🗊Презентация Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Лектор ДьяконоваН.В..

§14. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка 1. Общие понятия и определения ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции y и ее производных y  , y  ,  … , y(n), т.е. уравнение вида p0(x)y(n) + p1(x)y(n – 1) + … + pn – 1(x)y  +  pn(x)y = g(x) , (7) где pi(x) (i = 0, 1, 2, …, n) и g(x) – заданные функции. Если g(x) ≡ 0, то уравнение (7) называется линейным однородным. Если g(x) ≢ 0 , то уравнение (7) называется линейным неоднородным (или уравнением с правой частью).

Так как p0(x) ≢ 0 , то уравнение (7) можно записать в виде: Так как p0(x) ≢ 0 , то уравнение (7) можно записать в виде: y(n) + a1(x)  y(n – 1) + … + an – 1(x)  y  +  an(x)  y = f(x) . (8) Уравнение (8) называют приведенным. В дальнейшем будем работать только с приведенным уравнением. Кроме того, будем предполагать, что ai(x) (i = 1, 2, …, n) и f(x) непрерывны на некотором отрезке [a;b]. Тогда в области D = {(x ,y0 ,y1 ,y2 , … , yn–1) | x[a;b] ,  yiℝ}ℝn + 1 для уравнения (8) будут выполняться условия теоремы существования и единственности решения. Следовательно, x0[a;b] и y0 , y0iℝ существует един- ственное решение уравнения (8), удовлетворяющее условию y(x0) = y0 , y  (x0) = y01 , y  (x0) = y02 ,  … ,  y(n–1)(x0) = y0n–1 .

2. Линейные однородные уравнения n-го порядка Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) порядка n, т.е. уравнение вида y(n) + a1(x)  y(n – 1) + … + an – 1(x)  y  +  an(x)  y = 0 . (9) ТЕОРЕМА 1 (свойство решений ЛОДУ). Если y1(x) и y2(x) являются решениями ЛОДУ (9), то y1(x) + y2(x) и C  y1(x) (Cℝ) тоже является решениями уравнения (9). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СЛЕДСТВИЕ 2. Если y1 , y2 , … , yn – решения уравнения (9), то их линейная комбинация C1  y1 + C2  y2 + … + Cn  yn  тоже является решением уравнения (9) для любых постоянных C1 , C2 , … , Cn .

Обозначим: S[a;b] – множество решений уравнения (9), Обозначим: S[a;b] – множество решений уравнения (9), C[a;b] – множество функций, непрерывных на [a;b]. Имеем: S[a;b]  C[a;b] , Из теоремы 1  S[a;b] – линейное подпространство C[a;b] ЗАДАЧА. Изучить S[a;b] как линейное пространство. Пусть y1(x) , y2(x) , … , yn(x)  – (n – 1) раз дифференцируемые на [a;b] функции. Запишем для них определитель порядка n вида

Определитель W – функция, определенная на [a;b]. Определитель W – функция, определенная на [a;b]. Его обозначают W(x) или W[y1 , y2 , … , yn ] и называют опреде- лителем Вронского (вронскианом) функций y1 , y2 , … , yn . ТЕОРЕМА 3 (необходимое условие линейной зависимости функций). Если функции y1(x) , y2(x) , … , yn(x) n – 1 раз дифферен- цируемы и линейно зависимы на [a;b], то их определитель Вронского на [a;b] тождественно равен нулю. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМА 4 (достаточное условие линейной независимости решений ЛОДУ). Если n решений ЛОДУ (9) линейно независимы на [a;b], то их определитель Вронского W[y1 , y2 , … , yn ] не может обратиться в нуль ни в одной точке этого промежутка. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

СЛЕДСТВИЕ 5 (теоремы 3 и 4). СЛЕДСТВИЕ 5 (теоремы 3 и 4). Пусть y1(x) , y2(x) , … , yn(x) решения ЛОДУ (9). Тогда 1) либо W[y1 , y2 , … , yn ] ≡ 0 и это означает, что решения линейно зависимы; 2) либо не W[y1 , y2 , … , yn ]  0 ,   x[a;b] , и это означает, что решения линейно независимы. ТЕОРЕМА 5 (о размерности пространства решений ЛОДУ). Пространство решений S[a;b] ЛОДУ (9) конечномерно и его размерность совпадает с порядком дифференциального уравнения, т.е. dimS[a;b] = n . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Система n линейно независимых решений ЛОДУ n-го порядка (базис пространства S[a;b]) называется его фундамен- тальной системой решений (фср).