🗊Презентация Математические модели числа

Математические модели числа

Множество N0 Из истории Аксиоматический подход построения теории натуральных чисел Теоретико-множественный подход теории натуральных чисел Натуральное число как результат измерения величин

Из истории Понятие «число» является одним из основных понятий в математике. Числа возникли из жизненной потребности человека и претерпели длительный путь исторического развития.

1 этап 1 этап Люди не умели считать, но была необходимость сравнить конечные одновременно обозримые множества. Например: членов семьи и кусков еды; группы охотников и орудий для охоты, и др. Чтобы сравнить конечные множества, устанавливали взаимно однозначное соответствие между данными множествами. Например: о численности группы из двух предметов говорили: «Столько же, сколько рук у человека», о множестве из пяти предметов - «столько же, сколько пальцев на руке». Численность предметов воспринималась без их пересчета.

Люди не умели измерять, но была необходимость сравнить между собой различные объекты. Люди не умели измерять, но была необходимость сравнить между собой различные объекты. Например: шкуры животных, емкости, и др. Чтобы сравнить различные объекты, устанавливали соответствие между объектами. Например: шкуры накладывали одна на другую; Зерно пересыпали из одной емкости в другую. Мера объектов воспринималась без их измерения.

2 этап 2 этап Для сравнения множеств стали применять множества-посредники: мелкие камешки, раковины, пальцы. Множества-посредники есть зачатки понятия натурального числа, хотя еще число не отделяется от сосчитываемых предметов. Например: речь шла о пяти камешках, пяти пальцах, а не о числе «пять» вообще. Названия множеств-посредников стали использовать для определения численности множеств, которые с ними сравнивались. Например: Численность множества, состоящего из пяти элементов, обозначалась словом «рука», а численность множества из 20 предметов - словами «весь человек».

Для сравнения объектов стали применять мерки-посредники: длина ладони, стопы, носа, палочки разной длины, площадь ладони, шкурки животного и др. Для сравнения объектов стали применять мерки-посредники: длина ладони, стопы, носа, палочки разной длины, площадь ладони, шкурки животного и др. Мерки-посредники также есть зачатки понятия натурального числа, хотя еще число не отделяется от измеряемых объектов. Названия мерок-посредников стали использовать для определения меры объектов, которые с ними сравнивались. Например: шаг – средняя длина человеческого шага; пядь – расстояние между концами расставленных пальцев.

3 этап 3 этап Научившись оперировать множествами-посредниками, мерками-посредниками человек установил то общее, что существует, например, между пятью пальцами и пятью яблоками, пятью пядями. Произошло отвлечение от природы элементов множеств-посредников или мерок-посредников, возникло представление о натуральном числе. При счете или измерении проговаривались слова «один», «два» и т.д., а не перечислялись «одно яблоко», «два яблока». Историки считают, что произошло это в каменном веке, в эпоху первобытнообщинного строя, примерно в 10-5 тысячелетии до н.э. Этот этап связан с называнием числа.

4 этап 4 этап Постепенно люди научились не только называть числа, но и обозначать их, а также выполнять над ними действия. Натуральный ряд чисел возник не сразу, история его формирования длительная. Запас чисел, которые употребляли, ведя счет, увеличивался постепенно. Постепенно сложилось и представление о бесконечности множества натуральных чисел. Например: В работе «Псаммит» - исчисление песчинок - древнегреческий математик Архимед (III в. до н. э,) показал, что ряд чисел может быть продолжен бесконечно, и описал способ образования и словесного обозначения сколь угодно больших чисел.

5 этап 5 этап Чтобы вести счет или производить измерения, нужна последовательность числительных, которая: начинается с единицы позволяет осуществлять переход от одного числительного к другому, при чем, столько раз, сколько это необходимо. Следовательно: Необходимо обосновать систему натуральных чисел как некую теорию, в которой в первую очередь следует ответить на вопрос, что же представляет собой число как элемент натурального ряда.

С возникновением понятия натурального числа появилась возможность изучать эти числа независимо от тех конкретных задач, в связи с которыми они возникли. С возникновением понятия натурального числа появилась возможность изучать эти числа независимо от тех конкретных задач, в связи с которыми они возникли. Теоретическая наука, которая стала изучать числа и действия над ними, получила название «арифметика». Арифметика возникла в странах Древнего Востока: Вавилоне, Китае, Индии и Египте. Накопленные в этих странах математические знания были развиты и продолжены учеными Древней Греции. В средние века большой вклад в развитие арифметики внесли математики Индии, стран арабского мира и Средней Азии, а начиная с XIII века - европейские ученые.

