🗊Презентация Логика предикатов

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ

Cостав математической логики

Высказывания

Пример. "Икс любит кашу" Если вместо неизвестного Икс подставить, например Маша, либо Даша, либо Саша, то получатся: «Маша любит кашу» «Даша любит кашу» «Саша любит кашу»

Р(х)=«Икс любит кашу» – одноместный предикат. Р(х)=«Икс любит кашу» – одноместный предикат. М={Маша, Даша, Саша}

Одноместный предикат Определение 1. Одноместным предикатом Р(х) называется всякая функция одного переменного, аргумент x которой определен на некотором мно­жестве M, а функция при этом принимает одно из двух значений: истина (1) или ложь (0). Множество M, на котором задан предикат, называется областью определения (или предметной областью) предиката. Множество  Ip, на котором предикат принимает истинные значения, называется областью истинности предиката Р(х).

Примеры одноместных предикатов Р1(х)=«x – простое число» - одноместный предикат. Пусть МР1- натуральные числа от 2 до 20. Тогда, например, P(2)=1, P(4)=0 IР1={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}. МР2 – целые числа от -10 до 10. Тогда Ip2=? МР3 – вещественные числа. Тогда Ip3=?

Двухместный предикат

Двухместный предикат

Двухместный предикат Определение 2. Двухместным предикатом P(x,у) называется функция двух переменных х и у, определённая на множестве М=М1×М2 и принимающая значения из множества {1,0}.

Пусть Q(x,у) – «х = у», М=R˟R.   Пусть Q(x,у) – «х = у», М=R˟R.   F(x,у) – «х || у» - прямая х параллельна прямой у, определённый на множестве прямых, лежащих на данной плоскости.

Пример . Среди следующих предложений выделить предикаты и для каждого из них указать область истин­ности, если M = R для одноместных предикатов и M = R×R для двухместных предикатов: Пример . Среди следующих предложений выделить предикаты и для каждого из них указать область истин­ности, если M = R для одноместных предикатов и M = R×R для двухместных предикатов: х + 5 = 1 при х = 2 выполняется равенство х2 – 1 = 0 х2 – 2х + 1 = 0 существует такое число х, что х3 – 2х + 1 = 0 х + 2 < 3х – 4 однозначное неотрицательное число х кратно 3 (х + 2) – (3х – 4) х2 + у2 > 0

Пример. Изобразить на декартовой плоскости область истинности предиката  Пример. Изобразить на декартовой плоскости область истинности предиката  x+3=y

Определение. Предикатом P(x1, x2, ... , xn) называется функция, аргументы которой определены на некоторых множествах М1,M2,M3,..Mn (xi∈ Mi), а сама она принимает два значения: И (0) и Л (1). Определение. Предикатом P(x1, x2, ... , xn) называется функция, аргументы которой определены на некоторых множествах М1,M2,M3,..Mn (xi∈ Mi), а сама она принимает два значения: И (0) и Л (1). Переменные x1,x2,..., xn называются предметными переменными, а множество M=M1×M2×…×Mn – предметной областью. Предикат от n переменных называется n-местным предикатом. Высказывание есть 0-местный предикат. Над предикатами можно производить обычные логические операции и получать при этом другие предикаты. Таким образом, можно говорить об алгебре предикатов.

P(x,y): 2(x+y)=2y+2x P(x,y): 2(x+y)=2y+2x Q(x): x+1=x F(x,y): x+y=5

Предикат называется тождественно истинным, если на всех наборах своих переменных принимает значение 1 (Ip= M). Предикат называется тождественно истинным, если на всех наборах своих переменных принимает значение 1 (Ip= M). Предикат называется тождественно ложным если на всех наборах своих переменных принимает значение 0 (Ip  M). Предикат называется выполнимым, если на некотором наборе своих переменных принимает значение 1 (Ip  M).

