🗊Презентация Математические понятия, предложения, доказательства

Учебный модуль 1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Тема 1.1 Математические понятия, предложения, доказательства

Предмет математики: Родовое понятие. Видовое отличие.

Объем и содержание понятий. Понятие - форма мышления, в которой отражаются существенные отличительные признаки предметов. (Например: «апельсин», «фрукт», «трапеция», «белизна», «река Нил», «ураганный ветер») Признаком предмета называется то, в чем предметы сходны друг с другом или чем они друг от друга отличаются. Содержанием понятия называется совокупность существенных признаков, отраженных в этом понятии. (Содержанием понятия «ромб» является совокупность двух существенных признаков: «быть параллелограммом» и «иметь равные стороны».)

Виды признаков Существенными называются такие признаки, каждый из которых, взятый отдельно, необходим, а все вместе взятые достаточны, чтобы с их помощью отличить (выделить) данный предмет (явление) от всех остальных и обобщить однородные предметы в класс.(Например, одним из существенных признаков понятия «человек» является наличие сознания.) Несущественные - это преходящие, второстепенные признаки, приобретая или теряя которые, предмет остается самим собой. (Например, несущественным признаком понятия «человек» является цвет его волос, вес, рост и др.)

Родовое понятие и видовое отличие Рассмотрим определение параллелограмма: «Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны». Как видим, это определение построено так: Сначала указано название объекта определяемого понятия — параллелограмм, затем указаны такие его свойства: параллелограмм — это четырехугольник; противоположные стороны параллельны. Первое свойство — это указание того более общего понятия, к которому принадлежит определяемое понятие. Это более общее понятие называется родовым по отношению к определяемому понятию. В данном случае родовым понятием для параллелограмма является четырехугольник. Второе свойство — это указание видового свойства, которое отличает параллелограмм от других видов четырехугольника.

Объем понятия Объем понятия - это множество предметов, каждому из которых принадлежат признаки, относящиеся к содержанию понятия. Например, объем понятия «река» включает в себя множество, состоящее из рек, носящих имена Обь, Иртыш, Енисей, Волга и др. Объём понятия «ученик» включает в себя всех людей, которые когда-либо учились (чему-нибудь и как-нибудь), учатся сейчас или будут учиться. Автомобиль - транспортное средство, имеющее двигатель, кузов, колеса и устройство управления. Это содержание понятия, а его объемом являются все существующие в мире автомобили.

Задание Укажите хотя бы один элемент объема понятия: 1.     Президент 2.     Алфавит 4.     Текст 5.     Поезд 6.     Мелодия 7.     Студенческая группа 9.     МГУ имени М.В. Ломоносова 10. Вечный двигатель 11. Русский алфавит 12. Созвездие

Высказывания и высказывательные формы Высказыванием в математике называют предложение, относительно которого имеет смысл вопрос: истинно оно или ложно. Например, предложения 1, 2, 4, 5 и 6 приведенные выше, есть высказывания, причем предложения 1, 4, 5 и 6 – истинные, 2 – ложное. Высказывания принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, …, Z. Если высказывание А истинно, то записывают: А – «и», если же высказывание А – ложно, то пишут: А – «л». «Истина» и «ложь» называются значениями истинности высказывания. Каждое высказывание либо истинно, либо ложно, быть одновременно тем и другим оно не может.

Предложение х+5=8 не является высказыванием, так как о нем нельзя сказать: истинно оно или ложно. Однако при подстановке конкретных значений переменной х оно обращается в высказывание: истинное или ложное. Например, если х=2, то 2+5=8- ложное высказывание, а при х=3 оно обращается в истинное высказывание 3+5=8. Предложение х+5=8 называется высказывательной формой. Оно порождает множество высказываний одной и той же формы. Предложение х+5=8 не является высказыванием, так как о нем нельзя сказать: истинно оно или ложно. Однако при подстановке конкретных значений переменной х оно обращается в высказывание: истинное или ложное. Например, если х=2, то 2+5=8- ложное высказывание, а при х=3 оно обращается в истинное высказывание 3+5=8. Предложение х+5=8 называется высказывательной формой. Оно порождает множество высказываний одной и той же формы. По числу переменных, входящих в высказывательную форму, различают одноместные, двухместные и т.д. высказывательные формы и обозначают: А(х), А(х,у) и т.д. Например, х+5=8 – одноместная высказывательная форма, а предложение «Прямая х параллельна прямой у» – двухместная.

Конъюнкция, дизъюнкция и отрицание высказываний и высказывательных форм 1.     Отрицание. Эта логическая операция соответствует в обыденной жизни частице «не». Отрицанием высказывания x называется новое высказывание, которое является истинным, если высказывание х ложно, и ложным, если высказывание х истинно. Отрицание высказывания x обозначается  x̅  и читается «не x». Логические значения высказывания  можно описать с помощью таблицы, которая называется таблицей истинности:

Дизъюнкция (логическое сложение). Дизъюнкцией двух высказываний x, y называется новое высказывание, которое считается истинным, если хотя бы одно из высказываний x или y истинно и ложным, если они оба ложны. Дизъюнкция высказываний x, y обозначается x∨y и читается «x или y». Логические значения дизъюнкции описываются таблицей истинности:

Конъюнкция Конъюнкцией двух высказываний x, y называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания x, y истинны, и ложным, если хотя бы одно из них ложно. Конъюнкция высказываний x, y обозначается x∧y и читается «x и y». Высказывания x, y называются членами конъюнкции. Логические значения конъюнкции описываются следующей таблицей истинности:

Способы математического доказательства Определение: Математическое доказательство — рассуждение с целью обоснования истинности какого-либо утверждения (теоремы), цепочка логических умозаключений, показывающая, что при условии истинности некоторого набора аксиом и правил вывода утверждение верно.