Термин «натуральное число» впервые употребил в У в. римский ученый А. Боэций. Термин «натуральное число» впервые употребил в У в. римский ученый А. Боэций. Во второй половине XIX века натуральные числа оказались фундаментом всей математической науки. Появилась необходимость в строгом логическом обосновании понятия натурального числа, в систематизации того, что с ним связано. Была разработана аксиоматическая теория натурального числа.

Модель происхождения числа

Аксиоматический подход Аксиоматическое построение теории натуральных чисел предложили математики - немец Грассман и итальянец Пеано Они предложили теорию, в которой натуральное число обосновывалось как элемент неограниченно продолжающейся последовательности.

Об аксиоматическом способе построения теории При аксиоматическом построении какой-либо математической теории соблюдаются определенные правила: некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения; каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, дается определение, в нем разъясняется его смысл с помощью основных и предшествующих данному понятий; формулируются аксиомы - предложения, которые в данной теории принимаются без доказательства; в них раскрываются свойства основных понятий; каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом, должно быть доказано; такие предложения называют теоремами и доказывают их на основе аксиом и теорем, предшествующих рассматриваемой.

Основные понятия и аксиомы при определении натурального числа Дано непустое множество N. Пусть на этом множестве основным понятием взято отношение «непосредственно следовать за». Символическое обозначение: а' - элемент, непосредственно следующий за элементом а Читается: «а-штрих» Известными также считаются: понятие множества, элемента множества и другие теоретико-множественные понятия, правила логики.

Аксиомы Пеано Суть отношения «непосредственно следовать за» раскрывается в следующих аксиомах. Аксиома 1. В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем называть его единицей и обозначать символом 1. Аксиома 2. Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а', непосредственно следующий за а. Аксиома 3. Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а. Аксиома 4. (аксиома индукции) Всякое подмножество М множества N, обладающее свойствами: 1) 1  М; 2) из того, что а содержится в М, следует, что и а' содержится в M, совпадает с множеством N.

Определение. Определение. Множество N, для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, называется множеством натуральных чисел, а его элементы - натуральными числами. Природа элементов множества N может быть какой угодно.

Любое конкретное множество, на котором задано отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, является моделью данной системы аксиом. Любое конкретное множество, на котором задано отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, является моделью данной системы аксиом. В математике доказано: между всеми такими моделями можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее отношение «непосредственно следовать за», все такие модели будут отличаться только природой элементов, их названием и обозначением. Стандартной моделью системы аксиом Пеано является возникший в процессе исторического развития общества ряд чисел: 1, 2, 3, 4, ... Каждое число этого ряда имеет: свое обозначение; свое название; они считаются известными.

Натуральный ряд чисел - одна из моделей аксиом 1-4. Натуральный ряд чисел - одна из моделей аксиом 1-4. Аксиомы описывают процесс образования этого ряда. Покажем как это происходит при раскрытии в аксиомах свойств отношения «непосредственно следовать за»: натуральный ряд начинается с числа 1 (аксиома 1); за каждым натуральным числом непосредственно следует единственное натуральное число (аксиома 2); каждое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом (аксиома 3); начиная от числа 1 и переходя по порядку к непосредственно следующим друг за другом натуральным числам, получаем все множество этих чисел (аксиома 4).

Аксиоматическое построение теории натуральных чисел не рассматривается в ДОУ. Аксиоматическое построение теории натуральных чисел не рассматривается в ДОУ. Но свойства отношения «непосредственно следовать за», сформулированные в аксиомах Пеано, являются предметом изучения в курсе математики. При рассмотрении чисел первого десятка выясняется, как может быть получено каждое число. При этом используются понятия «следует» и «предшествует». Каждое новое число выступает как продолжение изученного отрезка натурального ряда чисел. Дети убеждаются в том, что за каждым числом идет следующее, и притом только одно, что натуральный ряд чисел бесконечен. Знание аксиоматической теории поможет педагогу методически грамотно организовать усвоение детьми особенностей натурального ряда чисел.

Множество целых неотрицательных чисел Присоединим к множеству N натуральных чисел еще один элемент Обозначается 0 Называется нуль Полученное множество называется множеством целых неотрицательных чисел Обозначается N0, N0 = N  {0}. Относительно числа 0 условимся: 0 меньше любого натурального числа N0={0, 1, 2, …} Обладает теми же свойствами, что и множество N.

Выводы Натуральными числами (целыми неотрицательными числами) называются элементы непустого множества N, на котором установлено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам Пеано. Принято: обозначать числа знаками 0, 1, 2, 3, … называть словами нуль, один, два, три, … располагать по порядку

Сложение Сложением во множестве натуральных чисел называется бинарная операция, при которой каждой паре натуральных чисел х и у ставится в соответствие натуральное число z, называемое значением их суммы, и при этом выполняются следующие аксиомы: 1. 2.

