🗊Презентация Математические модели и их классификации (Лекция № 2)

Основы математического моделирования С.В. Звонарев

Цель лекции Определить понятие математической модели. Изучить обобщенную математическую модель. Рассмотреть классификацию математических моделей.

Содержание лекции Математическая модель. Обобщенная математическая модель. Нелинейность математических моделей. Степень соответствия математической модели объекту. Классификация математических моделей.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Математическая модель Математической моделью называется совокупность уравнений или других математических соотношений, отражающих основные свойства изучаемого объекта или явления в рамках принятой умозрительной физической модели и особенности его взаимодействия с окружающей средой. Основными свойствами математических моделей являются: адекватность; простота. Процесс формулировки математической модели называется постановкой задачи. Математическая модель является математическим аналогом проектируемого объекта. Степень адекватности ее объекту определяется постановкой и корректностью решений задачи проектирования.

Математическое моделирование Математическая модель технического объекта – совокупность математических уравнений и отношений между ними, которая адекватно отражает свойства исследуемого объекта, интересующие исследователя (инженера). Математическое моделирование – это идеальное научное знаковое формальное моделирование, при котором описание объекта осуществляется на языке математики, а исследование модели проводится с использованием тех или иных математических методов. Методы отыскания экстремума функции многих переменных с различными ограничениями часто называются методами математического программирования.

Обобщенная математическая модель Элементы обобщенной математической модели: множество входных данных (переменные) X,Y; математический оператор L; множество выходных данных (переменных) G(X,Y).

Входные данные X – множество варьируемых переменных, которое образует пространство варьируемых параметров Rx (пространство поиска), являющееся метрическим с размерностью n, равной числу варьируемых параметров. Y – множество независимых переменных (константы), которое образует метрическое пространство входных данных Ry. В том случае, когда каждый компонент пространства Ry задается диапазоном возможных значений, множество независимых переменных отображается некоторым ограниченным подпространством пространства Ry.

Независимые переменные Y Они определяют среду функционирования объекта, т.е. внешние условия, в которых будет работать проектируемый объект. К ним могут относиться: технические параметры объекта, не подлежащие изменению в процессе проектирования; физические возмущения среды, с которой взаимодействует объект проектирования; тактические параметры, которые должен достигать объект проектирования.

Математические оператор и выходные данные Математический оператор L – полная система математических операций, описывающих численные или логические соотношения между множествами входных и выходных данных (переменные). Он определяющий операции над входными данными. Множество выходных данных (переменных) G(X,Y) представляет собой совокупность критериальных функций, включающую (при необходимости) целевую функцию. Выходные данные рассматриваемой обобщенной модели образуют метрическое пространство критериальных показателей RG.

Нелинейность математических моделей Нелинейность математических моделей ‒ нарушение принципа суперпозиции, т.е. когда любая линейная комбинация решений не является решением задачи. Таким образом знание о поведении части объекта еще не гарантирует знания поведения всего объекта. Большинство реальных процессов и соответствующих им математических моделей не линейны. Линейные же модели отвечают весьма частным случаям и, как правило, служат лишь первым приближением к реальности. Пример – популяционные модели сразу становятся нелинейными, если принять во внимание ограниченность доступных популяции ресурсов.

Степень соответствия математических моделей объекту Сложности: Математическая модель никогда не бывает тождественна рассматриваемому объекту и не передает всех его свойств и особенностей. Математическая модель является приближенным описанием объекта и носит всегда приближенный характер. Точность соответствия определяется степенью соответствия, адекватности модели и объекта. Способы: Использование эксперимента (практики) для сравнения моделей и выбора из них наиболее подходящей. Унификация математических моделей за счет накопления наборов готовых моделей. Перенос готовых моделей из одних процессов на другие, идентичные, аналогичные . Использование минимального количества приближений и учет возмущающих воздействий.

КЛАССИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Классы математических моделей Математические модели подразделяют на классы в зависимости от: сложности объекта моделирования; оператора модели; входных и выходных параметров; цели моделирования; способа исследования модели; объектов исследования; принадлежности модели к иерархическому уровню описания объекта; характера отображаемых свойств; порядка расчета; использования управления процессом.

Классификация по сложности объекта В простых моделях при моделировании не рассматривается внутреннее строение объекта, не выделяются составляющие его элементы или подпроцессы. Объект система соответственно более сложная система, представляющая собой совокупность взаимосвязанных элементов, обособленная от окружающей среды и взаимодействующая с ней как целое.

