Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений

Нажмите для полного просмотра!

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №2

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №3

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №4

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №5

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №6

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №7

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №8

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №9

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №10

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №11

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №12

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №13

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №14

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №15

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №16

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №17

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №18

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №19

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №20

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №21

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №22

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №23

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №24

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №25

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №26

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №27

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №28

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №29

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №30

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №31

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №32

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №33

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №34

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №35

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №36

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №37

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №38

Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений, слайд №39

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Линейная алгебра. Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. Доклад-сообщение содержит 39 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Линейная алгебра Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений

Слайд 2

Описание слайда:

Слайд 3

Описание слайда:

Решение системы уравнений. Решением системы является любой набор значений неизвестных , удовлетворяющих всем уравнениям системы. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Две системы уравнений с одними и теми же неизвестными называются равносильными, если они имеют одно и тоже множество решений.

Слайд 4

Описание слайда:

Слайд 5

Описание слайда:

Элементарные преобразования Перестановка уравнений Вычеркивание из системы нулевых уравнений Умножение обеих частей одного из уравнений системы на число, не равное нулю Прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения.

Слайд 6

Описание слайда:

Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных Шаг 1. Умножая первое уравнение на подходящие числа и прибавляя полученные уравнения соответственно ко второму, третьему, …, -му уравнению системы, исключим переменную из всех последующих уравнений, начиная со второго.

Слайд 7

Описание слайда:

Метод Гаусса Шаг 2. Умножая второе уравнение на подходящие числа и прибавляя полученные уравнения соответственно к первому, третьему, четвертому, …, -му уравнению системы, исключим переменную из всех последующих уравнений.

Слайд 8

Описание слайда:

Метод Гаусса Продолжая процесс последовательного исключения переменных, получим систему уравнений, в которой для каждого уравнения имеется неизвестное, которое входит в это уравнение с коэффициентом, равным единице, а в остальные уравнения – с коэффициентом 0.

Слайд 9

Описание слайда:

Если для каждого уравнения зафиксировано такое неизвестное, то это неизвестное называется базисным, а весь набор базисных неизвестных – базисом неизвестных. Остальные неизвестные называются свободными.

Слайд 10

Описание слайда:

Пример 1. Решить систему уравнений

Слайд 11

Описание слайда:

В результате преобразований Гаусса получим таблицу:

Слайд 12

Описание слайда:

Ответ: .

Слайд 13

Описание слайда:

Однородные системы линейных уравнений Линейное уравнение называется однородным, если свободный член уравнения равен нулю. Система, состоящая из однородных уравнений, сама называется однородной.

Слайд 14

Описание слайда:

Однородная система всегда совместна: одно из её решений – нулевое. Теорема. Однородная система, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.

Слайд 15

Описание слайда:

Пример 2. Найти общее решение системы уравнений.

Слайд 16

Описание слайда:

Решим систему методом Гаусса

Слайд 17

Описание слайда:

Перейдем к записи системы уравнений Общее решение системы имеет вид:

Слайд 18

Описание слайда:

Арифметические векторы и действия над ними. Пространство . Определение 1. Арифметическим -мерным вектором называется любая последовательность из действительных чисел . Определение 2. Два вектора с одним и тем же числом координат и считают равными тогда и только тогда, когда . Обозначение: .

Слайд 19

Описание слайда:

Действия над векторами Суммой двух векторов (с одинаковым количеством координат) называют вектор Выполняются следующие свойства сложения векторов: 1. 2. () 3. = для любого вектора , где 4. )= , где

Слайд 20

Описание слайда:

Действия над векторами Произведением вектора на число λ называется вектор Свойства операции умножения вектора на число: 5. 6. 7. λ∙ 8. 1∙ =.

Слайд 21

Описание слайда:

Определение. Множество всех -мерных арифметических векторов, в котором введены указанные выше операции сложения векторов и умножения вектора на число, называется арифметическим -мерным векторным пространством и обозначается .

Слайд 22

Описание слайда:

Системы векторов в линейном пространстве Если при рассмотрении некоторого вопроса приходится иметь дело с несколькими векторами, то, как правило, их обозначают одной и той же буквой с разными индексами Весь набор называют системой векторов.