Терминология Выражение х+у называется суммой чисел х и у. Числа х и у - слагаемые. Результат выполненной операции – значение суммы.

Теорема о существовании и единственности сложения Сложение натуральных чисел существует и оно единственно

Свойства сложения верны равенства: (коммутативность)

Умножение Умножением во множестве натуральных чисел называется бинарная операция, при которой каждой паре натуральных чисел х и у ставится в соответствие натуральное число z, называемое значением их произведения, и при этом выполняются следующие аксиомы: 1. 2.

Терминология Выражение х х у называется произведением чисел х и у. Числа х и у - множители. Результат выполненной операции – значение произведения.

Теорема о существовании и единственности умножения Если во множестве N существует бинарная операция, удовлетворяющая вышеуказанным аксиомам, то она однозначно определена.

Свойства умножения

Вычитание (операция, обратная сложению) Вычитанием чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: а - b = c, тогда и только тогда, когда b + с = а.

Терминология Выражение называется разностью чисел и . Число - уменьшаемое. Число - вычитаемое. Результат выполненной операции – число - значение разности.

Теорема о существовании разности Разность чисел а и b существует тогда и только тогда, когда а > b.

Свойства разности Для верны равенства:

Следствия Для того, чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного слагаемого суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое. Для того, чтобы вычесть из числа сумму, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим.

Свойства разности, связанные с умножением Для верны равенства:

Деление (операция, обратная умножению) Делением чисел а и b, где b ≠0, называется операция, удовлетворяющая условию: а : b = с, тогда и только тогда, когда .

Терминология Выражение называется частное чисел и . Число - делимое. Число - делитель. Результат выполненной операции – число - значение частного.

Теорема о существовании частного Для того чтобы существовало частное чисел а и b, где b ≠0, необходимо , чтобы .

Свойства деления Деление на нуль невозможно Для любых

Следствия Для того, чтобы сумму разделить на число, достаточно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить. Для того, чтобы разность разделить на число, достаточно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе. Для того, чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на это число один из множителей и полученный результат умножить на второй множитель.

Задания: Сложение Выполните преобразование выражения, применив ассоциативное свойство сложения: Известно, что . Чему равно: ?

Умножение Какие свойства умножения могут быть использованы при нахождении значения выражения: ? Можно ли не вычисляя сказать, значения каких выражений будут одинаковыми: ?

Вычитание Какие свойства вычитания являются теоретической основой вычислительных приемов: Определите значение выражения, не выполняя письменных вычислений. Обоснуйте ответ.

Деление Можно ли утверждать, что все данные равенства верны: Найдите значения выражений рациональным способом. Ответ обоснуйте. Найдите рациональный способ устного вычисления: Какие остатки могут получиться при делении на 4? Какой вид будут иметь числа, при делении которых на 4 в остатке получается 1? 3?

Количественные натуральные числа. Счет Аксиоматика раскрывает порядковый смысл натурального числа. Выясним количественный смысл натурального числа и связь между двумя смыслами натурального числа Определение. Отрезком Nа натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а. Символическая запись Na = {х | х  N и х < а}. Например, Отрезок N7 - это множество натуральных чисел, не превосходящих числа 7, т.е. N7 = {1, 2, 3,4, 5, 6, 7}.

Определение. Определение. Установление взаимно однозначного соответствия между элементами непустого конечного множества А и отрезком натурального ряда называется счетом элементов множества А. Так как всякое непустое конечное множество равномощно только одному отрезку натурального ряда, то число элементов, т.е. результат счета не зависит от того, в каком порядке будут пересчитываться элементы множества.

Можно какому-либо элементу множества А поставить в соответствие число 1 и больше этот элемент не рассматривать. Можно какому-либо элементу множества А поставить в соответствие число 1 и больше этот элемент не рассматривать. Затем какому-либо из оставшихся элементов сопоставить число 2 и больше его не рассматривать. Продолжая это построение, последнему оставшемуся элементу мы поставим в соответствие число а. В процессе счета мы не только найдем число элементов множества А, но и упорядочим его: элемент, которому соответствует число 1, - первый; элемент, которому сопоставлено число 2, - второй, и т.д. Таким образом, всякое натуральное число а можно рассматривать как характеристику численности некоторого конечного множества А. Натуральное число а имеет при этом количественный смысл.

