Математические модели числа - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Математические модели числа. Доклад-сообщение содержит 81 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Математические модели числа

Слайд 2

Описание слайда:

Множество N0 Из истории Аксиоматический подход построения теории натуральных чисел Теоретико-множественный подход теории натуральных чисел Натуральное число как результат измерения величин

Слайд 3

Описание слайда:

Из истории Понятие «число» является одним из основных понятий в математике. Числа возникли из жизненной потребности человека и претерпели длительный путь исторического развития.

Слайд 4

Описание слайда:

1 этап 1 этап Люди не умели считать, но была необходимость сравнить конечные одновременно обозримые множества. Например: членов семьи и кусков еды; группы охотников и орудий для охоты, и др. Чтобы сравнить конечные множества, устанавливали взаимно однозначное соответствие между данными множествами. Например: о численности группы из двух предметов говорили: «Столько же, сколько рук у человека», о множестве из пяти предметов - «столько же, сколько пальцев на руке». Численность предметов воспринималась без их пересчета.

Слайд 5

Описание слайда:

Люди не умели измерять, но была необходимость сравнить между собой различные объекты. Люди не умели измерять, но была необходимость сравнить между собой различные объекты. Например: шкуры животных, емкости, и др. Чтобы сравнить различные объекты, устанавливали соответствие между объектами. Например: шкуры накладывали одна на другую; Зерно пересыпали из одной емкости в другую. Мера объектов воспринималась без их измерения.

Слайд 6

Описание слайда:

2 этап 2 этап Для сравнения множеств стали применять множества-посредники: мелкие камешки, раковины, пальцы. Множества-посредники есть зачатки понятия натурального числа, хотя еще число не отделяется от сосчитываемых предметов. Например: речь шла о пяти камешках, пяти пальцах, а не о числе «пять» вообще. Названия множеств-посредников стали использовать для определения численности множеств, которые с ними сравнивались. Например: Численность множества, состоящего из пяти элементов, обозначалась словом «рука», а численность множества из 20 предметов - словами «весь человек».

Слайд 7

Описание слайда:

Для сравнения объектов стали применять мерки-посредники: длина ладони, стопы, носа, палочки разной длины, площадь ладони, шкурки животного и др. Для сравнения объектов стали применять мерки-посредники: длина ладони, стопы, носа, палочки разной длины, площадь ладони, шкурки животного и др. Мерки-посредники также есть зачатки понятия натурального числа, хотя еще число не отделяется от измеряемых объектов. Названия мерок-посредников стали использовать для определения меры объектов, которые с ними сравнивались. Например: шаг – средняя длина человеческого шага; пядь – расстояние между концами расставленных пальцев.

Слайд 8

Описание слайда:

3 этап 3 этап Научившись оперировать множествами-посредниками, мерками-посредниками человек установил то общее, что существует, например, между пятью пальцами и пятью яблоками, пятью пядями. Произошло отвлечение от природы элементов множеств-посредников или мерок-посредников, возникло представление о натуральном числе. При счете или измерении проговаривались слова «один», «два» и т.д., а не перечислялись «одно яблоко», «два яблока». Историки считают, что произошло это в каменном веке, в эпоху первобытнообщинного строя, примерно в 10-5 тысячелетии до н.э. Этот этап связан с называнием числа.

Слайд 9

Описание слайда:

4 этап 4 этап Постепенно люди научились не только называть числа, но и обозначать их, а также выполнять над ними действия. Натуральный ряд чисел возник не сразу, история его формирования длительная. Запас чисел, которые употребляли, ведя счет, увеличивался постепенно. Постепенно сложилось и представление о бесконечности множества натуральных чисел. Например: В работе «Псаммит» - исчисление песчинок - древнегреческий математик Архимед (III в. до н. э,) показал, что ряд чисел может быть продолжен бесконечно, и описал способ образования и словесного обозначения сколь угодно больших чисел.

Слайд 10

Описание слайда:

5 этап 5 этап Чтобы вести счет или производить измерения, нужна последовательность числительных, которая: начинается с единицы позволяет осуществлять переход от одного числительного к другому, при чем, столько раз, сколько это необходимо. Следовательно: Необходимо обосновать систему натуральных чисел как некую теорию, в которой в первую очередь следует ответить на вопрос, что же представляет собой число как элемент натурального ряда.