Прямое доказательство Прямое доказательство предусматривает применение только непосредственного дедуктивного вывода из считающихся верными утверждений (аксиом, ранее доказанных лемм и теорем), без использования суждений с отрицанием каких-либо утверждений. Индуктивный метод, позволяющий перейти от частных утверждений ко всеобщим, наиболее интересен в применении к бесконечным совокупностям объектов, но её формулировки и применимость существенно отличаются в зависимости от сферы применения. Доказательства от противного устроены так. Делают предположение, что верно утверждение B, противное, то есть противоположное, тому утверждению A, которое требуется доказать, и далее, опираясь на это B, приходят к противоречию; тогда заключают, что, значит, B неверно, а верно A.

Доказательство методом перебора Требуется доказать, что среди целых неотрицательных чисел, меньших числа 420, нет других корней уравнения (x+2008)(x−3)(x−216)(x−548)=0, кроме чисел 3 и 216. Доказательство: последовательно перебирая числа 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, ... , 213, 214, 215, 217, 218, 219, ... , 417, 418, 419 и подставляя их в уравнение, убеждаемся, что ни одно из них не обращает в нуль левую часть. Это есть типичное доказательство методом перебора.

Кванторы ∀ - квантор всеобщности ∃ - существования ⇒ - следование ⇔ - равносильность ∧ и ∨ - Конъюнкция и дизъюнкция ¬ - отрицание = - равенство ∈ и ∉ - Принадлежность и непринадлежность ⊆ и ⊇ - подмножество и надмножество { } – множество ({|} - Множество элементов, удовлетворяющих условию) ∅ - пустое множество ∪ и ⋂ - объединение и пересечение

Решение задач на распознавание объектов. Дайте определение квадрата через понятие прямоугольник. Пользуясь данным определением, укажите условия, при котором фигура будет являться квадратом -Выявите логическую структуру следующих предложений Параллельные прямые- это две прямые принадлежащие плоскости и непересекающиеся или совпадающие.

Построение высказываний с кванторами. Ква́нтор — общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката и создающих высказывание. Чаще всего упоминают: Квантор всеобщности  (обозначение :∀ , читается: «для любого…», «для каждого…», «для всех…» или «каждый…», «любой…», «все…»). Квантор существования  (обозначение: ∃  , читается: «существует…» или «найдётся…»). Предика́т (лат. praedicatum — заявленное, упомянутое, сказанное) — это то, что утверждается о субъекте. Субъектом высказывания называется то, о чём делается утверждение.

Пример Обозначим P(x) предикат «x делится на 5». Используя квантор всеобщности, можно формально записать следующие высказывания (конечно, ложные): любое натуральное число кратно 5; каждое натуральное число кратно 5; все натуральные числа кратны 5; следующим образом: (∀ x∈ ℕ)P(x)

Пример Следующие (уже истинные) высказывания используют квантор существования: существуют натуральные числа, кратные 5; найдётся натуральное число, кратное 5; хотя бы одно натуральное число кратно 5. Их формальная запись: (∃ x∈ ℕ)P(x)

Задание: Записать, используя кванторы, высказывания и определить ложно оно или истинно: Существует целое четное число Все целые числа четные Найдется простое натуральное число Любое натуральное число является простым Множество всех простых чисел является подмножеством натуральных чисел.

Решение: 1. Существует целое четное число Введем предикат P(x) – «x - четное», получим: (∃ x∈ℤ)P(x). Читается «существует целое число x, которое четно». Истинно, так как среди целых чисел есть четные (2, 4, 6, …). 2. Все целые числа четные (∀ x∈ℤ)P(x). Читается «любое целое число x - четное». Ложно, так как не все целые числа четные (1, 3, 5, …). 3. Найдется простое натуральное число Введем предикат P(x) – «x - простое число», получим запись (∃ x∈ℕ)P(x). Читается «существует натуральное число x, которое делится только на себя и на единицу». Истинно, так как среди натуральных чисел найдутся простые (2, 3, 5, 7, 11, 13, …). 4. Любое натуральное число является простым (∀ x∈ℕ)P(x). Читается «любое натуральное число - простое». Ложно, так как среди натуральных чисел есть такие, которые простыми не являются (4, 6, 9, …) 5. Множество всех простых чисел является подмножеством натуральных чисел. Пусть существует множество М простых чисел m1, m2, … , mn, и множество ℕ натуральных чисел n1, n2, … , nn . Все элементы М также принадлежат множеству ℕ. Введем предикат P(x) – «x - натуральное». Получим равносильные записи: (∀ m∈ℕ)P(x) и М⊆ℕ ⇔ℕ⊇М. Читается «каждое натуральное число m является натуральным. Множество М является подмножеством множества ℕ, равносильно высказыванию ℕ - надмножество множества М».

Самостоятельно подготовить рефераты на темы: «Этапы развития математики», «Роль математики в интеллектуальном развитии человека», «Роль математики в техническом развитии».