🗊 Презентация Математический анализ. Определенный интеграл

Категория: Математика
Нажмите для полного просмотра!
Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №1 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №2 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №3 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №4 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №5 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №6 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №7 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №8 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №9 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №10 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №11 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №12 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №13 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №14 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №15 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №16 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №17 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №18 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №19 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №20 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №21 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №22 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №23 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №24 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №25 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №26 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №27 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №28 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №29 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №30 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №31 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №32 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №33 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №34 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №35 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №36 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №37 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №38 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №39 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №40 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №41 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №42 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №43 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №44 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №45 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №46 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №47 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №48 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №49 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №50 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №51 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №52 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №53 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №54 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №55 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №56 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №57 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №58 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №59 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №60 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №61 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №62 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №63 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №64 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №65 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №66 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №67 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №68 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №69 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №70 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №71 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №72 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №73 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №74 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №75 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №76 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №77 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №78 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №79 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №80 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №81 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №82 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №83 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №84 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №85 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №86 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №87 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №88 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №89 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №90 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №91 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №92 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №93 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №94 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №95 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №96 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №97 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №98 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №99 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №100 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №101 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №102 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №103 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №104 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №105 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №106 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №107 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №108 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №109 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №110 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №111 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №112 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №113 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №114 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №115 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №116 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №117 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №118 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №119 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №120 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №121 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №122 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №123 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №124 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №125 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №126 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №127 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №128 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №129 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №130 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №131 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №132 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №133 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №134 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №135 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №136 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №137 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №138 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №139 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №140 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №141 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №142 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №143 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №144 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №145 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №146 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №147 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №148 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №149 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №150 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №151 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №152 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №153 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №154 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №155 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №156 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №157 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №158 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №159 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №160 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №161 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №162 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №163 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №164 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №165 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №166 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №167 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №168 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №169 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №170 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №171 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №172 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №173 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №174 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №175 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №176 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №177 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №178 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №179 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №180 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №181 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №182 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №183 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №184 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №185 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №186 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №187 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №188 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №189 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №190 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №191 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №192 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №193 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №194 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №195 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №196 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №197 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №198 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №199 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №200 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №201 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №202 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №203 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №204 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №205 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №206 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №207 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №208 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №209 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №210 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №211 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №212 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №213 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №214 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №215 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №216 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №217 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №218 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №219 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №220 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №221 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №222 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №223 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №224 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №225 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №226 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №227 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №228 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №229 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №230 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №231 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №232 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №233 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №234 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №235 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №236 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №237 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №238 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №239 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №240 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №241 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №242 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №243 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №244 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №245 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №246 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №247 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №248 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №249 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №250 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №251 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №252 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №253 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №254 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №255 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №256 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №257 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №258 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №259 Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №260
Скачать

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Математический анализ. Определенный интеграл. Доклад-сообщение содержит 260 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 2 семестр
Описание слайда:
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 2 семестр

Слайд 2


ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Даны: - отрезок [a,b], - неотрицательная функция f(x) Криволинейная трапеция Площадь?
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Даны: - отрезок [a,b], - неотрицательная функция f(x) Криволинейная трапеция Площадь?

Слайд 3


Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №3
Описание слайда:

Слайд 4


4 шага: Разбить отрезок. Выбрать точки. Интегральная сумма. Перейти к пределу.
Описание слайда:
4 шага: Разбить отрезок. Выбрать точки. Интегральная сумма. Перейти к пределу.

Слайд 5


a=x0
Описание слайда:
a=x0

Слайд 6


4. =max{xi} ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если предел интегральных сумм
Описание слайда:
4. =max{xi} ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если предел интегральных сумм

Слайд 7


при 0 существует, то он называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b], обозначается В этом случае функция f(x) называется...
Описание слайда:
при 0 существует, то он называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b], обозначается В этом случае функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a,b].

Слайд 8


Особенность предела! Пример интегрируемой функции: f(x)=с. Замечание. Если функция интегрируемая, то она ограниченная. Обратное неверно (функция...
Описание слайда:
Особенность предела! Пример интегрируемой функции: f(x)=с. Замечание. Если функция интегрируемая, то она ограниченная. Обратное неверно (функция Дирихле)

Слайд 9


Много ли интегрируемых функций? ТЕОРЕМА 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке ТЕОРЕМА 2. Монотонная...
Описание слайда:
Много ли интегрируемых функций? ТЕОРЕМА 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке ТЕОРЕМА 2. Монотонная ограниченная функция является интегрируемой. .

Слайд 10


СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 1. (договоренность) 2. (договоренность)
Описание слайда:
СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 1. (договоренность) 2. (договоренность)

Слайд 11


3. (линейность) Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a,b], то функция сf(x)+dg(x) также интегрируема на [a,b], причем
Описание слайда:
3. (линейность) Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a,b], то функция сf(x)+dg(x) также интегрируема на [a,b], причем

Слайд 12


4. Произведение интегрируемых функций интегрируемая функция. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА ПРОИЗВЕДЕНИЯ НЕ СУЩЕСТВУЕТ! 5. Если функция f(x)...
Описание слайда:
4. Произведение интегрируемых функций интегрируемая функция. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА ПРОИЗВЕДЕНИЯ НЕ СУЩЕСТВУЕТ! 5. Если функция f(x) интегрируема на [a,b], то она интегрируема и на [с,d]  [a,b].

Слайд 13


6. (аддитивность) Если функция f(x) интегрируема на [a,c] и [c,b] , то она интегрируема и на [a,b]. При этом Формула справедлива при любом...
Описание слайда:
6. (аддитивность) Если функция f(x) интегрируема на [a,c] и [c,b] , то она интегрируема и на [a,b]. При этом Формула справедлива при любом расположении точек a, b, c

Слайд 14


ОЦЕНКИ ИНТЕГРАЛОВ Если f(x)0 на [a,b] и интегрируемая, то 2. Если f(x)m на [a,b] и интегрируемая, то
Описание слайда:
ОЦЕНКИ ИНТЕГРАЛОВ Если f(x)0 на [a,b] и интегрируемая, то 2. Если f(x)m на [a,b] и интегрируемая, то

Слайд 15


3. Если непрерывная функция f(x)0 на [a,b] и f(x)>0 в некоторой точке, то 4. Если f(x) и g(x) интегрируемые на [a,b] и f(x)g(x), то
Описание слайда:
3. Если непрерывная функция f(x)0 на [a,b] и f(x)>0 в некоторой точке, то 4. Если f(x) и g(x) интегрируемые на [a,b] и f(x)g(x), то

Слайд 16


5. Если функция f(x) интегрируемая на [a,b], то |f(x)| также интегрируема и
Описание слайда:
5. Если функция f(x) интегрируемая на [a,b], то |f(x)| также интегрируема и

Слайд 17


6. Пусть f(x) и g(x) интегрируемые на [a,b], f(x)0 и m g(x)M. Тогда
Описание слайда:
6. Пусть f(x) и g(x) интегрируемые на [a,b], f(x)0 и m g(x)M. Тогда

Слайд 18


ТЕОРЕМА 3 (о среднем значении). Пусть f(x) интегрируемая на [a,b] и m f(x)M. Существует число [m,M], для которого Геометрический смысл
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 3 (о среднем значении). Пусть f(x) интегрируемая на [a,b] и m f(x)M. Существует число [m,M], для которого Геометрический смысл

Слайд 19


СЛЕДСТВИЕ. Если дополнительно функция f(x) непрерывна на [a,b], то существует число [a,b], для которого
Описание слайда:
СЛЕДСТВИЕ. Если дополнительно функция f(x) непрерывна на [a,b], то существует число [a,b], для которого

Слайд 20


ИНТЕГРАЛ С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕРХНИМ ПРЕДЕЛОМ
Описание слайда:
ИНТЕГРАЛ С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕРХНИМ ПРЕДЕЛОМ

Слайд 21


ТЕОРЕМА 4. Функция F(x) непрерывная. ТЕОРЕМА 5. Если функция f(x) непрерывная, то функция F(x) дифференцируемая, причем F (x)=f(x).
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 4. Функция F(x) непрерывная. ТЕОРЕМА 5. Если функция f(x) непрерывная, то функция F(x) дифференцируемая, причем F (x)=f(x).

