🗊Презентация Математические и инструментальные методы поддержки принятия решений

Лекция 3-4. Принятие решений на основе метода анализа иерархий.

Метод состоит в декомпозиции проблемы на все более простые составляющие части и дальнейшей обработке последовательности суждений лица, принимающего решения, на основе парных сравнений. Метод состоит в декомпозиции проблемы на все более простые составляющие части и дальнейшей обработке последовательности суждений лица, принимающего решения, на основе парных сравнений. Основная цель исследования и все факторы, в той или иной степени влияющие на достижение цели, распределяются по уровням в зависимости от степени и характера влияния.

На первом уровне иерархии всегда находится одна вершина – цель проводимого исследования. На первом уровне иерархии всегда находится одна вершина – цель проводимого исследования. Второй уровень иерархии составляют критерии, непосредственно влияющие на достижение цели. При этом каждый критерий представляется в строящейся иерархии вершиной, соединенной с вершиной 1-го уровня. Третий уровень составляют критерии, от которых зависят вершины 2-го уровня. И так далее. На последний уровень обычно выносятся альтернативы

ОДНОУРОВНЕВЫЕ ИЕРАРХИИ

Цель – желаемое состояние системы Цель – желаемое состояние системы Альтернативы – совокупность различных способов достижения поставленной цели. Критерии оценки альтернатив – показатели привлекательности (или непривлекательности) альтернатив для участников процесса выбора решения. Именно оценка критериев служит базой для выбора наилучшей альтернативы.

Начинается с вершины (цели), через промежуточные уровни (перечень критериев) к самому нижнему уровню (перечень альтернатив). Уровней критериев может быть несколько. Иерархическая структура — это графическое представление проблемы в виде перевернутого дерева, где каждый элемент, за исключением самого верхнего, зависит от одного или более выше расположенных элементов.

Если принимается метод попарного сравнения, то строится множество матриц парных сравнений. Если принимается метод попарного сравнения, то строится множество матриц парных сравнений. Для этого в иерархии выделяют элементы двух типов: элементы-«родители» и элементы-«потомки». Элементы-«потомки» воздействуют на соответствующие элементы вышестоящего уровня иерархии, являющиеся по отношению к ним элементами-«родителями». Матрицы парных сравнений строятся для всех элементов-«потомков», относящихся к соответствующему элементу-«родителю».

Если элемент Аi доминирует над элементом Аj, то клетка на пересечении строки Аi и столбца Аj заполняется числовым значением в соответствии со шкалой относительной важности, а клетка на пересечении строки Аj и столбца Аi – обратной к этому значению дробью. Если элемент Аi доминирует над элементом Аj, то клетка на пересечении строки Аi и столбца Аj заполняется числовым значением в соответствии со шкалой относительной важности, а клетка на пересечении строки Аj и столбца Аi – обратной к этому значению дробью. Если aij = α , то aji = 1/α , α ≠ 0 . Если элемент Аj доминирует над элементом Аi, то происходит обратное – в клетку на пересечении строки Аj и столбца Аi записывается числовое значение относительной важности, а в клетку на пересечении строки Аi и столбца Аj – его обратная величина (обратная дробь). Если элементы Аi и Аj считаются одинаковыми, то в обе клетки записываются единицы, т.е. Аi имеет одинаковую с Аj относительную важность, то aij =1 , aji =1; в частности, aii =1 для всех i.

Приоритеты — это числа, которые связаны с элементами иерархии. Приоритеты — это числа, которые связаны с элементами иерархии. Они представляют собой относительные веса w1, w2, …, wn элементов в каждой группе. Подобно вероятностям, приоритеты — безразмерные величины, которые могут принимать значения от нуля до единицы. Чем больше величина приоритета, тем более значимым является соответствующий ему элемент. Сумма приоритетов элементов, подчиненных одному элементу выше лежащего уровня иерархии, равна единице. Приоритет цели по определению равен 1.