Примеры. Примеры. Р(х)- «В месяце х температура воздуха в Ярославле не опускается ниже 0 уже 100 лет». Если М={Июнь, июль, август}, то Р(х) – Если М={декабрь, январь, февраль}, то Р(х) – Если М={январь, февраль, март,… ноябрь, декабрь}, то Р(х)–

Задачи

Задачи

Логические операции над предикатами

Логические операции над высказываниями

Пример. Пример. Пусть на некотором множестве М – натуральные числа определены предикаты P(x) и Q(x): P(x): “x – четное число” Q(x): “x кратно 3” Тогда “x – четное число и x кратно трем” = “x делится на 6”

Пусть на некотором множестве М определены два предиката Р(х) и Q(х). Пусть на некотором множестве М определены два предиката Р(х) и Q(х). Определение. Конъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(х) называется новый предикат Р(х)&Q(х), который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях х∊М, при которых каждый из предикатов Р(х) и Q(х) принимает значение «истина» и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях. Областью истинности предиката Р(х)&Q(х) является общая часть областей истинности предикатов Р(х) и Q(х), т.е. пересечение IP&Q = IP  IQ.

Пример. Пример. Пусть на некотором множестве М – натуральные числа определены предикаты P(x) и Q(x): P(x): “x – четное число” Q(x): “x кратно 3” Тогда “x – четное число или x кратно трем”

Пусть на некотором множестве М определены два предиката Р(х) и Q(х). Пусть на некотором множестве М определены два предиката Р(х) и Q(х). Определение. Дизъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(х) называется новый предикат Р(х)vQ(х), который принимает значение «ложь» при тех и только тех значениях  х∊М, при которых каждый из предикатов Р(х) и Q(х) принимает значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях. Областью истинности предиката Р(х)vQ(х) является объединение областей истинности предикатов Р(х) и Q(х), т.е.  IPvQ = IP  IQ.

Изобразить на декартовой плоскости область истинности предиката: Изобразить на декартовой плоскости область истинности предиката: ((х+5>0)&(x<4)) ((х+5>0) v (y<4)) ((х-1>0) v (y=4)) ((х-1>0) & (y=4))

Изобразить на декартовой плоскости область истинности предиката Изобразить на декартовой плоскости область истинности предиката

Изобразить на декартовой плоскости область истинности предиката Изобразить на декартовой плоскости область истинности предиката

Изобразить на декартовой плоскости область истинности предиката Изобразить на декартовой плоскости область истинности предиката

Изобразить на декартовой плоскости область истинности предиката Изобразить на декартовой плоскости область истинности предиката

Пример. Пример. Пусть на некотором множестве М – натуральные числа определен предикат P(x):“x – четное число” Тогда : “x – нечетное число или 0”

Пусть на некотором множестве М определен предикат Р(х). Пусть на некотором множестве М определен предикат Р(х). Определение. Отрицанием предиката Р(х) назы­вается новый предикат  Р(х), который принимает значе­ние «истина» при всех значениях  х∊М, при которых предикат Р(х) принимает значение «ложь», и принима­ет значение «ложь» при тех значениях  х∊М, при кото­рых предикат Р(х) принимает значение «истина».

Пусть на некотором множестве М определены два предиката Р(х) и Q(х). Пусть на некотором множестве М определены два предиката Р(х) и Q(х). Определение. Импликацией предикатов Р(х) и Q(х) называется новый предикат  Р(х) → Q(х), который является ложным при тех и только тех значениях  х∊М, при которых одновременно Р(х) принимает значение «истина», а Q(х) – значение «ложь» и принимает значе­ние «истина» во всех остальных случаях.

Изобразите на координатной прямой или координатной плоскости множества истинности следующих предикатов: Изобразите на координатной прямой или координатной плоскости множества истинности следующих предикатов: а) (х > 2) ∧ (х < 2); б) (х > 2) v (х<2); в) (х > 2) ≡ (х< 2); г) (х > 0) ∧ (у < 0); д) (х > 0) v (у < 0); е) (х > 0) → (у < 0); ж) (|х|<3) ∧ (х ≥ 2); з) (х2 + у2 > 1)  (ху < 0); л) (х > 2) → (х < 2);

Тест «Предикат. Область истинности предикатаю» Состоит из 9 вопросов. Правильный вариант ответа может быть не один.