Слайд 11

Описание слайда:

С возникновением понятия натурального числа появилась возможность изучать эти числа независимо от тех конкретных задач, в связи с которыми они возникли. С возникновением понятия натурального числа появилась возможность изучать эти числа независимо от тех конкретных задач, в связи с которыми они возникли. Теоретическая наука, которая стала изучать числа и действия над ними, получила название «арифметика». Арифметика возникла в странах Древнего Востока: Вавилоне, Китае, Индии и Египте. Накопленные в этих странах математические знания были развиты и продолжены учеными Древней Греции. В средние века большой вклад в развитие арифметики внесли математики Индии, стран арабского мира и Средней Азии, а начиная с XIII века - европейские ученые.

Слайд 12

Описание слайда:

Термин «натуральное число» впервые употребил в У в. римский ученый А. Боэций. Термин «натуральное число» впервые употребил в У в. римский ученый А. Боэций. Во второй половине XIX века натуральные числа оказались фундаментом всей математической науки. Появилась необходимость в строгом логическом обосновании понятия натурального числа, в систематизации того, что с ним связано. Была разработана аксиоматическая теория натурального числа.

Слайд 13

Описание слайда:

Модель происхождения числа

Слайд 14

Описание слайда:

Аксиоматический подход Аксиоматическое построение теории натуральных чисел предложили математики - немец Грассман и итальянец Пеано Они предложили теорию, в которой натуральное число обосновывалось как элемент неограниченно продолжающейся последовательности.

Слайд 15

Описание слайда:

Об аксиоматическом способе построения теории При аксиоматическом построении какой-либо математической теории соблюдаются определенные правила: некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения; каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, дается определение, в нем разъясняется его смысл с помощью основных и предшествующих данному понятий; формулируются аксиомы - предложения, которые в данной теории принимаются без доказательства; в них раскрываются свойства основных понятий; каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом, должно быть доказано; такие предложения называют теоремами и доказывают их на основе аксиом и теорем, предшествующих рассматриваемой.

Слайд 16

Описание слайда:

Основные понятия и аксиомы при определении натурального числа Дано непустое множество N. Пусть на этом множестве основным понятием взято отношение «непосредственно следовать за». Символическое обозначение: а' - элемент, непосредственно следующий за элементом а Читается: «а-штрих» Известными также считаются: понятие множества, элемента множества и другие теоретико-множественные понятия, правила логики.

Слайд 17

Описание слайда:

Аксиомы Пеано Суть отношения «непосредственно следовать за» раскрывается в следующих аксиомах. Аксиома 1. В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем называть его единицей и обозначать символом 1. Аксиома 2. Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а', непосредственно следующий за а. Аксиома 3. Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а. Аксиома 4. (аксиома индукции) Всякое подмножество М множества N, обладающее свойствами: 1) 1  М; 2) из того, что а содержится в М, следует, что и а' содержится в M, совпадает с множеством N.

Слайд 18

Описание слайда:

Определение. Определение. Множество N, для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, называется множеством натуральных чисел, а его элементы - натуральными числами. Природа элементов множества N может быть какой угодно.

Слайд 19

Описание слайда:

Любое конкретное множество, на котором задано отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, является моделью данной системы аксиом. Любое конкретное множество, на котором задано отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, является моделью данной системы аксиом. В математике доказано: между всеми такими моделями можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее отношение «непосредственно следовать за», все такие модели будут отличаться только природой элементов, их названием и обозначением. Стандартной моделью системы аксиом Пеано является возникший в процессе исторического развития общества ряд чисел: 1, 2, 3, 4, ... Каждое число этого ряда имеет: свое обозначение; свое название; они считаются известными.

Слайд 20

Описание слайда:

Натуральный ряд чисел - одна из моделей аксиом 1-4. Натуральный ряд чисел - одна из моделей аксиом 1-4. Аксиомы описывают процесс образования этого ряда. Покажем как это происходит при раскрытии в аксиомах свойств отношения «непосредственно следовать за»: натуральный ряд начинается с числа 1 (аксиома 1); за каждым натуральным числом непосредственно следует единственное натуральное число (аксиома 2); каждое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом (аксиома 3); начиная от числа 1 и переходя по порядку к непосредственно следующим друг за другом натуральным числам, получаем все множество этих чисел (аксиома 4).