Слайд 22


СЛЕДСТВИЕ. (Формула Ньютона-Лейбница) Если функция f(x) непрерывная на [a,b] и (x) – первообразная f(x), то
Описание слайда:
СЛЕДСТВИЕ. (Формула Ньютона-Лейбница) Если функция f(x) непрерывная на [a,b] и (x) – первообразная f(x), то

Слайд 23


a=0, b=/2
Описание слайда:
a=0, b=/2

Слайд 24


ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ ТЕОРЕМА 6. Пусть Тогда
Описание слайда:
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ ТЕОРЕМА 6. Пусть Тогда

Слайд 25


ПРИМЕРЫ 1. 2.
Описание слайда:
ПРИМЕРЫ 1. 2.

Слайд 26


ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ ТЕОРЕМА 7. Пусть функции u(x), v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a,b]. Тогда
Описание слайда:
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ ТЕОРЕМА 7. Пусть функции u(x), v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a,b]. Тогда

Слайд 27


ПРИМЕРЫ
Описание слайда:
ПРИМЕРЫ

Слайд 28


ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Длина дуги кривой t - параметр Функции непрерывные! Если разным значениям параметра соответствуют разные точки...
Описание слайда:
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Длина дуги кривой t - параметр Функции непрерывные! Если разным значениям параметра соответствуют разные точки плоскости, то дуга называется простой.

Слайд 29


ЗАМЕЧАНИЯ 1. Входят кривые, заданные уравнениями y=f(x). 2. Параметр не единственный! Непрерывная монотонная функция u(t), u – тоже параметр
Описание слайда:
ЗАМЕЧАНИЯ 1. Входят кривые, заданные уравнениями y=f(x). 2. Параметр не единственный! Непрерывная монотонная функция u(t), u – тоже параметр

Слайд 30


Строфоида Простые дуги на множествах t0
Описание слайда:
Строфоида Простые дуги на множествах t0

Слайд 31


Пространственные кривые Пример x=r sin t, y=r cos t, z=ct
Описание слайда:
Пространственные кривые Пример x=r sin t, y=r cos t, z=ct

Слайд 32


Длина дуги. Диагональ квадрата Вписанная ломаная x=(t), y=(t)
Описание слайда:
Длина дуги. Диагональ квадрата Вписанная ломаная x=(t), y=(t)

Слайд 33


Шаг разбиения =max{ti} ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Предел длин вписанных ломаных при 0, если он существует, называется длиной дуги, дуга в этом случае...
Описание слайда:
Шаг разбиения =max{ti} ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Предел длин вписанных ломаных при 0, если он существует, называется длиной дуги, дуга в этом случае называется спрямляемой.

Слайд 34


ТЕОРЕМА 8 (Достаточные условия спрямляемости. Вычисление длины дуги) Пусть функции x=(t), y= (t) имеют непрерывные производные на отрезке [,]....
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 8 (Достаточные условия спрямляемости. Вычисление длины дуги) Пусть функции x=(t), y= (t) имеют непрерывные производные на отрезке [,]. Тогда дуга спрямляемая, ее длина Для дуги пространственной кривой - аналогично

Слайд 35


Если дуга спрямляемая, то длина не зависит от параметризации непрерывно дифференцируемой функцией. Если спрямляемая кривая разбита на части, то...
Описание слайда:
Если дуга спрямляемая, то длина не зависит от параметризации непрерывно дифференцируемой функцией. Если спрямляемая кривая разбита на части, то каждая часть спрямляемая и длина всей дуги равна сумме длин частей. Пусть l=l(t) – длина дуги кривой от  до t. l – параметр (натуральный)

Слайд 36


Для кривой y=f(x) Для кривой, заданной в полярных координатах уравнением r() (1   2)
Описание слайда:
Для кривой y=f(x) Для кривой, заданной в полярных координатах уравнением r() (1   2)

Слайд 37


Дифференциал дуги Для пространственной кривой
Описание слайда:
Дифференциал дуги Для пространственной кривой

Слайд 38


Примеры вычисления длины дуги. 1. Циклоида 2. Цепная линия [0,a] 3. Длина дуги эллипса
Описание слайда:
Примеры вычисления длины дуги. 1. Циклоида 2. Цепная линия [0,a] 3. Длина дуги эллипса

Слайд 39


ПЛОШАДЬ ПЛОСКИХ ФИГУР 1. Криволинейная трапеция
Описание слайда:
ПЛОШАДЬ ПЛОСКИХ ФИГУР 1. Криволинейная трапеция

Слайд 40


2. Криволинейный сектор
Описание слайда:
2. Криволинейный сектор

Слайд 41


Примеры 1. y=x2, [0,1] 2.
Описание слайда:
Примеры 1. y=x2, [0,1] 2.

Слайд 42


3. Трилистник
Описание слайда:
3. Трилистник

Слайд 43


ОБЪЕМ ТЕЛ Объем аддитивен Объем единичного кубика 1 ОТСЮДА Объем цилиндрического тела V=Sh
Описание слайда:
ОБЪЕМ ТЕЛ Объем аддитивен Объем единичного кубика 1 ОТСЮДА Объем цилиндрического тела V=Sh

Слайд 44


S(x) – площадь сечения
Описание слайда:
S(x) – площадь сечения

Слайд 45


Объем тела вращения Криволинейная трапеция axb, 0yf(x), f(x) – непрерывная функция Тело получено вращением трапеции вокруг оси абсцисс
Описание слайда:
Объем тела вращения Криволинейная трапеция axb, 0yf(x), f(x) – непрерывная функция Тело получено вращением трапеции вокруг оси абсцисс

Слайд 46


ПРИМЕРЫ 1. y=sin x на [0,] 2. Астроида
Описание слайда:
ПРИМЕРЫ 1. y=sin x на [0,] 2. Астроида

Слайд 47


ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Описание слайда:
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

Слайд 48


Площадь боковой поверхности конического тела li=
Описание слайда:
Площадь боковой поверхности конического тела li=

Слайд 49


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Площадью поверхности вращения называется =max{xi}
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Площадью поверхности вращения называется =max{xi}

Слайд 50


При параметрическом задании
Описание слайда:
При параметрическом задании

Слайд 51


ПРИМЕРЫ 1. 2. Циклоида
Описание слайда:
ПРИМЕРЫ 1. 2. Циклоида

Слайд 52


НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Обобщение интеграла на бесконечные промежутки и неограниченные функции 1 рода Пусть функция f(x) определена на [a,)...
Описание слайда:
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Обобщение интеграла на бесконечные промежутки и неограниченные функции 1 рода Пусть функция f(x) определена на [a,) интегрируемая на [a,b]

Слайд 53


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Несобственным интегралом 1 рода называется Если предел не существует, то интеграл расходится
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Несобственным интегралом 1 рода называется Если предел не существует, то интеграл расходится

Слайд 54


Примеры
Описание слайда:
Примеры

Слайд 55


Аналогично Если f(x) непрерывна на всей прямой, то
Описание слайда:
Аналогично Если f(x) непрерывна на всей прямой, то

Слайд 56


Достаточное условие сходимости НИ 1 рода ТЕОРЕМА 9. Если f(x)0, интегрируема на [a,b] при любом b>a и то сходится.
Описание слайда:
Достаточное условие сходимости НИ 1 рода ТЕОРЕМА 9. Если f(x)0, интегрируема на [a,b] при любом b>a и то сходится.

Слайд 57


НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2 РОДА
Описание слайда:
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2 РОДА

Слайд 58


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Несобственным интегралом 2 рода называется Обозначение Если предел не существует, то интеграл расходится.
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Несобственным интегралом 2 рода называется Обозначение Если предел не существует, то интеграл расходится.

Слайд 59


Аналогично, если особая точка – левый конец промежутка. ПРИМЕР.
Описание слайда:
Аналогично, если особая точка – левый конец промежутка. ПРИМЕР.

Слайд 60


ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовая последовательность ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Числовым рядом называется символ
Описание слайда:
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовая последовательность ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Числовым рядом называется символ

Слайд 61


Частичные суммы ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Числовой ряд сходится, если существует S – сумма ряда Если предел не существует, то ряд расходится.
Описание слайда:
Частичные суммы ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Числовой ряд сходится, если существует S – сумма ряда Если предел не существует, то ряд расходится.

Слайд 62


ПРИМЕРЫ 1. 11+11+… 2. 3.
Описание слайда:
ПРИМЕРЫ 1. 11+11+… 2. 3.

Слайд 63


ТЕОРЕМА 10 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то ui 0. ПРИМЕР.
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 10 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то ui 0. ПРИМЕР.

Слайд 64


ЗАМЕЧАНИЯ. 1. 3.Сумма сходящихся рядов сходящийся ряд.
Описание слайда:
ЗАМЕЧАНИЯ. 1. 3.Сумма сходящихся рядов сходящийся ряд.