4. Пусть даны предикаты Р(х): «х - четное число» и Q(х): «х кратно 4», определенные на множестве N. Укажите области истинности предиката: 4. Пусть даны предикаты Р(х): «х - четное число» и Q(х): «х кратно 4», определенные на множестве N. Укажите области истинности предиката:

Критерии оценивания

1. Пусть даны предикаты Р(х): «х - четное число» и Q(х): «х кратно 3», определенные на множестве N. Найти области истинности предикатов: 1. Пусть даны предикаты Р(х): «х - четное число» и Q(х): «х кратно 3», определенные на множестве N. Найти области истинности предикатов:

Примеры предикатов, определенных на множестве натуральных чисел N2 Примеры предикатов, определенных на множестве натуральных чисел N2

Кванторные операции над предикатами

Определение. Операцией связывания квантором общности называется правило, по которому каждому одноместному предикату Р(х), определенному на множестве М, сопоставляется высказывание, обозначаемое (∀х)(Р(х)) Определение. Операцией связывания квантором общности называется правило, по которому каждому одноместному предикату Р(х), определенному на множестве М, сопоставляется высказывание, обозначаемое (∀х)(Р(х)) (читается: «для всякого значения х Р(х) истинное высказывание» или «Для всех x имеет место P(x)»), которое истинно в том и только в том случае, когда предикат Р(х) тождественно истинен, и ложно в противном случае. Символ ∀ происходит от первой буквы англ. all — «все». Сам символ (∀ x) также называют квантором общности по переменной х. Пример . Пусть P(x) – предикат “x – четное число”. Тогда xP(x) есть высказывание «Всякое x – четное число» ≡ «Все числа – четные».

Определение. Операцией связывания квантором существования называется правило, по которому каждому одноместному предикату Р(х), определенному на множестве М, ставится в соответствие высказывание, обозначаемое (х)(Р(х)) Определение. Операцией связывания квантором существования называется правило, по которому каждому одноместному предикату Р(х), определенному на множестве М, ставится в соответствие высказывание, обозначаемое (х)(Р(х)) (читается: «Существует значение х, такое, что Р(х) истинное высказывание» или «Существует x, для которого имеет место P(x)»), которое ложно в том и только в том случае, когда Р(х) тождественно ложен, и истинно в противном случае. Символ  происходит от первой буквы англ. exist — «существовать». Сам символ х также называют квантором существования по переменной х. Пример. Пусть, P(x) – предикат “x – четное число”. Тогда xP(x) есть высказывание “Некоторые x – четные числа” ≡ “Существуют четные числа” .

«Выгул кошек и собак воспрещен» «Выгул кошек и собак воспрещен» K(x): х-кошка C(x): х-собака B(x): для х выгул разрешен

Примеры Рассмотрим два одноместных предиката на множестве N: P(x): «1 ≤ х» и Q(x): «х 30». P(x): «1 ≤ х» - тождественно истинный. ( x)(l ≤ х) — «для всякого натурального х число 1 не превосходит х» - истинное высказывание. (x)(l ≤ х) – Q(x): «х 30» - опровержим. ( x)(x 30) — ( x)(x 30) —

Связанные и свободные переменные Определение. Присоединение квантора с переменной к предикатной формуле называется навешивание квантора на переменную х. Переменная при этом называется связанной и вместо нее подставлять значения уже нельзя. Несвязанная переменная называется свободной. Если квантор навешивается на формулу с несколькими переменными, то он уменьшает число несвязанных переменных в этой формуле. Пример. Р(х,у):«у<х» - двухместный предикат определенный на множестве N2=N×N. Применим к нему квантор общности по переменной х. ( х)(у < х) - одноместный предикат, зависящий от переменной у. Этот предикат может превратиться как в истинное высказывание (при у= 1), так и в ложное (при подстановке вместо у любых натуральных чисел, кроме 1).

