🗊Презентация Линейная алгебра. Матрица

Высшая математика

СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ Линейная алгебра и аналитическая геометрия: 1. Матрицы 2. Определители 3. Системы линейных уравнений 4. Аналитическая геометрия Математический анализ: 1. Предел функции 2. Дифференциальное исчисление 3. Интегральное исчисление 4. Дифференциальные уравнения 5. Ряды

Линейная алгебра

Матрица – это прямоугольная таблица чисел. Матрица – это прямоугольная таблица чисел. Аm*n – матрица размера m*n (m строк, n столбцов) bi j – элемент матрицы, стоящий на пересечении iтой строки и jтого столбца.

Виды матриц: Матрица-строка (вектор-строка) – матрица, состоящая из одной строки. Матрица-столбец – матрица, состоящая из одного столбца. Квадратная матрица – матица, у которой число строк равно числу столбцов (m=n) Квадратная матрица 2-го порядка Элементы квадратной матрицы, у которых i=j, называются элементами главной диагонали. с11, с22 – элементы главной диагонали Диагональная матрица – матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю. Единичная матрица – это диагональная матрица, у которой элементы главной диагонали равны единице. Нулевая матрица – матрица, у которой все элементы равны нулю.

Операции над матрицами: Сложение – выполняется только для матриц одинакового размера. Умножение матрицы на число Транспонирование матрицы – осуществляется в результате замены строк матрицы на соответствующие столбцы с сохранением порядка элементов.

Свойства операций над матрицами:

Определители Определитель – это число, характеризующее квадратную матрицу. Обозначение: Правила вычисления:

Правила вычисления определителя любого порядка Теорема Лапласа: Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Вычислим определитель А разложением по i-той строке: Вычислим определитель разложением по j-тому столбцу:

Обратная матрица Матрица А-1 называется обратной матрицей, если Алгоритм вычисления обратной матрицы А: Вычисляем определить матрицы : Вычисляем алгебраические дополнения всех элементов матрицы А и составляем из них присоединенную матрицу: Транспонируем присоединенную матрицу: Вычисляем обратную матрицу по формуле:

Решение систем линейных уравнений - переменные - коэффициенты при переменных - свободные коэффициенты

2 способ. Способ обратной матрицы Систему линейных уравнений можно представить в виде матричного уравнения где

Аналитическая геометрия Векторы на плоскости и в пространстве

Операции над векторами, заданными в координатной форме

Уравнение прямой на плоскости Уравнение прямой в общем виде    Где А, В, С – числа. Уравнение прямой, проходящей через данную точку Уравнение прямой, проходящей через две точки Угол между двумя прямыми   Где k2 , k1 – угловые коэффициенты прямых Формула берётся со знаком «+», если угол между прямыми острый, т.к. тангенс острого угла – число положительное; Формула берётся со знаком «-», если угол между прямыми тупой, т.к. тангенс тупого угла – число отрицательное.

Условия параллельности и перпендикулярности прямых Условия параллельности и перпендикулярности прямых а, в – прямые k1, k2 – угловые коэффициенты прямых а II в, если k2 = k1   а в, если k2 = - Расстояние от точки до прямой Точка пересечения двух прямых

Аналитическая геометрия в пространстве Уравнение плоскости в пространстве, проходящей через точку M0 (x0 ; y0 ; z0), перпендикулярно вектору n=(A; B;C): Общее уравнение плоскости: Уравнение плоскости, проходящей через три точки: Уравнение плоскости в отрезках A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c)

Уравнение прямой в пространстве Параметрическое: Каноническое: S (m; n; p) – направляющий вектор, M0 (x0 ; y0 ; z0) Уравнение прямой, проходящей через две точки: Общее уравнение (пересечение двух плоскостей)

Кривые второго порядка

Математический анализ

Функции Функцией (числовой функцией) называется отображение числового множества D в числовое множество Е. Функцию записывают так: y=f(x). Множество D называется областью определения функции, а его элемент - аргументом. Множество Е называется областью значений функции, а его элемент - функцией (значением функции, зависимой переменной). Графиком функции y=f(x) называют множество точек на плоскости, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента , а ординаты – соответствующими значениями функции.

Предел переменной величины Предел – одно из основных понятий математического анализа. Понятие предела использовалось еще Ньютоном во второй половине XVII века и математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году. Пусть переменная величина x в процессе своего изменения неограниченно приближается к числу 5, принимая при этом следующие значения: 4,9; 4,99;4,999;…или 5,1; 5,01; 5,001;… В этих случаях модуль разности стремится к нулю: = 0,1; 0,01; 0,001;… Число 5 в приведенном примере называют пределом переменной величины x и пишут lim x = 5. Определение. Постоянная величина a называется пределом переменной x, если модуль разности при изменении x становится и остается меньше любого как угодно малого положительного числа e.

Предел функции в точке Определение. Число b называется пределом функции в точке a, если для всех значений x, достаточно близких к a и отличных от a, значения функции сколь угодно мало отличаются от числа b.

Основные свойства пределов

Замечательные пределы В математике важную роль играют два специальных предела, которые ввиду их важности названы «замечательными»: - первый замечательный предел - второй замечательный предел Пример 1. Пример 2.

Раскрытие неопределенностей Иногда правила предельного перехода непосредственно неприменимы. Например, при отыскании когда f(х)→0, φ(х) →0 или f(х)→∞, φ(х) → ∞. В этом случае надо проделать над дробью некоторые преобразования. Чтобы обозначить такие ситуации, говорят, что имеем дело с неопределенностью или Пример 3.

Пример 4. Пример 4. Пример 5.

Дифференциальное исчисление Производной функции y=f (x) называется скорость изменения функции в данный момент времени (мгновенная скорость) Таблица производных

Правила дифференцирования

Пример. Вычислите производную функции Пример. Вычислите производную функции

Применение производной к построению графика функции. Возрастание и убывание функции. Экстремумы. Функция y=f(x) возрастает на некотором интервале [a;b], если производная функции на этом интервале больше нуля f’(x)>0. Если f’(x)<0, то функция убывает. Точка x0 называется точкой экстремума функции, если: f’(x) в этой точке равна нулю или не существует функция в этой точке должна существовать f’(x) при переходе через точку меняет свой знак: с «+» на «–» точка максимума max с «–» на «+» точка минимума min

Промежутки выпуклости функции. Точки перегиба Функция y=f(x) на промежутке [a; b] Если вторая производная f”(x)>0, то функция на промежутке [a; b] является выпуклой вниз. Если f”(x)<0, то функция выпукла вверх. Точка x0 является точкой перегиба функции, если: f”(x)=0 или f”(x) не существует; f(x) в этой точке существует; f”(x) при переходе через эту точку меняет свой знак.

Пример. Исследовать функцию f(x) и построить ее график 1) Область определения R. 2) Функция непериодическая. 3) Четность/нечетность - функция общего вида.

4) Точки пересечения с осью ОХ: y = 0

c осью OY: х = 0 ; у = -7\10

5) Экстремумы, возрастание, убывание

6) Выпуклость/вогнутость

ГРАФИК ФУНКЦИИ

Первообразная и неопределенный интеграл

Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал- подынтегральному выражению. Действительно: Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал- подынтегральному выражению. Действительно:

Таблица неопределенных интегралов

Таблица неопределенных интегралов

Метод замены переменной

Примеры

Интегрирование по частям

Примеры

Определенный интеграл

Свойства определенного интеграла

Свойства определенного интеграла

Вычисление определенного интеграла

Пример Вычислить .

Вычисление интеграла

Вычисление площадей Площадь фигуры в декартовых координатах.

Вычисление площадей