Слайд 65


РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ ТЕОРЕМА 11. Для сходимости ряда с положительными членами необходимо и достаточно, чтобы его частичные суммы были...
Описание слайда:
РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ ТЕОРЕМА 11. Для сходимости ряда с положительными членами необходимо и достаточно, чтобы его частичные суммы были ограничены. ТЕОРЕМА 12. (признак сравнения) Пусть и - ряды с положительными членами, причем Если сходится ряд , то сходится и ряд Если расходится ряд , то расходится и ряд

Слайд 66


ЗАМЕЧАНИЯ. 1. То же самое справедливо, если при некотором c>0. 2. Неравенство может выполняться начиная с некоторого i.
Описание слайда:
ЗАМЕЧАНИЯ. 1. То же самое справедливо, если при некотором c>0. 2. Неравенство может выполняться начиная с некоторого i.

Слайд 67


ТЕОРЕМА 13. (предельный признак сравнения) Если , - ряды с положительными членами, причем существует то ряды сходятся или расходятся одновременно.
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 13. (предельный признак сравнения) Если , - ряды с положительными членами, причем существует то ряды сходятся или расходятся одновременно.

Слайд 68


ПРИМЕРЫ 1. 2.
Описание слайда:
ПРИМЕРЫ 1. 2.

Слайд 69


ТЕОРЕМА 14. (Признак Даламбера) 1. Если члены ряда положительные и начиная с некоторого номера то ряд сходится (расходится)
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 14. (Признак Даламбера) 1. Если члены ряда положительные и начиная с некоторого номера то ряд сходится (расходится)

Слайд 70


2. Если существует предел то при L1 ряд расходится
Описание слайда:
2. Если существует предел то при L1 ряд расходится

Слайд 71


ТЕОРЕМА 15. (Признак Коши) 1. Если начиная с некоторого номера то ряд сходится (расходится). 2. Если существует предел то при L1 ряд расходится
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 15. (Признак Коши) 1. Если начиная с некоторого номера то ряд сходится (расходится). 2. Если существует предел то при L1 ряд расходится

Слайд 72


ПРИМЕРЫ 1. 2.
Описание слайда:
ПРИМЕРЫ 1. 2.

Слайд 73


ТЕОРЕМА 16. (Интегральный признак сходимости). Пусть неотрицательная функция f(x) является невозрастающей на множестве [1,+). Ряд и сходятся или...
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 16. (Интегральный признак сходимости). Пусть неотрицательная функция f(x) является невозрастающей на множестве [1,+). Ряд и сходятся или расходятся одновременно.

Слайд 74


ПРИМЕРЫ 1. 2.
Описание слайда:
ПРИМЕРЫ 1. 2.

Слайд 75


Для произвольных рядов – критерий Коши (следствие критерия для последовательностей) ТЕОРЕМА 17. Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы
Описание слайда:
Для произвольных рядов – критерий Коши (следствие критерия для последовательностей) ТЕОРЕМА 17. Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы

Слайд 76


Знакопеременные ряды ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Числовой ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
Описание слайда:
Знакопеременные ряды ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Числовой ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

Слайд 77


ТЕОРЕМА 18. Если ряд сходится абсолютно, то ряд сходится. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Сходящийся ряд сходится условно, если ряд расходится.
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 18. Если ряд сходится абсолютно, то ряд сходится. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Сходящийся ряд сходится условно, если ряд расходится.

Слайд 78


Перестановки ряда ТЕОРЕМА 19. (Коши) Перестановка любого абсолютно сходящегося ряда – абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного...
Описание слайда:
Перестановки ряда ТЕОРЕМА 19. (Коши) Перестановка любого абсолютно сходящегося ряда – абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда. ТЕОРЕМА 20. (Риман) Если ряд сходится условно, то для любого L существует перестановка ряда, сумма которой равна L.

Слайд 79


Знакочередующийся ряд ТЕОРЕМА 21. (Признак Лейбница) Если ряд удовлетворяет условиям - последовательность убывает и является бесконечно малой, то он...
Описание слайда:
Знакочередующийся ряд ТЕОРЕМА 21. (Признак Лейбница) Если ряд удовлетворяет условиям - последовательность убывает и является бесконечно малой, то он сходится

Слайд 80


Пример Следствие. Для ряда лейбницевского типа Отсюда, для любого k
Описание слайда:
Пример Следствие. Для ряда лейбницевского типа Отсюда, для любого k

Слайд 81


ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Функциональная последовательность Функциональный ряд Определены на множестве X
Описание слайда:
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Функциональная последовательность Функциональный ряд Определены на множестве X

Слайд 82


ПРИМЕРЫ 1. 2. Ряд
Описание слайда:
ПРИМЕРЫ 1. 2. Ряд

Слайд 83


Область сходимости Предельная функция для последовательности Сумма функционального ряда Предельная функция для примера 1. ex cумма ряда их примера 2
Описание слайда:
Область сходимости Предельная функция для последовательности Сумма функционального ряда Предельная функция для примера 1. ex cумма ряда их примера 2

Слайд 84


Равномерная сходимость ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Функциональная последовательность равномерно сходится к функции f(x) на множестве X, если Для рядов аналогично
Описание слайда:
Равномерная сходимость ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Функциональная последовательность равномерно сходится к функции f(x) на множестве X, если Для рядов аналогично

Слайд 85


Пример 1 – не равномерная сходимость ТЕОРЕМА 22. (Критерий Коши равномерной сходимости функц. последовательностей) Для равномерной сходимости функц....
Описание слайда:
Пример 1 – не равномерная сходимость ТЕОРЕМА 22. (Критерий Коши равномерной сходимости функц. последовательностей) Для равномерной сходимости функц. последовательности на множестве X необходимо и достаточно выполнение следующего условия:

Слайд 86


ТЕОРЕМА 23. (Критерий Коши равномерной сходимости функц. рядов) Для равномерной сходимости функц. ряда на множестве X необходимо и достаточно...
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 23. (Критерий Коши равномерной сходимости функц. рядов) Для равномерной сходимости функц. ряда на множестве X необходимо и достаточно выполнение следующего условия:

Слайд 87


ТЕОРЕМА 24. (Признак Вейерштрасса) Если для функционального ряда существует сходящийся числовой ряд такой, что при всех x то функц. ряд сходится...
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 24. (Признак Вейерштрасса) Если для функционального ряда существует сходящийся числовой ряд такой, что при всех x то функц. ряд сходится равномерно. МАЖОРАНТА

Слайд 88


ПРИМЕР Признак Вейерштрасса ДОСТАТОЧНЫЙ, НО НЕ НЕОБХОДИМЫЙ. ПРИМЕР.
Описание слайда:
ПРИМЕР Признак Вейерштрасса ДОСТАТОЧНЫЙ, НО НЕ НЕОБХОДИМЫЙ. ПРИМЕР.

Слайд 89


ТЕОРЕМА 25. Пусть последовательность НЕПРЕРЫВНЫХ функций сходится равномерно на отрезке [a,b] к функции f(x). Тогда функция f(x) также НЕПРЕРЫВНАЯ....
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 25. Пусть последовательность НЕПРЕРЫВНЫХ функций сходится равномерно на отрезке [a,b] к функции f(x). Тогда функция f(x) также НЕПРЕРЫВНАЯ. Для рядов аналогично. Условие ДОСТАТОЧНОЕ, не НЕОБХОДИМОЕ

Слайд 90


ТЕОРЕМА 26. Пусть последовательность НЕПРЕРЫВНЫХ функций сходится РАВНОМЕРНО на отрезке [a,b] к функции f(x). Тогда последовательность сходится...
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 26. Пусть последовательность НЕПРЕРЫВНЫХ функций сходится РАВНОМЕРНО на отрезке [a,b] к функции f(x). Тогда последовательность сходится равномерно на отрезке [a,b] к функции

Слайд 91


Для всего промежутка Для рядов
Описание слайда:
Для всего промежутка Для рядов

Слайд 92


ТЕОРЕМА 27. Пусть функции fn(x) непрерывно дифференцируемы на отрезке [a,b], причем последовательность производных fn(x) РАВНОМЕРНО сходится (к...
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 27. Пусть функции fn(x) непрерывно дифференцируемы на отрезке [a,b], причем последовательность производных fn(x) РАВНОМЕРНО сходится (к функции g(x)), При некотором c[a,b] последовательность {fn(c)} сходится. ТОГДА последовательность {fn(x)} сходится равномерно (к функции G(x)), функция G(x) дифференцируемая и G (x)=g(x).