Навешивание кванторов на двухместный предикат

Для доказательства истинности утверждения (х) Р(х) с квантором общности, определенного на множестве М, необходимо убедиться в том, что при подстановке каждого из значений  х∊М  в предикат Р(х) последний обращается в истинное высказывание. Если множество  М конечно, то это можно сделать путем перебора всех случаев; если же множество М бесконечно, то необходимо провести рассуждения в общем виде. Для доказательства истинности утверждения (х) Р(х) с квантором общности, определенного на множестве М, необходимо убедиться в том, что при подстановке каждого из значений  х∊М  в предикат Р(х) последний обращается в истинное высказывание. Если множество  М конечно, то это можно сделать путем перебора всех случаев; если же множество М бесконечно, то необходимо провести рассуждения в общем виде.

Высказывание x P(x) истинно, если можно указать такое значение а∊М при котором  Р(х) обращается в истинное высказывание Р(а) Поэтому, чтобы убедиться в истинности высказывания с квантором существования, достаточно привести пример. Высказывание x P(x) истинно, если можно указать такое значение а∊М при котором  Р(х) обращается в истинное высказывание Р(а) Поэтому, чтобы убедиться в истинности высказывания с квантором существования, достаточно привести пример. Для доказательства ложности утверждения ( х) Р(х) с квантором существования, определенного на множестве М, необходимо убедиться в том, что при подстановке каждого из значений  х∊М  в предикат Р(х) последний обращается в ложное высказывание. Если множество  М конечно, то это можно сделать путем перебора всех случаев; если же множество М бесконечно, то необходимо провести рассуждения в общем виде.

Упражнения

Упражнения Выяснить, какие из следующих предложений являются высказываниями, а какие предикатами: а) найдется такое х, что х+ у = 2; b) для любых х и у имеет место равенство х + у = у + х.

На языке логики предикатов записать определение убывающей функции На языке логики предикатов записать определение убывающей функции Функция f(x) называется убывающей на множестве M, если для любых чисел x1 и x2, принадлежащих множеству M, из неравенства x1 < x2 следует неравенство f(x1) > f(x2)).

Домашнее задание 1. Записать словами формулу где, A(x) = “x – студент”; B(y) = “y – экзамен”, C(x, y) = ”x сдал экзамен y”. 2. Записать предикатной формулой высказывание: «Все кошки знают русский язык»

Упражнения

Определение. Предикат Q следует из предиката Р, заданного над теми же множествами, что и предикат Q (P Þ Q), если он обращается в истинное высказывание на всех тех наборах значений переменных из соответствующих множеств, на которых в истинное высказывание обращается предикат Р, т.е. если Определение. Предикат Q следует из предиката Р, заданного над теми же множествами, что и предикат Q (P Þ Q), если он обращается в истинное высказывание на всех тех наборах значений переменных из соответствующих множеств, на которых в истинное высказывание обращается предикат Р, т.е. если Пример. Р(х): х-3=0; Q(х): (х-2)(х-3)=0. IР ={3}, IQ ={2, 3}. IР  IQ P Þ Q

Определение. Предикаты P и Q над одними и теми же множествами называют равносильными или эквивалентными (PQ), если при любом наборе переменных из соответствующих множеств предикаты принимают одинаковое значение истинности, т.е. если IР = IQ. Определение. Предикаты P и Q над одними и теми же множествами называют равносильными или эквивалентными (PQ), если при любом наборе переменных из соответствующих множеств предикаты принимают одинаковое значение истинности, т.е. если IР = IQ.

Формулы логики предикатов. Равносильность формул Формулы логики предикатов. Равносильность формул   Определение. Формула логики предикатов определяется индуктивно следующим образом: 1. Любая формула логики высказываний есть формула логики предикатов. 2. Предметные переменные x, y, z, ... есть формулы. 3. Предикаты P(x), Q(x, y), ... , а также выражения с кванторами xP(x), xR(x), xyQ(x, y),... есть формулы. 4. Если A и B – формулы, то ¬A, AVB, A&B, A →B, AB есть формулы, в которых свободные переменные формул A и B остаются свободными, а связанные переменные формул A и B остаются связанными. 5. Ничто, кроме указанного в пунктах 1 – 4, не есть формула.