Классификация по оператору модели Математическую модель называют линейной, если оператор обеспечивает линейную зависимость выходных параметров от значений входных параметров. Математическую модель называют нелинейной, если оператор обеспечивает нелинейную зависимость выходных параметров от значений входных параметров.

Классификация по входным и выходным параметрам

Классификация по характеру моделируемого процесса Детерминированные, которые соответствуют детерминированным процессам, имеющим строго однозначную связь между физическими величинами, характеризующими состояние системы в какой-либо момент времени. Детерминированная модель позволяет однозначно вычислить и предсказать значения выходных величин по значениям входных параметров и управляющих воздействий. Неопределенные, которые исходят из того, что изменение определяющих величин происходит случайным образом, и значения выходных величин находятся в вероятностном соответствии с входными величинами и не определяются однозначно.

Неопределенные модели Стохастические – значения всех или отдельных параметров модели определяются случайными величинами, заданными плотностями вероятности. Случайные – значения всех или отдельных параметров модели устанавливаются случайными величинами, заданными оценками плотностей вероятности, полученными в результате обработки ограниченной экспериментальной выборки данных параметров. Интервальные – значения всех или отдельных параметров модели описываются интервальными величинами, заданными интервалом, образованным минимальным и максимально возможными значениями параметра. Нечеткие – значения всех или отдельных параметров модели описываются функциями принадлежности соответствующему нечеткому множеству.

Классификация по отношению к размерности пространства Одномерные. Двумерные. Трехмерные. Такое деление применимо для моделей, в число параметров которых входят координаты пространства.

Классификация по отношению ко времени Статические. Если состояние системы не меняется со временем, то модели называют статическими. Статическое моделирование служит для описания состояния объекта в фиксированный момент времени. Динамические. Если состояние системы меняется со временем, то модели называют динамическими. Динамическое моделирование служит для исследования объекта во времени.

Классификация по виду используемых множеств параметров Качественные. Количественные. Дискретные. Непрерывные. Смешанные.

Классификация по целям моделирования Дескриптивные. Целью таких моделей является установление законов изменения параметров модели. Пример – модель движения ракеты после старта с поверхности Земли. Оптимизационные. Подобные модели предназначены для определения оптимальных с точки зрения некоторого критерия параметров моделируемого объекта или же для поиска оптимального режима управления некоторым процессом. Примером подобной модели может служить моделирование процесса запуска ракеты с поверхности Земли с целью подъема ее на заданную высоту за минимальное время. Управленческие. Такие модели применяются для принятия эффективных управленческих решений в различных областях целенаправленной деятельности человека.

Классификация по методу реализации Аналитические. Аналитические методы более удобны для последующего анализа результатов, но применимы лишь для относительно простых моделей. В случае, если математическая задача допускает аналитическое решение, то оно считается предпочтительнее численного. Алгоритмические. Алгоритмические методы сводятся к некоторому алгоритму, реализующему вычислительный эксперимент с использованием ЭВМ.

Классификация по объектам исследования Объекты с высокой степенью информации. если в процессе моделирования известны полные системы уравнений, описывающие все стороны моделируемого процесса и все числовые значения параметров этих уравнений. Объекты с нулевым уровнем информации. Математическая модель такого объекта строится на основе статистических экспериментальных данных. Объекты с известными основными закономерностями. Значения констант в математических уравнениях описания модели устанавливают из опыта. Объекты, о поведении которых имеются сведения эмпирического характера. Для них используют методы физического моделирования с применением математического планирования эксперимента.

Классификация по принадлежности модели к иерархическому уровню описания объекта Микроуровень (типовыми процессами являются массообменные, теплофизические, гидродинамические). Моделирование осуществляется в целях синтеза технологического процесса для отдельного или нескольких агрегатов. Макроуровень. Моделирование процессов, имеющих более высокий уровень агрегации; модели применяют для синтеза текущего управления технологическим процессом для одного агрегата или технологического комплекса в целом. Метауровень. Моделирование процессов в совокупности агрегатов и связывающих их материально-энергетических потоков. Такие модели служат для синтеза технологического комплекса как единого целого, то есть для синтеза управления развитием.

Классификация по характеру отображаемых свойств модели Функциональные модели. Используются, для описания физических и информационных процессов, протекающих при функционировании объекта. Структурные модели. Описывают состав и взаимосвязи элементов системы (процесса, объекта).

Классификация по порядку расчета Прямые. Применяются для определения кинетических, статических и динамических закономерностей процессов. Обратные (инверсионные). Используются для определения значения входных параметров или других заданных свойств обрабатываемых веществ или продуктов, а также для определения допустимых отклонений режимов обработки (задачи оптимизации процессов и параметров аппаратов). Индуктивные. Применяются для уточнения математических уравнений кинетики, статики или динамики процессов с использованием новых гипотез или теорий.