Слайд 93


Иная форма записи: Для рядов: при соответствующих условиях
Описание слайда:
Иная форма записи: Для рядов: при соответствующих условиях

Слайд 94


СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11. Степенным рядом называется функциональный ряд вида Далее будем рассматривать случай x0=0.
Описание слайда:
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11. Степенным рядом называется функциональный ряд вида Далее будем рассматривать случай x0=0.

Слайд 95


Область сходимости степенного ряда Всегда сходится в 0. Может сходиться только в 0 Может сходиться абсолютно при любом x
Описание слайда:
Область сходимости степенного ряда Всегда сходится в 0. Может сходиться только в 0 Может сходиться абсолютно при любом x

Слайд 96


ТЕОРЕМА 28. Пусть степенной ряд сходится при некотором x0 и сходится. не всюду Существует такое число R>0 (радиус сходимости), для которого ряд...
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 28. Пусть степенной ряд сходится при некотором x0 и сходится. не всюду Существует такое число R>0 (радиус сходимости), для которого ряд сходится абсолютно при |x|R . Если сходится всюду, то полагают R=.

Слайд 97


Основа доказательства: Если ряд сходится, то при |x1|
Описание слайда:
Основа доказательства: Если ряд сходится, то при |x1|

Слайд 98


Для нахождения радиуса сходимости можно использовать признаки Даламбера и Коши ПРИМЕР.
Описание слайда:
Для нахождения радиуса сходимости можно использовать признаки Даламбера и Коши ПРИМЕР.

Слайд 99


СВОЙСТВА СУММЫ СТЕПЕННОГО РЯДА ТЕОРЕМА 29. Пусть R>0  радиус сходимости степенного ряда, число r(0, R). На отрезке [r, r] степенной ряд сходится...
Описание слайда:
СВОЙСТВА СУММЫ СТЕПЕННОГО РЯДА ТЕОРЕМА 29. Пусть R>0  радиус сходимости степенного ряда, число r(0, R). На отрезке [r, r] степенной ряд сходится равномерно. СЛЕДСТВИЕ. Сумма степенного ряда непрерывна на интервале (R, R).

Слайд 100


ТЕОРЕМА 30. Пусть R>0  радиус сходимости степенного ряда Радиус сходимости степенных рядов
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 30. Пусть R>0  радиус сходимости степенного ряда Радиус сходимости степенных рядов

Слайд 101


полученных почленным дифференцированием и интегрированием исходного ряда, также равен R.
Описание слайда:
полученных почленным дифференцированием и интегрированием исходного ряда, также равен R.

Слайд 102


РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННОЙ РЯД ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12. Говорят, что функция f(x) разлагается в степенной ряд на интервале (R, R), если существует...
Описание слайда:
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННОЙ РЯД ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12. Говорят, что функция f(x) разлагается в степенной ряд на интервале (R, R), если существует степенной ряд, сумма которого на этом интервале равна f(x). Функция, которая разлагается в степенной ряд, называется аналитической на (R, R).

Слайд 103


СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Аналитическая функция имеет непрерывные производные любого порядка. УСЛОВИЕ НЕОБХОДИМОЕ, НО НЕ ДОСТАТОЧНОЕ! 2. Если...
Описание слайда:
СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Аналитическая функция имеет непрерывные производные любого порядка. УСЛОВИЕ НЕОБХОДИМОЕ, НО НЕ ДОСТАТОЧНОЕ! 2. Если функция аналитическая, то коэффициенты степенного ряда определяются однозначно.

Слайд 104


Если на (R, R), то
Описание слайда:
Если на (R, R), то

Слайд 105


Ряд называется рядом Тэйлора (или Маклорена) функции f(x).
Описание слайда:
Ряд называется рядом Тэйлора (или Маклорена) функции f(x).

Слайд 106


Когда на области сходимости ряда?
Описание слайда:
Когда на области сходимости ряда?

Слайд 107


Формула Тейлора Необходимое и достаточное условие: при всех x из интервала сходимости.
Описание слайда:
Формула Тейлора Необходимое и достаточное условие: при всех x из интервала сходимости.

Слайд 108


Остаточный член в форме Лагранжа:
Описание слайда:
Остаточный член в форме Лагранжа:

Слайд 109


для всякого x (можно рассмотреть ряд) ТЕОРЕМА 31. Если для каждого x из интервала существует число M, для которого то функция аналитическая.
Описание слайда:
для всякого x (можно рассмотреть ряд) ТЕОРЕМА 31. Если для каждого x из интервала существует число M, для которого то функция аналитическая.

Слайд 110


По этому признаку при x(,)
Описание слайда:
По этому признаку при x(,)

Слайд 111


Вычисления Интегралы (считаем, что при t=0)
Описание слайда:
Вычисления Интегралы (считаем, что при t=0)

Слайд 112


Можно доказать: при x(1,1)
Описание слайда:
Можно доказать: при x(1,1)

Слайд 113


ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Рассматриваем функции, определенные на области X плоскости или пространства (R2, R3) f: XR. Обозначения: f(M) (MX)...
Описание слайда:
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Рассматриваем функции, определенные на области X плоскости или пространства (R2, R3) f: XR. Обозначения: f(M) (MX) или f(x,y), f(x1,x2), f(x,y,z), f(x1,x2,x3)

Слайд 114


Окрестности точки M=(x1,x2,x3)X: шары {NX:(N, M)
Описание слайда:
Окрестности точки M=(x1,x2,x3)X: шары {NX:(N, M)

Слайд 115


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13. Точка M называется внутренней точкой множества X , если она принадлежит X вместе с НЕКОТОРОЙ окрестностью. Точка M называется внешней...
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13. Точка M называется внутренней точкой множества X , если она принадлежит X вместе с НЕКОТОРОЙ окрестностью. Точка M называется внешней точкой множества X , если НЕКОТОРАЯ ее окрестность не пересекается с X. Точка M называется граничной точкой множества X, если она не является ни внутренней, ни внешней.

Слайд 116


Иначе. Точка граничная, если в ЛЮБОЙ ее окрестности есть как точки, входящие в X, так и точки, не входящие в X. Граничные точки множества и его...
Описание слайда:
Иначе. Точка граничная, если в ЛЮБОЙ ее окрестности есть как точки, входящие в X, так и точки, не входящие в X. Граничные точки множества и его дополнения совпадают.

Слайд 117


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14. Множество X называется открытым, если все его точки внутренние (не содержит граничных точек). Множество X называется замкнутым, если...
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14. Множество X называется открытым, если все его точки внутренние (не содержит граничных точек). Множество X называется замкнутым, если в него входят все граничные точки. ТЕОРЕМА 32. Дополнение открытого множества замкнутое. Дополнение замкнутого множества открытое.

Слайд 118


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15. Множество называется ограниченным, если оно содержится в некотором круге (шаре). (Непрерывная) кривая - вспомним! ОПРЕДЕЛЕНИЕ 16....
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15. Множество называется ограниченным, если оно содержится в некотором круге (шаре). (Непрерывная) кривая - вспомним! ОПРЕДЕЛЕНИЕ 16. Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить кривой.

Слайд 119


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 17. Последовательность точек M1, M2,…, Mn,… в Rk называется сходящейся, если существует точка ARk такая, что A – предел...
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 17. Последовательность точек M1, M2,…, Mn,… в Rk называется сходящейся, если существует точка ARk такая, что A – предел последовательности, MnA

Слайд 120


ТЕОРЕМА 33. Для того, чтобы необходимо и достаточно выполнение условий Предел последовательности если существует, то единственный.
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 33. Для того, чтобы необходимо и достаточно выполнение условий Предел последовательности если существует, то единственный.

Слайд 121


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 18. Последовательность точек M1, M2,…, Mn,… в в Rk называется фундаментальной, если
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 18. Последовательность точек M1, M2,…, Mn,… в в Rk называется фундаментальной, если

Слайд 122


ТЕОРЕМА 34. (Критерий Коши) Сходимость последовательности точек в Rk равносильна ее фундаментальности.
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 34. (Критерий Коши) Сходимость последовательности точек в Rk равносильна ее фундаментальности.

Слайд 123


НАПОМИНАНИЕ. Множество XRk ограниченное, если оно содержится в некотором шаре, т.е. для некоторого числа A (MX) ((O, M)
Описание слайда:
НАПОМИНАНИЕ. Множество XRk ограниченное, если оно содержится в некотором шаре, т.е. для некоторого числа A (MX) ((O, M)

Слайд 124


ТЕОРЕМА 35. (Больцано-Вейерштрасса) Из любой ограниченной последовательности точек в Rk можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 35. (Больцано-Вейерштрасса) Из любой ограниченной последовательности точек в Rk можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.