Если анализируется матрица с результатами, полученными с помощью точных физических измерений (например, высоты, массы и т.д.), то значения элементов матрицы транзитивны: если некоторый объект А1 предпочтительнее объекта А2 в k раз, а объект А2 предпочтительнее объекта А3 в m раз, то объект А1 предпочтительнее объекта А3 в k*m раз. Если анализируется матрица с результатами, полученными с помощью точных физических измерений (например, высоты, массы и т.д.), то значения элементов матрицы транзитивны: если некоторый объект А1 предпочтительнее объекта А2 в k раз, а объект А2 предпочтительнее объекта А3 в m раз, то объект А1 предпочтительнее объекта А3 в k*m раз. В практических задачах количественная (кардинальная) и транзитивная (порядковая) согласованность нарушается, поскольку человеческие ощущения нельзя выразить точной формулой. В реальной жизни достигнуть такой точности экспертизы сложно, поэтому необходимо ввести параметр, определяющий насколько отличаются индексы согласованности для произвольной и заполненной экспертом матрицы. Для улучшения однородности в числовых суждениях, какая бы величина aij ни была взята для сравнения i-го элемента с j-м, aij приписывается значение обратной величины, т. е. аij = 1/aij. Отсюда следует, что если один элемент в а раз предпочтительнее другого, то последний только в 1/а раз предпочтительнее первого.

Пусть A — это квадратная матрица. Пусть A — это квадратная матрица. Вектор v называется собственным вектором матрицы A, если  Av = λv, где число λ называется собственным значением матрицы A. Таким образом преобразование, которое выполняет матрица A над вектором v, сводится к простому растяжению или сжатию с коэффициентом λ. При нарушении однородности ранг матрицы отличен от единицы и она будет иметь несколько собственных значений. Однако при небольших отклонениях суждений от однородности одно из собственных значений будет существенно больше остальных и приблизительно равно порядку матрицы. Таким образом, для оценки однородности суждений эксперта необходимо использовать отклонение величины максимального собственного значения λmax от порядка матрицы п.

Для исходной матрицы посчитаем Для исходной матрицы посчитаем Приоритеты Сумма по всем хi = 6,647. 3. Вес каждого критерия

Умножаем матрицу относительной важности на вектор приоритетов. Например, для первой строки (для всех остальных, аналогично). Умножаем матрицу относительной важности на вектор приоритетов. Например, для первой строки (для всех остальных, аналогично). Затем делим каждую компоненту нового вектора на соответствующую компоненту вектора приоритетов (для всех остальных, аналогично). Полученные значения необходимо просуммировать и разделить на число компонент вектора, получим λmax – собственное значение.

Расчет индекса согласованности: Расчет индекса согласованности: Расчет отношения согласованности:

Итоговая таблица Итоговая таблица

Найти строку i: Найти строку i: Заменить все aij на wi/wj в этой строке, а в соответствующем столбце поставить их обратные величины.

Пересчитать вектор приоритета и значение индекса согласованности. Пересчитать вектор приоритета и значение индекса согласованности. При необходимости повторить пп.1-3. Далее этапы 3, 4, 5, 6 проводятся для всех уровней иерархии

Составить матрицу, в которой столбцы – это векторы приоритетов каждой из альтернатив по конкретному критерию. Если в иерархии было N альтернатив и M критериев, то в матрице получится N строк и M столбцов Составить матрицу, в которой столбцы – это векторы приоритетов каждой из альтернатив по конкретному критерию. Если в иерархии было N альтернатив и M критериев, то в матрице получится N строк и M столбцов Для того, чтобы получить оценку альтернатив, необходимо умножить полученную матрицу на вектор приоритетов критериев. Т.о. будет умножена матрица размерности N*M на вектор размерности M. В результате будет получен вектор размерности N, значения элементов которого и соответствует предпочтительности  альтернатив с точки зрения достижимости поставленной цели. Из полученного вектора следует выбирать альтернативу с наибольшим значением в полученном векторе.

Необходимо проанализировать школы А, В, С на предмет их желательности с точки зрения конкретного ребенка. Для сравнения были выбраны шесть независимых характеристик (критерии): Необходимо проанализировать школы А, В, С на предмет их желательности с точки зрения конкретного ребенка. Для сравнения были выбраны шесть независимых характеристик (критерии): Учеба (У) Друзья (Д) Школьная жизнь (Ж) Профессиональное обучение (П) Подготовка к колледжу (К) Обучение музыке (М)

Цель: анализ школ. Цель: анализ школ. Критерии: Учеба (У) Друзья (Д) Школьная жизнь (Ж) Профессиональное обучение (П) Подготовка к колледжу (К) Обучение музыке (М) Альтернативы: школы А, В, С.

Матрица для элемента «удовлетворение школой», в данном случае число элементов следующего уровня равно 6, значит строим матрицу 6 на 6: Матрица для элемента «удовлетворение школой», в данном случае число элементов следующего уровня равно 6, значит строим матрицу 6 на 6: Критерий «У» (учеба) имеет умеренное превосходство над критерием «Ж» (школьная жизнь)

Рассчитаем векторы приоритетов для задачи (3-ий способ): Рассчитаем векторы приоритетов для задачи (3-ий способ): Для матрицы «удовлетворение школой»: Посчитаем сумму по каждому столбцу: Сстолб = (3,16; 11,47; 27; 9,2; 5,73; 9,5) Каждый элемент исходной матрицы разделим на сумму того столбца, в котором он стоит, получаем следующую матрицу:

Суммируем элементы в каждой строке и делим на число элементов в этой строке, полученный вектор и будет вектором приоритетов, сумма компонентов которого должна равняться единице:

То же самое проделываем для остальных матриц То же самое проделываем для остальных матриц

Определим согласованность приоритетов для нашего примера: Определим согласованность приоритетов для нашего примера: Умножаем матрицу относительной важности на вектор приоритетов, затем делим каждую компоненту нового вектора на соответствующую компоненту вектора приоритетов. Полученные значения необходимо просуммировать и разделить на число компонент вектора, получим λmax –собственное значение.

Посчитаем общие оценки школ: Посчитаем общие оценки школ: Для этого составим матрицу (столбцы – это векторы приоритетов каждой школы по критериям): Для того, чтобы получить оценку, необходимо умножить полученную матрицу на вектор приоритетов критериев:

Задание 1. № варианта соответствует номеру в списке. Задание 1. № варианта соответствует номеру в списке. Дано условие и все исходные матрицы. Выполнить: 1) Этап 4. (Расчет вектора приоритетов ) Использовать способ №4. 2) Этап 5. (Отношение согласованности) Рассчитать для всех матриц. 3) Этап 6. (Корректировка суждений). Несогласованные матрицы пересогласовать. 4) Этап 7. (Синтез). Рассчитать общие оценки альтернатив. Указать наилучшую.

МНОГОУРОВНЕВЫЕ ИЕРАРХИИ

Определяются векторы приоритетов альтернатив относительно элементов Eij предпоследнего уровня иерархии (в данном случае i = 3). Определяются векторы приоритетов альтернатив относительно элементов Eij предпоследнего уровня иерархии (в данном случае i = 3). Здесь через Eij обозначены элементы иерархии, причем верхний индекс i указывает уровень иерархии, а нижний индекс j — порядковый номер элемента на уровне. Вычисление множества векторов приоритетов альтернатив WAS относительно уровня иерархии S (в данном случае, S = 3) осуществляется по исходным данным, зафиксированным в матрицах попарных сравнений. В результате определяется множество векторов:

Аналогичным образом обрабатываются матрицы попарных сравнений собственно элементов Eij. Аналогичным образом обрабатываются матрицы попарных сравнений собственно элементов Eij. Данные матрицы построены таким образом, чтобы определить предпочтительность элементов определенного иерархического уровня относительно элементов вышележащего уровня, с которыми они непосредственно связаны. Например, для вычисления векторов приоритетов элементов третьего иерархического уровня обрабатываются следующие три матрицы попарных сравнений:

В матрицах через vj обозначен вес, или интенсивность, Еj-го элемента. В случае использования экспертных оценок, в в матрицах проставляются значения от 1 до 9 и их обратные величины. В результате обработки матриц попарных сравнений определяется множество векторов приоритетов элементов:   Полученные значения векторов используются впоследствии при определении векторов приоритетов альтернатив относительно всех элементов иерархии.

Осуществляется собственно иерархический синтез, заключающийся в последовательном определении векторов приоритетов альтернатив относительно элементов Еij находящихся на всех иерархических уровнях, кроме предпоследнего, содержащего элементы ЕSj (в нашем случае Еj3). Осуществляется собственно иерархический синтез, заключающийся в последовательном определении векторов приоритетов альтернатив относительно элементов Еij находящихся на всех иерархических уровнях, кроме предпоследнего, содержащего элементы ЕSj (в нашем случае Еj3). Вычисление векторов приоритетов проводится в направлении от нижних уровней к верхним с учетом конкретных связей между элементами, принадлежащими различным уровням. Вычисление проводится путем перемножения соответствующих векторов и матриц.