Слайд 21

Описание слайда:

Аксиоматическое построение теории натуральных чисел не рассматривается в ДОУ. Аксиоматическое построение теории натуральных чисел не рассматривается в ДОУ. Но свойства отношения «непосредственно следовать за», сформулированные в аксиомах Пеано, являются предметом изучения в курсе математики. При рассмотрении чисел первого десятка выясняется, как может быть получено каждое число. При этом используются понятия «следует» и «предшествует». Каждое новое число выступает как продолжение изученного отрезка натурального ряда чисел. Дети убеждаются в том, что за каждым числом идет следующее, и притом только одно, что натуральный ряд чисел бесконечен. Знание аксиоматической теории поможет педагогу методически грамотно организовать усвоение детьми особенностей натурального ряда чисел.

Слайд 22

Описание слайда:

Множество целых неотрицательных чисел Присоединим к множеству N натуральных чисел еще один элемент Обозначается 0 Называется нуль Полученное множество называется множеством целых неотрицательных чисел Обозначается N0, N0 = N  {0}. Относительно числа 0 условимся: 0 меньше любого натурального числа N0={0, 1, 2, …} Обладает теми же свойствами, что и множество N.

Слайд 23

Описание слайда:

Выводы Натуральными числами (целыми неотрицательными числами) называются элементы непустого множества N, на котором установлено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам Пеано. Принято: обозначать числа знаками 0, 1, 2, 3, … называть словами нуль, один, два, три, … располагать по порядку

Слайд 24

Описание слайда:

Сложение Сложением во множестве натуральных чисел называется бинарная операция, при которой каждой паре натуральных чисел х и у ставится в соответствие натуральное число z, называемое значением их суммы, и при этом выполняются следующие аксиомы: 1. 2.

Слайд 25

Описание слайда:

Терминология Выражение х+у называется суммой чисел х и у. Числа х и у - слагаемые. Результат выполненной операции – значение суммы.

Слайд 26

Описание слайда:

Теорема о существовании и единственности сложения Сложение натуральных чисел существует и оно единственно

Слайд 27

Описание слайда:

Свойства сложения верны равенства: (коммутативность)

Слайд 28

Описание слайда:

Умножение Умножением во множестве натуральных чисел называется бинарная операция, при которой каждой паре натуральных чисел х и у ставится в соответствие натуральное число z, называемое значением их произведения, и при этом выполняются следующие аксиомы: 1. 2.

Слайд 29

Описание слайда:

Терминология Выражение х х у называется произведением чисел х и у. Числа х и у - множители. Результат выполненной операции – значение произведения.

Слайд 30

Описание слайда:

Теорема о существовании и единственности умножения Если во множестве N существует бинарная операция, удовлетворяющая вышеуказанным аксиомам, то она однозначно определена.

Слайд 31

Описание слайда:

Свойства умножения

Слайд 32

Описание слайда:

Вычитание (операция, обратная сложению) Вычитанием чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: а - b = c, тогда и только тогда, когда b + с = а.

Слайд 33

Описание слайда:

Терминология Выражение называется разностью чисел и . Число - уменьшаемое. Число - вычитаемое. Результат выполненной операции – число - значение разности.

Слайд 34

Описание слайда:

Теорема о существовании разности Разность чисел а и b существует тогда и только тогда, когда а > b.

Слайд 35

Описание слайда:

Свойства разности Для верны равенства:

Слайд 36

Описание слайда:

Следствия Для того, чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного слагаемого суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое. Для того, чтобы вычесть из числа сумму, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим.

Слайд 37

Описание слайда:

Свойства разности, связанные с умножением Для верны равенства:

Слайд 38

Описание слайда:

Деление (операция, обратная умножению) Делением чисел а и b, где b ≠0, называется операция, удовлетворяющая условию: а : b = с, тогда и только тогда, когда .

Слайд 39

Описание слайда:

Терминология Выражение называется частное чисел и . Число - делимое. Число - делитель. Результат выполненной операции – число - значение частного.