Слайд 125


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20. Число b - предел функции f(M) в точке A, если из того, что MnA (Mn A) следует, что f(Mn) b. Число b - предел функции f(M) в точке...
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20. Число b - предел функции f(M) в точке A, если из того, что MnA (Mn A) следует, что f(Mn) b. Число b - предел функции f(M) в точке A, если

Слайд 126


ОБОЗНАЧЕНИЯ
Описание слайда:
ОБОЗНАЧЕНИЯ

Слайд 127


ПРЕДЕЛ НА БЕСКОНЕНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 21. Число b - предел функции f(M) на бесконечности, если
Описание слайда:
ПРЕДЕЛ НА БЕСКОНЕНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 21. Число b - предел функции f(M) на бесконечности, если

Слайд 128


Арифметические операции Если b=0, то функция бесконечно малая в точке M. ПРИМЕР. (x1)p+(y2)q при p,q>0 – бесконечно малая в точке (1,2).
Описание слайда:
Арифметические операции Если b=0, то функция бесконечно малая в точке M. ПРИМЕР. (x1)p+(y2)q при p,q>0 – бесконечно малая в точке (1,2).

Слайд 129


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 22. 1. Функция f(M) называется непрерывной в точке A, если 2. Функция f(M) называется непрерывной в точке A, если
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 22. 1. Функция f(M) называется непрерывной в точке A, если 2. Функция f(M) называется непрерывной в точке A, если

Слайд 130


Функция называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в каждой точке этого множества. Пусть u=f(M). Приращение функции в точке A:...
Описание слайда:
Функция называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в каждой точке этого множества. Пусть u=f(M). Приращение функции в точке A: u=f(M)f(A) A=(a1, a2), M=(a1+x1, a2+x2) u=f(a1+x1, a2+x2)f(a1, a2)

Слайд 131


Разностная форма непрерывности:
Описание слайда:
Разностная форма непрерывности:

Слайд 132


Частные приращения:
Описание слайда:
Частные приращения:

Слайд 133


СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУННКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ТЕОРЕМА 36. Если функции f(M) и g(M) непрерывны в точке A, то функции f(M)g(M), f(M)g(M),...
Описание слайда:
СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУННКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ТЕОРЕМА 36. Если функции f(M) и g(M) непрерывны в точке A, то функции f(M)g(M), f(M)g(M), f(M)/g(M) непрерывны в точке A (отношение при g(A)0).

Слайд 134


Сложная функция. Дано: f(x1, x2, x3), g(t1, t2)=(x1(t1, t2), x2(t1, t2), x3(t1, t2)) Определена функция h(t1, t2)=f(x1(t1, t2), x2(t1, t2), x3(t1,...
Описание слайда:
Сложная функция. Дано: f(x1, x2, x3), g(t1, t2)=(x1(t1, t2), x2(t1, t2), x3(t1, t2)) Определена функция h(t1, t2)=f(x1(t1, t2), x2(t1, t2), x3(t1, t2)) g:R2R3, h:R3R h=g◦f – композиция, суперпзиция

Слайд 135


ТЕОРЕМА 37. Если функции x1(t1, t2), x2(t1, t2), x3(t1, t2) непрерывны в точке (b1, b2), функция f(x1, x2, x3) непрерывна в точке a1= x1 (b1, b2),...
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 37. Если функции x1(t1, t2), x2(t1, t2), x3(t1, t2) непрерывны в точке (b1, b2), функция f(x1, x2, x3) непрерывна в точке a1= x1 (b1, b2), a2= x2 (b1, b2), a3= x3 (b1, b2), ТО функция h(t1, t2) непрерывна в точке (b1, b2).

Слайд 136


ТЕОРЕМА 38. (Устойчивость знака) Если функция f(M) непрерывна в точке A и f(A)0, то существует окрестность точки A, в которой функция сохраняет знак.
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 38. (Устойчивость знака) Если функция f(M) непрерывна в точке A и f(A)0, то существует окрестность точки A, в которой функция сохраняет знак.

Слайд 137


ТЕОРЕМА 39.(Аналог теоремы о промежуточном значении) Пусть функция f(M) непрерывна на СВЯЗНОМ множестве X; A,BX. Для любого числа a, расположенного...
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 39.(Аналог теоремы о промежуточном значении) Пусть функция f(M) непрерывна на СВЯЗНОМ множестве X; A,BX. Для любого числа a, расположенного между f(A) и f(B), существует точка CX, для которой f(C)=a.

Слайд 138


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 23. Замкнутое и ограниченное множество называется компактным.
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 23. Замкнутое и ограниченное множество называется компактным.

Слайд 139


ТЕОРЕМА 39. (Теорема Вейерштрасса) Функция, непрерывная на компактном множестве, ограниченная и достигает наибольшего и наименьшего значений.
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 39. (Теорема Вейерштрасса) Функция, непрерывная на компактном множестве, ограниченная и достигает наибольшего и наименьшего значений.

Слайд 140


ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ Пусть точка M(x,y) является внутренней точкой области определения функции f(x,y) Отношения
Описание слайда:
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ Пусть точка M(x,y) является внутренней точкой области определения функции f(x,y) Отношения

Слайд 141


Вспомним производные! ОПРЕДЕЛЕНИЕ 24. Частной производной функции f(x,y) в точке M(x,y) по переменной x называется если предел существует. Аналогично...
Описание слайда:
Вспомним производные! ОПРЕДЕЛЕНИЕ 24. Частной производной функции f(x,y) в точке M(x,y) по переменной x называется если предел существует. Аналогично по y

Слайд 142


Обозначения: Примеры 1. 2.
Описание слайда:
Обозначения: Примеры 1. 2.

Слайд 143


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 25. Функция f(x,y) называется дифференцируемой в точке (x,y), если f(x,y)=f(x+x,y+y)f(x,y)= =Ax+By+1x+2y A,B НЕ ЗАВИСЯТ от...
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 25. Функция f(x,y) называется дифференцируемой в точке (x,y), если f(x,y)=f(x+x,y+y)f(x,y)= =Ax+By+1x+2y A,B НЕ ЗАВИСЯТ от x,y limx0, y0 1=limx0, y0 2=0 1,2=0 при x=y=0

Слайд 144


Другая форма записи. f(x,y)=Ax+By+о() ЗАМЕЧАНИЕ. Из дифференцируемости следует непрерывность.
Описание слайда:
Другая форма записи. f(x,y)=Ax+By+о() ЗАМЕЧАНИЕ. Из дифференцируемости следует непрерывность.

Слайд 145


ТЕОРЕМА 40. Если функция f(x,y) дифференцируема в точке M(x,y), то в этой точке существуют частные производные, причем ОБРАТНОЕ НЕВЕРНО!
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 40. Если функция f(x,y) дифференцируема в точке M(x,y), то в этой точке существуют частные производные, причем ОБРАТНОЕ НЕВЕРНО!

Слайд 146


u(x,y) – график – поверхность. Что такое «касательная плоскость к поверхности»? На поверхности – точка N0=(x0,y0,u0)
Описание слайда:
u(x,y) – график – поверхность. Что такое «касательная плоскость к поверхности»? На поверхности – точка N0=(x0,y0,u0)

Слайд 147


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 26. Плоскость , проходящая через точку N0, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между этой плоскостью и прямой,...
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 26. Плоскость , проходящая через точку N0, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между этой плоскостью и прямой, проходящей через точку N0 поверхности и любую точку поверхности N1(x,y,u) N0, стремится к 0 при N1N0

Слайд 148


Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №148
Описание слайда:

Слайд 149


ТЕОРЕМА 41. Если функция u(x,y) дифференцируема в точке (x0,y0), то касательная плоскость к графику функции в точке N0 существует и задается...
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 41. Если функция u(x,y) дифференцируема в точке (x0,y0), то касательная плоскость к графику функции в точке N0 существует и задается уравнением

Слайд 150


Нормальный вектор к плоскости
Описание слайда:
Нормальный вектор к плоскости

Слайд 151


Плоскость проходит через точку N0 .
Описание слайда:
Плоскость проходит через точку N0 .

Слайд 152


Достаточное условие дифференцируемости ТЕОРЕМА 42. Если функция f(x,y) имеет НЕПРЕРЫВНЫЕ частные производные в окрестности точки (x,y), то функция в...
Описание слайда:
Достаточное условие дифференцируемости ТЕОРЕМА 42. Если функция f(x,y) имеет НЕПРЕРЫВНЫЕ частные производные в окрестности точки (x,y), то функция в этой точке дифференцируема.

Слайд 153


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 27. Дифференциалом (полным) дифференцируемой функции f(x,y) в точке (x,y) называется Частные дифференциалы:
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 27. Дифференциалом (полным) дифференцируемой функции f(x,y) в точке (x,y) называется Частные дифференциалы:

Слайд 154


Дифференцирование сложной функции Дано: f(x1, x2, x3), g(t1, t2)=(x1(t1, t2), x2(t1, t2), x3(t1, t2)) Определена функция h(t1, t2)=f(x1(t1, t2),...
Описание слайда:
Дифференцирование сложной функции Дано: f(x1, x2, x3), g(t1, t2)=(x1(t1, t2), x2(t1, t2), x3(t1, t2)) Определена функция h(t1, t2)=f(x1(t1, t2), x2(t1, t2), x3(t1, t2)) g:R2R3, f:R3R h=g◦f – композиция, суперпозиция

Слайд 155


Точка AR2, B=g(A)R3 ТЕОРЕМА 43. Пусть - функции xi(t1, t2) (i=1,2,3) дифференцируемы в точке A, - функция f дифференцируема в точке B. ТОГДА...
Описание слайда:
Точка AR2, B=g(A)R3 ТЕОРЕМА 43. Пусть - функции xi(t1, t2) (i=1,2,3) дифференцируемы в точке A, - функция f дифференцируема в точке B. ТОГДА функция h дифференцируема в точке A,

Слайд 156


ее частные производные равны
Описание слайда:
ее частные производные равны

Слайд 157


ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ПЕРВОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА h(u,v)=f(x(u,v), y(u,v)) u,v – независимые переменные
Описание слайда:
ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ПЕРВОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА h(u,v)=f(x(u,v), y(u,v)) u,v – независимые переменные

Слайд 158


ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ d(cu)=cdu d(uv)=dudv d(uv)=udv+vdu d(u/v)=(vduudv)/v2
Описание слайда:
ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ d(cu)=cdu d(uv)=dudv d(uv)=udv+vdu d(u/v)=(vduudv)/v2

Слайд 159


ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ f(x, y, z) M0(x0,y0,z0) Вектор l=(cos , cos , cos ) – единичный Отложим отрезок длины t Получим точку M(x0+tcos...
Описание слайда:
ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ f(x, y, z) M0(x0,y0,z0) Вектор l=(cos , cos , cos ) – единичный Отложим отрезок длины t Получим точку M(x0+tcos ,y0+tcos ,z0+tcos ) g(t) =f(M)

Слайд 160


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 28. Производной функции f(x, y, z) в точке M0 по направлению вектора l называется производная g(t) при t=0, если она существует....
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 28. Производной функции f(x, y, z) в точке M0 по направлению вектора l называется производная g(t) при t=0, если она существует. Обозначение:

Слайд 161


ТЕОРЕМА 44. Если функция f(x, y, z) дифференцируема в точке M0 , то производная по любому направлению существует.
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 44. Если функция f(x, y, z) дифференцируема в точке M0 , то производная по любому направлению существует.

Слайд 162


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 29. Градиентом дифференцируемой функции f(x, y, z) в точке M0 называется вектор Градиент – направление наискорейшего возрастания функции,...
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 29. Градиентом дифференцируемой функции f(x, y, z) в точке M0 называется вектор Градиент – направление наискорейшего возрастания функции, скорость – модуль градиента.

Слайд 163


Для двух переменных
Описание слайда:
Для двух переменных

Слайд 164


ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Производные Пример: f(x, y) =xy Определяются индуктивно
Описание слайда:
ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Производные Пример: f(x, y) =xy Определяются индуктивно

Слайд 165


ТЕОРЕМА 45. Если смешанные производные непрерывны, то они равны. СЛЕДСТВИЕ. Смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования, если они...
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 45. Если смешанные производные непрерывны, то они равны. СЛЕДСТВИЕ. Смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования, если они непрерывны.

Слайд 166


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 30. Функция f(x,y,z) называется n раз дифференцируемой, если все ее частные производные (n1)-го порядка дифференцируемые.
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 30. Функция f(x,y,z) называется n раз дифференцируемой, если все ее частные производные (n1)-го порядка дифференцируемые.

Слайд 167


ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 31. Дифференциалом второго порядка функции f(x,y) называется d2f(x,y)=d(df(x,y)).
Описание слайда:
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 31. Дифференциалом второго порядка функции f(x,y) называется d2f(x,y)=d(df(x,y)).

Слайд 168


Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №168
Описание слайда:

Слайд 169


x,y НЕЗАВИСИМЫЕ dx, dy тоже Тогда Неинвариантность формы второго дифференциала
Описание слайда:
x,y НЕЗАВИСИМЫЕ dx, dy тоже Тогда Неинвариантность формы второго дифференциала

Слайд 170


Индуктивно – дифференциалы более высоких порядков. Оператор
Описание слайда:
Индуктивно – дифференциалы более высоких порядков. Оператор

Слайд 171


ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Для одной переменной (n+1) раз дифференцируемая функция F(t) на интервале, содержащем отрезок [0,1].
Описание слайда:
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Для одной переменной (n+1) раз дифференцируемая функция F(t) на интервале, содержащем отрезок [0,1].

Слайд 172


Дано: функция f(x,y), (n+1) раз дифференцируемая в окрестности U точки M0(x0,y0) точка M(x0+x,y0+y) в этой окрестности. F(t)=f(x0+tx,y0+ty) То же...
Описание слайда:
Дано: функция f(x,y), (n+1) раз дифференцируемая в окрестности U точки M0(x0,y0) точка M(x0+x,y0+y) в этой окрестности. F(t)=f(x0+tx,y0+ty) То же для функции любого числа переменных.

Слайд 173


ТЕОРЕМА 46. Существует точка NU, для которой справедливо равенство Все дифференциалы вычисляются при dx=x, dy=y.
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 46. Существует точка NU, для которой справедливо равенство Все дифференциалы вычисляются при dx=x, dy=y.

Слайд 174


В форме Пеано:
Описание слайда:
В форме Пеано:

Слайд 175


ЛОКАЛЬНЫЕ ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 32. Функция f(M) (MRn) имеет в точке M0 локальный минимум (максимум), если существует...
Описание слайда:
ЛОКАЛЬНЫЕ ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 32. Функция f(M) (MRn) имеет в точке M0 локальный минимум (максимум), если существует такая окрестность точки M0 в пределах которой f(M)f(M0) (f(M)f(M0)). Локальные экстремумы это локальные максимумы и минимумы.

Слайд 176


КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 33. Пусть A – квадратная симметрическая матрица n-го порядка. Функция вида называется квадратичной формой.
Описание слайда:
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 33. Пусть A – квадратная симметрическая матрица n-го порядка. Функция вида называется квадратичной формой.

Слайд 177


ТЕОРЕМА 47. Если функция f(M) (MRn) имеет в точке M0 -все частные производные - локальный экстремум, то ОБРАТНОЕ НЕВЕРНО! Примеры: u=x2+y2+z2,...
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 47. Если функция f(M) (MRn) имеет в точке M0 -все частные производные - локальный экстремум, то ОБРАТНОЕ НЕВЕРНО! Примеры: u=x2+y2+z2, u=x2+y2z2 Cтационарные (критические) точки.

Слайд 178


ВИДЫ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 1. Положительно определенные. F(M)>0 при M=(x1,…, xn)0 Пример: F(x1, x2)=x12+x22 2. Отрицательно определенные. F(M)
Описание слайда:
ВИДЫ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 1. Положительно определенные. F(M)>0 при M=(x1,…, xn)0 Пример: F(x1, x2)=x12+x22 2. Отрицательно определенные. F(M)

Слайд 179


3. Знакопеременная F(M)>0 при некотором MRn F(N)
Описание слайда:
3. Знакопеременная F(M)>0 при некотором MRn F(N)

Слайд 180


ТЕОРЕМА 48. Для положительно определенной квадратичной формы F(x1,x2,…, xn) существует положительное число m такое, что F(x1,x2,…, xn)m(x12...
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 48. Для положительно определенной квадратичной формы F(x1,x2,…, xn) существует положительное число m такое, что F(x1,x2,…, xn)m(x12 +x22+…+xn2 ) Для отрицательно определенных F(x1,x2,…, xn) m(x12 +x22+…+xn2 )

Слайд 181


Функция f (x1,x2,…, xn) трижды дифференцируемая в точке M0. Квадратичная форма относительно (dx1,dx2,…,dxn)
Описание слайда:
Функция f (x1,x2,…, xn) трижды дифференцируемая в точке M0. Квадратичная форма относительно (dx1,dx2,…,dxn)

Слайд 182


ТЕОРЕМА 49. Пусть функция f(M)  трижды дифференцируемая в окрестности стационарной точки M0. Если форма - положительно определенная, то в точке M0...
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 49. Пусть функция f(M)  трижды дифференцируемая в окрестности стационарной точки M0. Если форма - положительно определенная, то в точке M0 локальный минимум. - отрицательно определенная, то в точке M0 локальный максимум. - знакопеременная, то в точке M0 локального экстремума нет.

Слайд 183


КРИТЕРИЙ СИЛЬВЕСТРА
Описание слайда:
КРИТЕРИЙ СИЛЬВЕСТРА

Слайд 184


Угловые миноры Если 1>0, 2>0,…, n>0, то кв. форма положительно определенная Если 10, 30,…, то форма отрицательно определенная
Описание слайда:
Угловые миноры Если 1>0, 2>0,…, n>0, то кв. форма положительно определенная Если 10, 30,…, то форма отрицательно определенная

Слайд 185


Случай двух переменных f(x,y), M0, df=0 ТЕОРЕМА 50. Если AC B2>0, то функция f(x,y) имеет в точке M0 локальный экстремум (минимум при A>0, максимум...
Описание слайда:
Случай двух переменных f(x,y), M0, df=0 ТЕОРЕМА 50. Если AC B2>0, то функция f(x,y) имеет в точке M0 локальный экстремум (минимум при A>0, максимум при A

Слайд 186


Во втором случае: Форма Ax2+2Bxy+Cy2 A>0 При x=1, y=0 форма положительная При x=B/A, y=1 форма отрицательная
Описание слайда:
Во втором случае: Форма Ax2+2Bxy+Cy2 A>0 При x=1, y=0 форма положительная При x=B/A, y=1 форма отрицательная

Слайд 187


ПРИМЕР f(x,y)=x2+y22x2y
Описание слайда:
ПРИМЕР f(x,y)=x2+y22x2y

Слайд 188


НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ Задано уравнение F(x,y,z)=0 Например, x2+y2+z21=0 z(x,y) - ?
Описание слайда:
НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ Задано уравнение F(x,y,z)=0 Например, x2+y2+z21=0 z(x,y) - ?

Слайд 189


Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №189
Описание слайда:

Слайд 190


Вопросы: При каких условиях неявная функция существует? Непрерывная? Дифференцируемая?
Описание слайда:
Вопросы: При каких условиях неявная функция существует? Непрерывная? Дифференцируемая?

Слайд 191


ТЕОРЕМА 51. Пусть - F(x0,y0,z0)=0 -!!! - F дифференцируема в некоторой окрестности точки (x0,y0,z0). ТОГДА
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 51. Пусть - F(x0,y0,z0)=0 -!!! - F дифференцируема в некоторой окрестности точки (x0,y0,z0). ТОГДА

Слайд 192


Для любого >0 существуют окрестность точки (x0,y0) и непрерывная и дифференцируемая функция z(x,y), определенная на этой окрестности, такая, что -...
Описание слайда:
Для любого >0 существуют окрестность точки (x0,y0) и непрерывная и дифференцируемая функция z(x,y), определенная на этой окрестности, такая, что - F(x,y,z(x,y))=0, - |z(x,y)z0|

Слайд 193


Частные производные F(x,y,z)=0 Пример. xyz=sin(x+y+z)
Описание слайда:
Частные производные F(x,y,z)=0 Пример. xyz=sin(x+y+z)

Слайд 194


Для двух переменных F(x,y)=0 Пример. sin(x2+y2)=exy
Описание слайда:
Для двух переменных F(x,y)=0 Пример. sin(x2+y2)=exy

Слайд 195


Касательная плоскость к поверхности, заданной уравнением F(x,y,z)=0 в точке M0(x0,y0,z0). Полагаем grad F(M0)0 Уравнение касательной плоскости
Описание слайда:
Касательная плоскость к поверхности, заданной уравнением F(x,y,z)=0 в точке M0(x0,y0,z0). Полагаем grad F(M0)0 Уравнение касательной плоскости

Слайд 196


Градиент – нормальный вектор к касательной плоскости (к поверхности) Поверхности уровня Линии уровня
Описание слайда:
Градиент – нормальный вектор к касательной плоскости (к поверхности) Поверхности уровня Линии уровня

Слайд 197


УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ Даны: - функция - условие связи. Требуется найти Экстремум в точках, координаты которых удовлетворяют условию связи
Описание слайда:
УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ Даны: - функция - условие связи. Требуется найти Экстремум в точках, координаты которых удовлетворяют условию связи

Слайд 198


Пример. z=x2+y2 Условие связи: x+y=1
Описание слайда:
Пример. z=x2+y2 Условие связи: x+y=1

Слайд 199


Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №199
Описание слайда:

Слайд 200


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 34. Говорят, что функция F(x,y,z) достигает в точке M0(x0,y0,z0) условный максимум (минимум) при условии связи g(x,y,z)=0, если...
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 34. Говорят, что функция F(x,y,z) достигает в точке M0(x0,y0,z0) условный максимум (минимум) при условии связи g(x,y,z)=0, если g(x0,y0,z0)=0 существует окрестность U точки M0 такая, что для любой точки (x,y,z)U, для которой g(x,y,z)=0, справедливо неравенство F(x,y,z)F(x0,y0,z0) (F(x,y,z)F(x0,y0,z0)).

Слайд 201


ТЕОРЕМА 52. Если в точке M0(x0,y0,z0) достигается условный экстремум функции F(x,y,z) при уравнении связи g(x,y,z)=0 и при этом grad g(M0)0, то grad...
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 52. Если в точке M0(x0,y0,z0) достигается условный экстремум функции F(x,y,z) при уравнении связи g(x,y,z)=0 и при этом grad g(M0)0, то grad g(M0) | | grad F(M0), т.е. существует число  такое, что grad F(M0)+ grad g(M0)=0.

Слайд 202


(x,y,z,)=F(x,y,z)+g(x,y,z) – функция Лагранжа,  - множитель Лагранжа Уравнения Лагранжа – НЕОБХОДИМЫЕ условия условного экстремума:
Описание слайда:
(x,y,z,)=F(x,y,z)+g(x,y,z) – функция Лагранжа,  - множитель Лагранжа Уравнения Лагранжа – НЕОБХОДИМЫЕ условия условного экстремума:

Слайд 203


ПРИМЕР z=x2 y2 x2+y2=1
Описание слайда:
ПРИМЕР z=x2 y2 x2+y2=1

Слайд 204


В многомерном случае F(x1,x2,…, xn) – целевая функция Уравнения связи gi(x1,x2,…, xn)=0 (i=1,2,…,k), k
Описание слайда:
В многомерном случае F(x1,x2,…, xn) – целевая функция Уравнения связи gi(x1,x2,…, xn)=0 (i=1,2,…,k), k

Слайд 205


(x1,x2,…, xn,1, 2,…, k)= =F(x1,x2,…, xn) + – функция Лагранжа
Описание слайда:
(x1,x2,…, xn,1, 2,…, k)= =F(x1,x2,…, xn) + – функция Лагранжа

Слайд 206


Необходимые условия экстремума – уравнения Лагранжа (n+k) уравнений с (n+k) неизвестными
Описание слайда:
Необходимые условия экстремума – уравнения Лагранжа (n+k) уравнений с (n+k) неизвестными

Слайд 207


Двойной интеграл Объем криволинейного цилиндра Функция z=f(x,y)>0 Область D на плоскости Объем цилиндра (простого) мы знаем
Описание слайда:
Двойной интеграл Объем криволинейного цилиндра Функция z=f(x,y)>0 Область D на плоскости Объем цилиндра (простого) мы знаем

Слайд 208


Пусть область D прямоугольник [a,b][c,d] 4 этапа Разбиение на малые прямоугольники Выбор точек Нахождение интегральной суммы Переход к пределу
Описание слайда:
Пусть область D прямоугольник [a,b][c,d] 4 этапа Разбиение на малые прямоугольники Выбор точек Нахождение интегральной суммы Переход к пределу

Слайд 209


1. Выбираем точки a=x0
Описание слайда:
1. Выбираем точки a=x0

Слайд 210


2. В каждом прямоугольничке – точки Mij=(ij,ij)
Описание слайда:
2. В каждом прямоугольничке – точки Mij=(ij,ij)

Слайд 211


3. Интегральная сумма Приближение к объему… Диаметр Dij равен
Описание слайда:
3. Интегральная сумма Приближение к объему… Диаметр Dij равен

Слайд 212


4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 35. Двойным интегралом называется если он существует. Обозначения: Функция называется интегрируемой.
Описание слайда:
4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 35. Двойным интегралом называется если он существует. Обозначения: Функция называется интегрируемой.