Слайд 23

Описание слайда:

Определение Пусть даны векторы Любой вектор вида где , , …, - какие угодно числа, называется линейной комбинацией векторов Также говорят, что вектор линейно выражается через векторы или что разлагается по векторам .

Слайд 24

Описание слайда:

Пример Для системы векторов из , , рассмотрим линейную комбинацию 3(6; 6; 9)-(0; -20; 25)- -(6; 26; -16)=(0; 0; 0). Таким образом, вектор (0; 0; 0) является линейной комбинацией векторов .

Слайд 25

Описание слайда:

Определения. Множество всех линейных комбинаций векторов называется линейной оболочкой векторов и обозначается L Система векторов линейного пространства называется линейно зависимой, если существуют такие числа , , …, , не равные нулю одновременно, что справедливо равенство .

Слайд 26

Описание слайда:

Линейная независимость векторов. Если система векторов такова, что равенство возможно, только если = …= =0, то эта система называется линейно независимой. Два вектора будут линейно зависимы, если или для некоторого числа . Такие векторы называются коллинеарными.

Слайд 27

Описание слайда:

Пример. Дана система из четырех векторов в Выяснить, является ли эта система линейно зависимой. Необходимо решить уравнение: .

Слайд 28

Описание слайда:

Решение. Найдем решение системы методом Гаусса.

Слайд 29

Описание слайда:

Базис линейного пространства Определение. Система векторов называется базисом линейного пространства V, если выполнены следующие условия: 1) эти векторы линейно независимы; 2) любой вектор из V является линейной комбинацией векторов данной системы, т.е. . При этом равенство называется разложением вектора по данному базису.

Слайд 30

Описание слайда:

Пример. В пространстве в качестве базиса может быть выбрана система из единичных векторов , , ......................... . Любой вектор можно представить .

Слайд 31

Описание слайда:

Основные утверждения. Координаты вектора в данном пространстве определены однозначно. Число векторов базиса линейного пространства V определено однозначно. Размерностью линейного пространства V называется число векторов его базиса. Линейно независимая система векторов в -мерном линейном пространстве V является базисом тогда и только тогда, когда число этих векторов равно .

Слайд 32

Описание слайда:

Примеры. 1. Система векторов: , , является базисом в . 2. Векторы: , , , образуют базис в .

Слайд 33

Описание слайда:

Ранг и базис системы векторов. Отметим, что линейная оболочка L() векторов пространства V является подпространством. Размерность этого подпространства называется рангом системы векторов и обозначается ( ). Подсистема системы векторов называется базисом этой системы, если она является базисом линейной оболочки L().

Слайд 34

Описание слайда:

Пример. Дана система из четырех векторов в : , , , . Найти ранг и базис этой системы.

Слайд 35

Описание слайда:

Евклидовы пространства. Определение. Говорят, что на линейном пространстве V задано скалярное произведение векторов, если имеется правило, по которому любым двум векторам сопоставляется число (), удовлетворяющее следующим четырем аксиомам: 1. ( )=( ); 2. ( )=( );

Слайд 36

Описание слайда:

3. (, )=( )+ ( ); 4. ( )>0, если и если ( )=0, то . Определение. Линейное пространство, на котором задано скалярное произведение, называется евклидовым пространством.

Слайд 37

Описание слайда:

В евклидовом пространстве скалярное произведение векторов и задается соотношением: ( )=. Выполнение всех аксиом скалярного произведения очевидно. Справедливо равенство: ( )=||·| |·cosα. И как следствие: .

Слайд 38

Описание слайда:

Ортогональные системы векторов Определение. Векторы в евклидовом пространстве называются ортогональными (друг другу), если их скалярное произведение равно нулю: ( )=0. Система векторов в евклидовом пространстве называется ортогональной, если все векторы в ней попарно ортогональны.

Слайд 39

Описание слайда:

Ортонормированные системы векторов Определение. Ортогональная система векторов в евклидовом пространстве называется ортонормированной, если модуль любого вектора системы равен единице. Задача. Проверить, что векторы , ,образуют ортогональный базис пространства . Найти координаты вектора в этом базисе.