Являются ли формулами следующие выражения Являются ли формулами следующие выражения а) A & B → C, где A, B, C – высказывания. б) xyQ(x, y, z) & xyP(x, y, u). в)xyP(x,y,z) Þ Q(x,y,z)

Пример. Пример. 1. Следующие выражения являются формулами логики предикатов: а) A & B → C, где A, B, C – высказывания. б) xyQ(x, y, z) & xyP(x, y, u). Проанализируем последовательно это выражение. Предикат Q(x, y, z) – формула; Выражение xyQ(x, y, z) – формула; переменные x, y – связанные, переменная z – свободная. Предикат P(x, y, u) – формула. Выражение xyP(x, y, u) – формула; переменные x, y – связанные, переменная u – свободная. Выражение xyQ(x, y, z) & xyP(x, y, u) – формула; переменные x, y – связанные, переменные z, u – свободные. 2. Выражение xyP(x,y,z) Þ Q(x,y,z) формулой не является. Действительно, выражение xyP(x,y,z) есть формула, в которой переменные x и y связанные, а переменная z свободная. Выражение Q(x,y,z) также формула, но в ней все переменные x, y, z свободные.

Определение. Формулы F и G, определенные на некотором множестве М, называются равносильными на этом множестве, если при любых подстановках констант вместо переменных они принимают одинаковые значения. Определение. Формулы F и G, определенные на некотором множестве М, называются равносильными на этом множестве, если при любых подстановках констант вместо переменных они принимают одинаковые значения. Определение. Формулы, равносильные на любых множествах, будем называть просто равносильными.  

Являются ли равносильными предикаты: Являются ли равносильными предикаты: а) P(x): (3x+8)/(x2+1)=0 и Q(z): -6z-16=0 б) P(x):(x+2)(x-3)=0 и Q(x): (x-3)=0 На множестве действительных чисел?

Переход от одних формул к равносильным им другим формулам логики предикатов может быть произведен по следующим правилам: Переход от одних формул к равносильным им другим формулам логики предикатов может быть произведен по следующим правилам: Все равносильности, имеющие место для логики высказываний, переносятся на логику предикатов. 2. Перенос квантора через отрицание. Пусть A – формула, содержащая свободную переменную x. Тогда (xA(x)) ºx(A(x)). (xA(x)) ºx(A(x)).

3. Вынос квантора за скобки. 3. Вынос квантора за скобки. Пусть формула A(x) содержит переменную x, а формула B не содержит переменной x, и все переменные, связанные в одной формуле, связаны в другой. Тогда   xA(x)VBºx(A(x)VB). xA(x)&Bºx(A(x)&B). xA(x)VBºx(A(x)VB). xA(x)&Bºx(A(x)&B). 4. Дистрибутивность квантора общности относительно конъюнкции и квантора существования относительно дизъюнкции. Пусть формула B, так же, как и формула A, зависит от х. Тогда xA(x) & xB(x) ºx(A(x) & B(x)). xA(x) V xB(x) ºx(A(x) V B(x)).

5. Перестановка одноименных кванторов. 5. Перестановка одноименных кванторов. xyA(x,y) ºyxA(x,y). xyA(x,y) ºyxA(x,y). Разноименные кванторы переставлять, вообще говоря, нельзя!  

Следствия и равносильности логики предикатов

Приведенные и нормальные формулы Приведенные и нормальные формулы   Определение. Формулы, в которых из логических символов имеются только символы &, V и Ø, причем символ Ø встречается лишь перед символами предикатов, называются приведенными формулами. Пример. A(x)&B(x, y). xA(x) V xØB(x, y). Ø(A(x)&B(x, y)). xA(x) Þ xØB(x, y). Ø(xA(x) Þ xØB(x, y)). Теорема. Для каждой формулы существует равносильная ей приведенная формула, причем множества свободных и связанных переменных этих формул совпадают.