Классификация по использованию управления процессом Модели прогноза, или расчетные модели без управления. Основное назначение этих моделей – дать прогноз о поведении системы во времени и в пространстве, зная начальное состояние и информацию о поведении ее на границе. Примеры -модели распределения тепла, электрического поля, химической кинетики, гидродинамики. Оптимизационные модели. Стационарные модели. Используются на уровне проектирования различных технологических систем. Примеры ‒ детерминированные задачи, вся входная информация в которых является полностью определяемой. Нестационарные модели. Используются на уровне проектирования, так и, главным образом, для оптимального управления различными процессами – технологическими, экономическими и др. В этих задачах некоторые параметры носят случайный характер или содержат элемент неопределенности.

Содержательная классификация моделей Гипотеза. Феноменологическая модель. Приближение. Упрощение. Эвристическая модель. Аналогия. Мысленный эксперимент. Демонстрация возможности.

Гипотеза Эти модели представляют собой пробное описание явления. Если такая модель построена, то это означает, что она временно признается за истину и можно сконцентрироваться на других проблемах. Однако это не может быть точкой в исследованиях, а только временной паузой: статус модели может быть только временным. Примеры: Модель Солнечной системы по Птолемею. Модель Коперника (усовершенствованная Кеплером). Модель атома Резерфорда. Модель Большого Взрыва. и д.р.

Феноменологическая модель Данная модель содержит механизм для описания явления. Однако этот механизм недостаточно убедителен и не может быть подтвержден имеющимися данными или плохо согласуется с имеющимися теориями и накопленным знанием об объекте. Поэтому феноменологические модели имеют статус временных решений. Роль модели в исследовании может меняться со временем, может случиться так, что новые данные и теории подтвердят феноменологические модели и те будут повышены до статуса гипотезы. Аналогично, новое знание может постепенно придти в противоречие с моделями-гипотезами первого типа и те могут быть переведены во второй. Примеры: Модель теплорода. Кварковая модель элементарных частиц. и д.р.

Приближение Общепринятый прием в случае когда нельзя решить даже с помощью компьютера уравнения, описывающие исследуемую систему – использование приближений. Уравнения заменяются линейными. Стандартный пример – закон Ома.

Упрощение В данной модели отбрасываются детали, которые могут заметно и не всегда контролируемо повлиять на результат. Примеры: Применение модели идеального газа к неидеальному. Уравнение состояния Ван-дер-Ваальса. Большинство моделей физики твердого тела, жидкостей и ядерной физики. Путь от микроописания к свойствам тел (или сред), состоящих из большого числа частиц, очень длинен. Приходится отбрасывать многие детали.

Эвристическая модель Эвристическая модель сохраняет лишь качественное подобие реальности и дает предсказания только «по порядку величины». Оно дает простые формулы для коэффициентов вязкости, диффузии, теплопроводности, согласующиеся с реальностью по порядку величины. Но при построении новой физики далеко не сразу получается модель, дающая хотя бы качественное описание объекта. Типичный пример – приближение средней длины свободного пробега в кинетической теории.

Аналогия Данная модель впервые возникла, когда взаимодействие в системе нейтрон-протон пытались объяснить посредством взаимодействия атома водорода с протоном. Эта аналогия и привела к заключению, что должны существовать обменные силы взаимодействия между нейтроном и протоном, обусловленным переходом электрона между двумя протонами.

Мысленный эксперимент и демонстрация возможности Мысленный эксперимент – это рассуждения, которые в конечном итоге приводят к противоречию. Демонстрация возможности – это тоже мысленные эксперименты с воображаемыми сущностями, демонстрирующие, что предполагаемое явление согласуется с базовыми принципам и внутренне непротиворечиво. Один из самых знаменитых таких экспериментов – геометрия Лобачевского.

Заключение и выводы Рассмотрено понятие математической модели. Изучена обобщенная математическая модель. Определены понятия: нелинейность математических моделей и степень соответствия математической модели объекту. Представлена классификация математических моделей.

Рекомендуемая литература Самарский, А.А. Математическое моделирование / А.А. Самарский, А.П. Михайлов. – М.: Наука. Физматлит, 1997. Тарасевич, Н.Н. Математическое и компьютерное моделирование. Вводный курс / Н.Н. Тарасевич. – М.: Эдиториал УРСС, 2001. Введение в математическое моделирование: уч. Пособие / под редакцией П.В. Трусова. – М.: Университетская книга, Логос, 2007. – 440 с.