Теоретико-множественный подход теории натуральных чисел Данный подход был обоснован в 19 в. Георгом Кантором. В основе подхода – понятия конечного множества и взаимно-однозначного соответствия Определение: Два конечных множества А и В называются равночисленными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие Отношение равночисленности обладает свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности Это отношение эквивалентности. Символически А~В

Отношение равносильности конечных множеств разбивает множество множеств на классы эквивалентности Отношение равносильности конечных множеств разбивает множество множеств на классы эквивалентности В одном классе будут содержаться все одноэлементные множества, в другом - двухэлементные и т.д. Множества одного класса различны по своей природе, но все они содержат одинаковое число элементов. Общим свойством класса является одинаковое число элементов. Определение: натуральное число - это общее свойство класса конечных равномощных множеств Каждый класс равночисленных множеств определяется любым своим представителем Число, определенное множеством М обозначают n(M) и называют мощностью множества М. Символически: n(M)=a

Натуральное число получается при пересчете элементов множества Натуральное число получается при пересчете элементов множества Например, о натуральном числе «три» можно сказать, что это общее свойство класса множеств, равномощных, например, множеству сторон треугольника Число «нуль» с теоретико-множественных позиций рассматривается как число элементов пустого множества: 0 = n(). Добавляя к любому конечному множеству один элемент, не содержащийся в нем, получаем новое множество, неэквивалентное данному. Продолжив последовательно данный процесс получим последовательность неэквивалентных множеств и определенный ею ряд натуральных чисел, изображенный символами: 1, 2, 3, …, n, …

Свойства множества N На множестве N задано отношение «меньше» Если а < b, то отрезок натурального ряда Na является подмножеством отрезка Nb, т.е. NaNb и NaNb. Справедливо обратное утверждение: если NaNb, то а < b. Имеем теоретико-множественное истолкование отношения «меньше»: а < b в том и только в том случае, когда отрезок натурального ряда Na является подмножеством отрезка Nb а < b  NaNb и NaNb

Теоретико-множественная трактовка отношения «меньше» позволяет сравнивать числа, опираясь на знание их места в натуральном ряду. На дошкольном языке: Число а меньше числа b тогда и только тогда, когда при счете число а называют раньше числа b. 3 - число квадратов 7 - число кружков 3 < 7, т.к. во втором множестве можно выделить подмножество, равномощное множеству квадратов. Этот способ установления отношения между числами 3 и 7 вытекает из теоретико-множественной трактовки отношения «меньше»

Действия в теоретико-множественном подходе Пусть даны конечные множества:

Сложение Значением суммы чисел называется число , являющееся численностью объединения множеств

Теорема о существовании и единственности суммы Каковы бы ни были всегда существует с, такое что

Свойства сложения Коммутативность Ассоциативность Монотонность

Коммутативность Доказательство: Пусть

Следствия из определений разности и взаимосвязи действий вычитания и сложения Чтобы найти неизвестное слагаемое, достаточно из значения суммы вычесть известное слагаемое. Чтобы найти уменьшаемое, достаточно к значению разности прибавить вычитаемое. Чтобы найти вычитаемое, достаточно из уменьшаемого вычесть значение разности.

Пусть Пусть

Натуральное число как результат измерения величины Для выяснения смысла натурального числа как меры величины рассмотрим рассуждения на примере одной величины «длина». Дан отрезок а Говорят, что отрезок а разбит на отрезки а1, а2, …, аn, если он является их объединением и никакие два из них не имеют общей внутренней точки, хотя могут иметь общие концы. Тогда отрезок а называется значением суммы данных отрезков. а=а1+а2+…+аn

Пусть е – единичный отрезок или единица измерения длины или мерка. Пусть е – единичный отрезок или единица измерения длины или мерка. Если отрезок а разбит на n отрезков, каждый из которых равен е, то говорят, что отрезок а кратен отрезку е. Тогда n называется значением длины или мерой отрезка а при единичном отрезке е. Символическая запись me(a)=n Определение: натуральное число как результат измерения величины показывает, из скольких единиц состоит измеряемая величина. При выбранной единице величины Е это число единственное.

Возможность измерять позволяет: Возможность измерять позволяет: свести сравнение величин к сравнению соответствующих им чисел; операции с величинами к соответствующим операциям над числами. Если величины а и b измерены при помощи единицы величины е, то отношения между величинами а и b будут такими же, как и отношения между их численными значениями и наоборот. а = b  тe(а) = те(b), а>b  те(а)>те(b) а<b  те(а)<те(b).

Свойства множества N Отношение «меньше» a<b  те(а)<те(b) Свойства отношения «меньше» для натуральных чисел имеют истолкование: транзитивность и антисимметричность этого отношения вытекают из транзитивности и антисимметричности отношения «быть частью величины».