Существуют две задачи, определяющие связь между суждениями и формулами логики предикатов: Существуют две задачи, определяющие связь между суждениями и формулами логики предикатов: 1) выражение суждения в виде формулы логики предикатов; 2) интерпретация формулы логики предикатов. Суждение – это мысль, в которой утверждается наличие или отсутствие свойств предметов, отношений между предметами. Простым суждением назовем суждение, в котором нельзя выделить часть, в свою очередь являющуюся суждением. Среди простых суждений выделяют атрибутивные суждения и суждения об отношениях.

Все атрибутивные суждения можно разделить на следующие типы: Все атрибутивные суждения можно разделить на следующие типы:

а) Веста – собака. а) Веста – собака. Заменим имя "Веста" символом "в" и введем предикат P(x) = "x – собака". Наше суждение можно выразить формулой: P(в).

б) Всякая логическая функция может быть задана таблицей. б) Всякая логическая функция может быть задана таблицей. Введем предикаты: S(x) = "x – логическая функция"; P(x) = "x может быть задана таблицей". Искомая формула: x(S(x) Þ P(x)).

в) Ни один народ не хочет войны. в) Ни один народ не хочет войны. Введем предикаты: S(x) = "x – народ"; P(x) = "x хочет войны". Суждение можно выразить формулой: x(S(x) Þ ØP(x)).

г) Некоторые журналисты были в космосе. г) Некоторые журналисты были в космосе. Введем предикаты: S(x) = "x – журналист"; P(x) = "x был в космосе". Наше суждение можно выразить формулой: x(S(x) & P(x)).

д) Некоторые современники динозавров не вымерли. д) Некоторые современники динозавров не вымерли. Введем предикаты: S(x) = "x – современник динозавров"; P(x) = "x вымер". Наше суждение можно выразить формулой: x(S(x) & ØP(x)).

Язык логики предикатов удобен для записи математических предложений: определений, теорем, необходимых и достаточных условий. Язык логики предикатов удобен для записи математических предложений: определений, теорем, необходимых и достаточных условий. Пример. Теорема Ферма «Для любого целого n > 2 не существует натуральных чисел x, y, z, удовлетворяющих равенству: xn+yn = zn». Введем предикаты: N(x) = "x – натуральное число"; M(x) = "x > 2"; P(x,y,z,n) = "xn + yn = zn". Для любых чисел x, y, z, n условие (посылка) теоремы Ферма есть конъюнкция N(x)&N(y)&N(z)&N(n)&M(n), а заключение есть ØP(x, y, z, n). Поэтому теорема Ферма формулируется следующим образом:   xyzn(N(x)&N(y)&N(z)&N(n)&M(n) Þ ØP(x, y, z, n)).

Если теорема имеет вид x(P(x) Þ Q(x)), то предикат Q(x) является следствием предиката P(x). При этом предикат Q(x) называется необходимым условием предиката P(x), а предикат P(x) – достаточным условием предиката Q(x). Если теорема имеет вид x(P(x) Þ Q(x)), то предикат Q(x) является следствием предиката P(x). При этом предикат Q(x) называется необходимым условием предиката P(x), а предикат P(x) – достаточным условием предиката Q(x).   Пример. Запишем в виде формулы логики предикатов утверждение: "Если число делится на 6, то оно делится на 3". Введем предикаты P(x) = "x делится на 6"; Q(x) = "x делится на 3". Наше утверждение формулируется следующим образом: x(P(x) Þ Q(x)). Предикат P(x) (делимость на 6) является достаточным условием предиката Q(x) (делимость на 3). Предикат Q(x) (делимость на 3) является необходимым условием предиката P(x) (делимость на 6).

I. Запишите на языке логики предикатов следующие утверждения: I. Запишите на языке логики предикатов следующие утверждения: Существует такое отрицатель­ное число x, что x2 +x - 6 = 0 . Число 9 делится на 3. Если число x делится на 3, то x делится и на 9 . Все числа, делящиеся на 9, делятся на 3 . Существуют числа, делящиеся на 9, но неделящиеся на 3 .