🗊Презентация Математические выражения

Математические выражения

Классификация математических выражений

Числовые выражения строятся с помощью цифр, знаков бинарных операций («+», «-», «», «:») и, может быть, скобок по следующим правилам: каждое число является числовым выражением; если А и В – числовые выражения, то А+В, А-В, АВ, А: В тоже являются числовыми выражениями. Например, 3 + 45, 56, , (99-87)  17.

Числовые выражения Число, получаемое в результате последовательного выполнения всех операций, входящих в числовое выражение, называется его значением. Например, (99-87)  17 = 12  17 = 204. 204 – значение выражения.

Числовые выражения Существуют числовые выражения, которые не имеют значения. О них говорят, что они не имеют смысла. Например,

Числовые выражения СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ чисел называют действиями первой ступени. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ - действия второй ступени. Порядок выполнения действий при нахождении значений выражений определяется правилами.

Числовые выражения Порядок действий 1. Если в выражении нет скобок и оно содержит действия только одной ступени, то их выполняют по порядку слева направо. 2. Если выражение содержит действия первой и второй ступени и в нем нет скобок, то сначала выполняют действия второй ступени, потом – действия первой ступени. 3. Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках (учитывая при этом правила 1 и 2).

Числовые выражения (814 + 36  27) : (101 – 2052 : 38) = перемножить числа 36 и 27; сложить 814 с результатом действия 1; разделить 2052 на 38; вычесть из 101 результат действия 3; разделить результат действия 2 на результат действия 4.

Чтение числовых выражений Начинается с результата последней операции. Примеры: (20– 10) : 5 - частное разности чисел 20 и 10 и числа 5. 20 – 10 : 5 - разность числа 20 и частного чисел 10 и 5. 20 : 10 – 5 - разность частного чисел 20 и 10 и числа 5.

Выражения с переменной строятся с помощью букв, цифр, знаков бинарных операций и, может быть, скобок по следующим правилам: каждая буква является выражением с переменной; если А(х) и В(х) – выражения с переменной, то А(х)+В(х), А(х)-В(х), А(х)В(х), А(х):В(х) тоже являются выражениями с переменной. Например, 2+х, х2, (2х -5):45,

Выражения с переменной Если в выражение с переменной подставить вместо переменной конкретное число, то получится числовое выражение. Можно найти его значение. Например, подставим в выражение 2+х вместо переменной х число 3. Получится числовое выражение 2+3. Можно найти его значение: 2+3=5. Число 5 - значение выражения 2+х при х=3.

Выражения с переменной Областью определения выражения с переменной называется множество таких чисел, при подстановке которых вместо переменной данное выражение обращается в числовое выражение, имеющее смысл. Например, выражение с переменной определено (имеет смысл) на множестве [3; +) и не имеет смысла на множестве (-; 3).

Числовые равенства Это высказывания вида А=В, где А и В – числовые выражения. Так как числовые равенства – это высказывания, они бывают истинными (верными) и ложными (неверными). Например, 2 = 4 – 2, – верные числовые равенства; 9 = 8, (45-34)  4 = 19 – неверные числовые равенства.

Свойства числовых равенств Если к обеим частям верного числового равенства прибавить (или вычесть из них) одно и то же число, то получится верное числовое равенство. Если обе части верного числового равенства умножить или разделить на одно и тоже число, отличное от нуля, то получится верное числовое равенство.

Числовые неравенства Это высказывания вида А<В, A>B, AB, AB, где А и В – числовые выражения. Так как числовые неравенства – это высказывания, они бывают истинными (верными) и ложными (неверными). Например, 3 < 23+ 4, 9>4 – верные числовые неравенства; 67<1, 45+(67+34)>1000 - неверные числовые неравенства.

Свойства числовых неравенств Если к обеим частям верного числового неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное числовое неравенство. Если из обеих частей верного числового неравенства вычесть одно и то же число, то получится верное числовое неравенство.

Свойства числовых неравенств Если обе части верного числового неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное числовое неравенство. Если обе части верного числового неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное числовое неравенство.

Уравнения Уравнением с переменной х на множестве М называется равенство вида А(х)=В(х) либо А(х) = b, где А(х) и В(х) – выражения с переменной х, определенные на множестве М, b – некоторое число. Множество М называют областью определения уравнения (его задают вместе с уравнением либо отыскивают). Например, 6х +45 = 23, 34х +5 = 2 – 4х – уравнения.

Уравнения Решить уравнение - значит найти множество значений переменной х, при подстановке которых в уравнение, оно обращается в верное числовое равенство. Каждое решение уравнения называют корнем уравнения. Например, решим уравнение (2-х)(х+6) = 0, определенное на множестве R. Множество его решений - {2; -6}. 2 и -6 – корни данного уравнения на множестве R.

Неравенства Неравенством с переменной х на множестве М называется неравенство вида А(х)<В(х), А(х)>В(х), А(х)<b, А(х)>b, где А(х) и В(х) – выражения с переменной х, определенные на множестве М, b – некоторое число. Множество М называют областью определения неравенства (его задают вместе с неравенством либо отыскивают). Например, 45 – 5х < 60, 5+2x > 4x-23 – неравенства.

Неравенства Решить неравенство - значит найти множество значений переменной х, при подстановке которых в неравенство, оно обращается в верное числовое неравенство. Например, решим неравенство 2х+6> 0, определенное на множестве R. Множество его решений – (-3; +).

Равносильные уравнения (неравенства) Уравнения (неравенства), определенные на множестве М, называются равносильными на этом множестве тогда и только тогда, когда множества их решений, принадлежащих данному множеству, совпадают. А(х)=В(х)  С(х)=D(х) А(х)>В(х)  С(х)>D(х)

Равносильные уравнения (неравенства) Уравнения (неравенства), определенные на множестве М, называются равносильными на этом множестве тогда и только тогда, когда множества их решений, принадлежащих данному множеству, совпадают. А(х)=В(х)  С(х)=D(х) А(х)>В(х)  С(х)>D(х)

Равносильные уравнения (неравенства) Рассмотрим уравнения х – 2 = 0 и (2х - 4)(х + 3) = 0, определенные на множестве М. Установим, являются ли эти уравнения равносильными, если: а) М = N. х – 2 = 0 (2х - 4)(х + 3) = 0 х{2} х{2} Значит, х–2=0  (2х-4)(х +3) = 0 на множестве N. б) М = R. х – 2 = 0 (2х - 4)(х + 3) = 0 х{2} х{2; -3} Значит, х –2 = 0  (2х - 4)(х + 3) = 0 на множестве R. Таким образом, одни и те же уравнения могут быть равносильными на каком-то множестве и неравносильными на другом множестве.