Слайд 40

Описание слайда:

Теорема о существовании частного Для того чтобы существовало частное чисел а и b, где b ≠0, необходимо , чтобы .

Слайд 41

Описание слайда:

Свойства деления Деление на нуль невозможно Для любых

Слайд 42

Описание слайда:

Следствия Для того, чтобы сумму разделить на число, достаточно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить. Для того, чтобы разность разделить на число, достаточно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе. Для того, чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на это число один из множителей и полученный результат умножить на второй множитель.

Слайд 43

Описание слайда:

Задания: Сложение Выполните преобразование выражения, применив ассоциативное свойство сложения: Известно, что . Чему равно: ?

Слайд 44

Описание слайда:

Умножение Какие свойства умножения могут быть использованы при нахождении значения выражения: ? Можно ли не вычисляя сказать, значения каких выражений будут одинаковыми: ?

Слайд 45

Описание слайда:

Вычитание Какие свойства вычитания являются теоретической основой вычислительных приемов: Определите значение выражения, не выполняя письменных вычислений. Обоснуйте ответ.

Слайд 46

Описание слайда:

Деление Можно ли утверждать, что все данные равенства верны: Найдите значения выражений рациональным способом. Ответ обоснуйте. Найдите рациональный способ устного вычисления: Какие остатки могут получиться при делении на 4? Какой вид будут иметь числа, при делении которых на 4 в остатке получается 1? 3?

Слайд 47

Описание слайда:

Количественные натуральные числа. Счет Аксиоматика раскрывает порядковый смысл натурального числа. Выясним количественный смысл натурального числа и связь между двумя смыслами натурального числа Определение. Отрезком Nа натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а. Символическая запись Na = {х | х  N и х < а}. Например, Отрезок N7 - это множество натуральных чисел, не превосходящих числа 7, т.е. N7 = {1, 2, 3,4, 5, 6, 7}.

Слайд 48

Описание слайда:

Определение. Определение. Установление взаимно однозначного соответствия между элементами непустого конечного множества А и отрезком натурального ряда называется счетом элементов множества А. Так как всякое непустое конечное множество равномощно только одному отрезку натурального ряда, то число элементов, т.е. результат счета не зависит от того, в каком порядке будут пересчитываться элементы множества.

Слайд 49

Описание слайда:

Можно какому-либо элементу множества А поставить в соответствие число 1 и больше этот элемент не рассматривать. Можно какому-либо элементу множества А поставить в соответствие число 1 и больше этот элемент не рассматривать. Затем какому-либо из оставшихся элементов сопоставить число 2 и больше его не рассматривать. Продолжая это построение, последнему оставшемуся элементу мы поставим в соответствие число а. В процессе счета мы не только найдем число элементов множества А, но и упорядочим его: элемент, которому соответствует число 1, - первый; элемент, которому сопоставлено число 2, - второй, и т.д. Таким образом, всякое натуральное число а можно рассматривать как характеристику численности некоторого конечного множества А. Натуральное число а имеет при этом количественный смысл.

Слайд 50

Описание слайда:

Теоретико-множественный подход теории натуральных чисел Данный подход был обоснован в 19 в. Георгом Кантором. В основе подхода – понятия конечного множества и взаимно-однозначного соответствия Определение: Два конечных множества А и В называются равночисленными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие Отношение равночисленности обладает свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности Это отношение эквивалентности. Символически А~В

Слайд 51

Описание слайда:

Отношение равносильности конечных множеств разбивает множество множеств на классы эквивалентности Отношение равносильности конечных множеств разбивает множество множеств на классы эквивалентности В одном классе будут содержаться все одноэлементные множества, в другом - двухэлементные и т.д. Множества одного класса различны по своей природе, но все они содержат одинаковое число элементов. Общим свойством класса является одинаковое число элементов. Определение: натуральное число - это общее свойство класса конечных равномощных множеств Каждый класс равночисленных множеств определяется любым своим представителем Число, определенное множеством М обозначают n(M) и называют мощностью множества М. Символически: n(M)=a

Слайд 52

Описание слайда:

Натуральное число получается при пересчете элементов множества Натуральное число получается при пересчете элементов множества Например, о натуральном числе «три» можно сказать, что это общее свойство класса множеств, равномощных, например, множеству сторон треугольника Число «нуль» с теоретико-множественных позиций рассматривается как число элементов пустого множества: 0 = n(). Добавляя к любому конечному множеству один элемент, не содержащийся в нем, получаем новое множество, неэквивалентное данному. Продолжив последовательно данный процесс получим последовательность неэквивалентных множеств и определенный ею ряд натуральных чисел, изображенный символами: 1, 2, 3, …, n, …

Слайд 53

Описание слайда:

Свойства множества N На множестве N задано отношение «меньше» Если а < b, то отрезок натурального ряда Na является подмножеством отрезка Nb, т.е. NaNb и NaNb. Справедливо обратное утверждение: если NaNb, то а < b. Имеем теоретико-множественное истолкование отношения «меньше»: а < b в том и только в том случае, когда отрезок натурального ряда Na является подмножеством отрезка Nb а < b  NaNb и NaNb

Слайд 54

Описание слайда:

Теоретико-множественная трактовка отношения «меньше» позволяет сравнивать числа, опираясь на знание их места в натуральном ряду. На дошкольном языке: Число а меньше числа b тогда и только тогда, когда при счете число а называют раньше числа b. 3 - число квадратов 7 - число кружков 3 < 7, т.к. во втором множестве можно выделить подмножество, равномощное множеству квадратов. Этот способ установления отношения между числами 3 и 7 вытекает из теоретико-множественной трактовки отношения «меньше»

Слайд 55

Описание слайда:

Действия в теоретико-множественном подходе Пусть даны конечные множества:

Слайд 56

Описание слайда:

Сложение Значением суммы чисел называется число , являющееся численностью объединения множеств

Слайд 57

Описание слайда:

Теорема о существовании и единственности суммы Каковы бы ни были всегда существует с, такое что

Слайд 58

Описание слайда:

Свойства сложения Коммутативность Ассоциативность Монотонность

Слайд 59

Описание слайда:

Коммутативность Доказательство: Пусть

Слайд 60

Описание слайда:

Слайд 61

Описание слайда:

Слайд 62

Описание слайда:

Слайд 63

Описание слайда:

Слайд 64

Описание слайда:

Следствия из определений разности и взаимосвязи действий вычитания и сложения Чтобы найти неизвестное слагаемое, достаточно из значения суммы вычесть известное слагаемое. Чтобы найти уменьшаемое, достаточно к значению разности прибавить вычитаемое. Чтобы найти вычитаемое, достаточно из уменьшаемого вычесть значение разности.

Слайд 65

Описание слайда:

Слайд 66

Описание слайда:

Слайд 67

Описание слайда:

Слайд 68

Описание слайда:

Пусть Пусть

Слайд 69

Описание слайда:

Слайд 70

Описание слайда:

Слайд 71

Описание слайда:

Слайд 72

Описание слайда:

Натуральное число как результат измерения величины Для выяснения смысла натурального числа как меры величины рассмотрим рассуждения на примере одной величины «длина». Дан отрезок а Говорят, что отрезок а разбит на отрезки а1, а2, …, аn, если он является их объединением и никакие два из них не имеют общей внутренней точки, хотя могут иметь общие концы. Тогда отрезок а называется значением суммы данных отрезков. а=а1+а2+…+аn

Слайд 73

Описание слайда:

Пусть е – единичный отрезок или единица измерения длины или мерка. Пусть е – единичный отрезок или единица измерения длины или мерка. Если отрезок а разбит на n отрезков, каждый из которых равен е, то говорят, что отрезок а кратен отрезку е. Тогда n называется значением длины или мерой отрезка а при единичном отрезке е. Символическая запись me(a)=n Определение: натуральное число как результат измерения величины показывает, из скольких единиц состоит измеряемая величина. При выбранной единице величины Е это число единственное.

Слайд 74

Описание слайда:

Возможность измерять позволяет: Возможность измерять позволяет: свести сравнение величин к сравнению соответствующих им чисел; операции с величинами к соответствующим операциям над числами. Если величины а и b измерены при помощи единицы величины е, то отношения между величинами а и b будут такими же, как и отношения между их численными значениями и наоборот. а = b  тe(а) = те(b), а>b  те(а)>те(b) а