Вычисление векторов приоритетов альтернатив относительно элементов третьего (E3j), второго (Е2j) и первого (Е1j) уровней иерархии с учетом конкретных связей между элементами иерархии. Вычисление векторов приоритетов альтернатив относительно элементов третьего (E3j), второго (Е2j) и первого (Е1j) уровней иерархии с учетом конкретных связей между элементами иерархии. Определение векторов приоритетов альтернатив для элементов второго уровня осуществляется следующим образом: Результирующий вектор приоритетов альтернатив относительно корневой вершины иерархии Е11 вычисляется следующим образом:

После решения задачи иерархического синтеза оценивается однородность всей иерархии с помощью суммирования показателей согласованности всех уровней, приведенных путем "взвешивания" к первому иерархическому уровню, где находится корневая вершина. Число шагов алгоритма по вычислению согласованности определяется конкретной иерархией. После решения задачи иерархического синтеза оценивается однородность всей иерархии с помощью суммирования показателей согласованности всех уровней, приведенных путем "взвешивания" к первому иерархическому уровню, где находится корневая вершина. Число шагов алгоритма по вычислению согласованности определяется конкретной иерархией. При двух и более уровнях разбиения на кластеры помимо согласованности каждой матрицы парных сравнений целесообразно проверить отношение согласованности иерархии (ОСИ) по формуле:

Для случайных обратно симметричных матриц аналогичным образом подсчитанное значение Для случайных обратно симметричных матриц аналогичным образом подсчитанное значение ~ где СС – вектор, элементы которого равны случайным индексам матриц соответствующей размерности. Отношение согласованности иерархии равно М/~M. Если полученное значение не превышает 0.10, иерархия считается согласованной.

1) Выбрать тему 1) Выбрать тему 2) Кратко охарактеризовать ЛПР. Сформулировать постановку задачи выбора (цель) 3) Определить альтернативы (4 - 5 шт.) 4) Определить иерархию критериев (3 - 4 группы, всего не менее 12 критериев) 5) Провести парные сравнения критериев внутри каждой группы и групп между собой. Произвести проверку согласованности матриц и при необходимости их корректировку. Произвести расчет весов (степени важности) всех критериев относительно цели. Рассчитать согласованность всей иерархии. 6) Отметить количественные критерии и подобрать по ним численные данные, систематизировать их в таблицах. Рассчитать оценки каждой альтернативы по этим критериям. 7) По качественным критериям заполнить матрицы парных сравнений. Произвести проверку согласованности матриц и при необходимости их корректировку. Рассчитать оценки каждой альтернативы по каждому из этих критериев. 8) Провести иерархический синтез – рассчитать оценку каждой альтернативы относительно главной цели. Обосновать выбор конкретной альтернативы.

Шаг 2. ЛПР: покупатель – мужчина 40 лет, с доходом порядка 200 тыс. руб. в месяц, имеет довольно престижную работу, семью из 4 человек, собаку, дачу, выбирает кроссовер или внедорожник класса Люкс. Шаг 2. ЛПР: покупатель – мужчина 40 лет, с доходом порядка 200 тыс. руб. в месяц, имеет довольно престижную работу, семью из 4 человек, собаку, дачу, выбирает кроссовер или внедорожник класса Люкс.

Шаг 3. Выбор критериев Шаг 3. Выбор критериев Критерии: Экономический (Э) стоимость покупки (СП) стоимость содержания (страховка, ТО и бензин) (СС) акции, скидки, льготные кредиты (А) Имиджевый (И) комфортность салона (К) внешний вид (В) престиж марки(М)

Технический (Т) Технический (Т) надежность (Н) проходимость (П) размер багажника (РБ) безопасность (Б) скоростные качества (СК) оснащенность (О) Шаг 4. Выбор альтернатив: А – Volvo XC90, В- LandRover Discovery 4, С - Infiniti QX4, D - Chevrolet Tahoe