🗊Презентация Линейная алгебра. Применение определителей

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Лекция 3 ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

§1. НАХОЖДЕНИЕ РАНГА МАТРИЦЫ §1. НАХОЖДЕНИЕ РАНГА МАТРИЦЫ Пусть A - прямоугольная матрица размера mxn Пусть в матрице A произвольным образом выбраны l строк и l столбцов, где l  min(m;n). Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов образуют квадратную матрицу l -го порядка, определители которой называются минорами l -го порядка матрицы A. Рангом матрицы A (обозначение - r(A)или rangA) называется максимальный порядок миноров данной матрицы, не равных нулю. Минор, определяющий ранг матрицы, называется базисным. У матрицы базисный минор определяется неоднозначно.

2. rangA=0 тогда и только тогда, когда A - нулевая матрица. 2. rangA=0 тогда и только тогда, когда A - нулевая матрица. 3. Ранг матрицы не изменится, если из нее вычеркнуть все нулевые строки и столбцы. 4. Ранг матрицы не изменится при её транспонировании. 5. Элементарные преобразования матрицы не меняют её ранга. Пример 2. Найти ранг матрицы Решение. В результате элементарных преобразований и применения свойств ранга получаем каноническую матрицу вида поэтому, ранг матрицы A равен rangA = 2.

§2. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА И ЕЕ НАХОЖДЕНИЕ §2. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА И ЕЕ НАХОЖДЕНИЕ Пусть дана квадратная матрица порядка n : Квадратная матрица A−1 порядка n называется обратной к матрице A, если выполняется условие: A⋅ A−1 = A−1 ⋅ A = E , где E - единичная матрица n -ого порядка. Матрица A называется вырожденной (особенной), если её определитель равен нулю. Иначе, матрица A называется невырожденной. Присоединенной матрицей или матрицей союзной к матрице A, называется матрица вида:

Теорема 1. Для того, чтобы у матрицы A существовала обратная, необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица A была невырожденная. Теорема 1. Для того, чтобы у матрицы A существовала обратная, необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица A была невырожденная. Доказательство необходимости. Пусть матрица A имеет обратную матрицу A−1 , т.е. справедливо равенство A⋅ A−1 = A−1 ⋅ A = E . Применим к данному равенству свойство 11 определителей. Имеем A⋅ A−1 = A ⋅ A−1 = E =1, отсюда вытекает, что A ≠ 0 и A−1 ≠ 0. Доказательство достаточности. Для доказательства используем присоединенную матрицу. Не теряя общности, докажем теорему для случая n = 3. Пусть

Присоединенная матрица AV имеет вид: Присоединенная матрица AV имеет вид: Вычислим их произведение A⋅ AV :

Тогда имеем: A⋅ AV = det A⋅ E . Аналогично рассуждая, получаем что AV⋅ A = det A⋅ E . Тогда имеем: A⋅ AV = det A⋅ E . Аналогично рассуждая, получаем что AV⋅ A = det A⋅ E . Полученные равенства представим в виде: Тогда имеем, что Что и требовалось доказать. Пример1. Найти матрицу A−1, если Решение. Имеем det A = −4. Найдем алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы A:

Очевидно: Очевидно: Составим присоединенную матрицу

§3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТРИЦ В качестве примера, рассмотрим некоторые экономические задачи, использующие понятие матрицы. Пример 1. Фирма выпускает ежедневно пять видов продукции, основные экономические показатели которых приведены в таблице Требуется определить следующие ежедневные показатели: расход сырья S , затраты рабочего времени T и стоимость P выпускаемой продукции предприятия.

Решение. Используя таблицу, составим четыре вектора-строки, полностью характеризующие производственный цикл: q = (10,15,25,30,40 ) - вектор ассортимента; s = (7,2, 8,4,5) - вектор расхода сырья; t = (6,2, 4,5,3) - вектор затрат рабочего времени; p = (35,20,15,35,15 ) – вектор цен. Тогда искомые величины будут представлять собой соответствующие произведения вектора-строки ассортимента q на три других вектора-столбца:

Решение. Составим вектор-план выпуска продукции Решение. Составим вектор-план выпуска продукции q = (30,20,40,50 ). Решение задачи дается вектором затрат, координаты которого и являются величинами затрат сырья по каждому виду изделия: этот вектор вычисляется как произведение вектора q на матрицу A: