановка задачи нелинейного программирования. Теорема Куна-Таккера Содержание лекции: Формулировка общей задачи математического программирования Классификация задач нелинейного программирования Понятие о функции Лагранжа Теорема Куна-Таккера. Интерпретация множителей Лагранжа

Литература Шелобаев С.И. Экономико-математические методы и модели: Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. — Разделы 4.1 (до начала подраздела «Аналитические методы решения задач условной оптимизации»), 4.2. Исследование операций в экономике: Учебн. пособие для вузов / Под ред. Н.Ш. Кремера. М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. — Разделы 10.2, 11.2.

Формулировка общей задачи математического программирования

Классификация задач нелинейного программирования

Понятие о функции Лагранжа Решение любой задачи математического программирования (в том числе нелинейного) можно свести к решению задачи нелинейного программирования без ограничений. Для этого необходимо на основе исходной ЗМП построить функцию Лагранжа:

Теорема Куна-Таккера

Точка Куна-Таккера (x1*,x2*,…,xn*,λ1*, λ2*, …, λт+n*) определяется следующими условиями  Точка Куна-Таккера (x1*,x2*,…,xn*,λ1*, λ2*, …, λт+n*) определяется следующими условиями 

Переменные λi называются множителями Лагранжа. Переменные λi называются множителями Лагранжа. Экономическая интерпретация множителей Лагранжа, соответствующих оптимальному решению, аналогична интерпретации двойственных оценок ограничений ЗЛП Они показывают величину изменения целевой функции в расчёте на единицу изменения свободного члена ограничения, которому соответствует множитель Лагранжа, в очень малой окрестности оптимума Если ограничение можно рассматривать в качестве баланса ресурса и максимизируется прибыль, то множитель Лагранжа в точке оптимума равен оптимальной цене Если найдётся рынок, где ресурс дешевле, то его покупка увеличит прибыль Если найдётся рынок, где ресурс дороже, то для увеличения прибыли его следует продать В отличие от случая ЗЛП, множители Лагранжа (кроме частных случаев) не обладают свойством устойчивости Они меняют свои значения даже при сколь угодно малом изменении свободных членов ограничений

Теорема Куна-Таккера используется для аналитического отыскания оптимума задачи нелинейного программирования Теорема Куна-Таккера используется для аналитического отыскания оптимума задачи нелинейного программирования Впрочем, этот приём приводит к успешным результатам отнюдь не для любой задачи Главное, чем полезна теорема Куна-Таккера: выяснение роли множителей Лагранжа в формулировании условий оптимальности экономическая интерпретация множителей Лагранжа