Слайд 213


ЗАМЕЧАНИЕ. Интегрируемая функция ограниченная Вопросы: Когда двойной интеграл существует? Если существует, как его вычислять?
Описание слайда:
ЗАМЕЧАНИЕ. Интегрируемая функция ограниченная Вопросы: Когда двойной интеграл существует? Если существует, как его вычислять?

Слайд 214


ТЕОРЕМА 53. Если функция f(x,y) непрерывна в области D, то двойной интеграл существует. Если ограниченная функция непрерывна во всех точках области D...
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 53. Если функция f(x,y) непрерывна в области D, то двойной интеграл существует. Если ограниченная функция непрерывна во всех точках области D кроме точек, расположенных на некоторой спрямляемой кривой (или нескольких спрямляемых кривых), то функция интегрируема.

Слайд 215


ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ ПО ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ D, ОГРАНИЧЕННОЙ ОДНОЙ ИЛИ НЕСКОЛЬКИМИ СПРЯМЛЯЕМЫМИ КРИВЫМИ Строим прямоугольник Определим функцию
Описание слайда:
ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ ПО ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ D, ОГРАНИЧЕННОЙ ОДНОЙ ИЛИ НЕСКОЛЬКИМИ СПРЯМЛЯЕМЫМИ КРИВЫМИ Строим прямоугольник Определим функцию

Слайд 216


1. Разбиение области произвольными спрямляемыми кривыми. Получаем подобласти Di с площадями Si (i=1,…,n) 2. Выбираем точки Mi Di 3. Интегральная...
Описание слайда:
1. Разбиение области произвольными спрямляемыми кривыми. Получаем подобласти Di с площадями Si (i=1,…,n) 2. Выбираем точки Mi Di 3. Интегральная сумма

Слайд 217


4. Диаметр области Di diam (Di)=sup{(x,y):x,yDi} =max{diam (Di)}
Описание слайда:
4. Диаметр области Di diam (Di)=sup{(x,y):x,yDi} =max{diam (Di)}

Слайд 218


Замечание. Определения двойного интеграла в старом и новом смысле эквивалентны.
Описание слайда:
Замечание. Определения двойного интеграла в старом и новом смысле эквивалентны.

Слайд 219


Свойства двойных интегралов 1. Аддитивность Если функция f(x,y) интегрируема по области D и область разбита спрямляемой кривой на две области D1, D2...
Описание слайда:
Свойства двойных интегралов 1. Аддитивность Если функция f(x,y) интегрируема по области D и область разбита спрямляемой кривой на две области D1, D2 без общих внутренних точек, то f(x,y) интегрируема по обеим областям D1, D2

Слайд 220


2. Линейность Здесь f,g – функции ,  – числа
Описание слайда:
2. Линейность Здесь f,g – функции ,  – числа

Слайд 221


3. Произведение интегрируемых функций является интегрируемой функцией.
Описание слайда:
3. Произведение интегрируемых функций является интегрируемой функцией.

Слайд 222


4. Если f и g – функции, интегрируемые в D и fg, то
Описание слайда:
4. Если f и g – функции, интегрируемые в D и fg, то

Слайд 223


5. Если функция f интегрируема в области D, то функция |f| - также интегрируема в области D и
Описание слайда:
5. Если функция f интегрируема в области D, то функция |f| - также интегрируема в области D и

Слайд 224


6. Если функция f интегрируема в области D, U=sup {f (M ): MD}, V=inf {f (M ): MD}, то существует число [V,U], для которого S(D) – площадь области
Описание слайда:
6. Если функция f интегрируема в области D, U=sup {f (M ): MD}, V=inf {f (M ): MD}, то существует число [V,U], для которого S(D) – площадь области

Слайд 225


7. Если функция f непрерывна в связной области D, то существует точка MD, для которой
Описание слайда:
7. Если функция f непрерывна в связной области D, то существует точка MD, для которой

Слайд 226


ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА На прямоугольнике [a,b][c,d] Определим функцию
Описание слайда:
ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА На прямоугольнике [a,b][c,d] Определим функцию

Слайд 227


К доказательству 1. Выбираем точки a=x0
Описание слайда:
К доказательству 1. Выбираем точки a=x0

Слайд 228


2. В каждом прямоугольничке – точки Mij=(ij,ij) ТЕПЕРЬ Выбираем точки i[xi1, xi], j[yj1, yj] Полагаем ij=i, ij=j
Описание слайда:
2. В каждом прямоугольничке – точки Mij=(ij,ij) ТЕПЕРЬ Выбираем точки i[xi1, xi], j[yj1, yj] Полагаем ij=i, ij=j

Слайд 229


3.
Описание слайда:
3.

Слайд 230


4. Сначала устремляем к 0 max{yj}
Описание слайда:
4. Сначала устремляем к 0 max{yj}

Слайд 231


Теперь устремляем к 0 max{xi}
Описание слайда:
Теперь устремляем к 0 max{xi}

Слайд 232


ПРИМЕРЫ
Описание слайда:
ПРИМЕРЫ

Слайд 233


Вычисление интеграла по произвольной области ТЕОРЕМА 55. Пусть функция f(x,y) интегрируема в области D, ограниченной прямыми x=a, x=b и графиками...
Описание слайда:
Вычисление интеграла по произвольной области ТЕОРЕМА 55. Пусть функция f(x,y) интегрируема в области D, ограниченной прямыми x=a, x=b и графиками функций y=g(x), y=h(x) (g(x)h(x)). Если при любом x[a, b] существует

Слайд 234


и существует, то Можно интегрировать в другом порядке!
Описание слайда:
и существует, то Можно интегрировать в другом порядке!

Слайд 235


Пример.
Описание слайда:
Пример.

Слайд 236


Можно разбить на части: Кольцо
Описание слайда:
Можно разбить на части: Кольцо

Слайд 237


ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛАХ Отображение (x(u,v), y(u,v)) Взаимно однозначно отображает область плоскости (u,v) на область D плоскости...
Описание слайда:
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛАХ Отображение (x(u,v), y(u,v)) Взаимно однозначно отображает область плоскости (u,v) на область D плоскости (x,y). - Функции x(u,v), y(u,v) непрерывно дифференцируемые.

Слайд 238


Матрица Якоби: Якобиан:
Описание слайда:
Матрица Якоби: Якобиан:

Слайд 239


Полагаем, что якобиан всюду отличен от 0. Разбиваем область на прямоугольнички прямыми u=const, v=const. Соответственно область D разбивается на...
Описание слайда:
Полагаем, что якобиан всюду отличен от 0. Разбиваем область на прямоугольнички прямыми u=const, v=const. Соответственно область D разбивается на области, близкие к параллелограммам

Слайд 240


Пусть левый нижний угол прямоугольника (u,v), стороны u, v. Вершины “почти параллелограмма” A(x(u,v), y(u,v)) B(x(u+u,v), y (u+u,v)) C(x(u,v+v),...
Описание слайда:
Пусть левый нижний угол прямоугольника (u,v), стороны u, v. Вершины “почти параллелограмма” A(x(u,v), y(u,v)) B(x(u+u,v), y (u+u,v)) C(x(u,v+v), y (u,v+v))

Слайд 241


Площадь: Модуль якобиана – коэффициент искажения площади, знак связан с ориентацией
Описание слайда:
Площадь: Модуль якобиана – коэффициент искажения площади, знак связан с ориентацией

Слайд 242


Функция f(x,y) интегрируемая на D. Обозначение: Интегральная сумма Диаметры областей связаны неравенствами
Описание слайда:
Функция f(x,y) интегрируемая на D. Обозначение: Интегральная сумма Диаметры областей связаны неравенствами

Слайд 243


Переходя к пределу при max{diam Dij}0, получаем:
Описание слайда:
Переходя к пределу при max{diam Dij}0, получаем:

Слайд 244


Полярные координаты x=rcos , y=rsin  ПРИМЕР
Описание слайда:
Полярные координаты x=rcos , y=rsin  ПРИМЕР

Слайд 245


ПРИМЕР (интеграл Эйлера-Пуассона)
Описание слайда:
ПРИМЕР (интеграл Эйлера-Пуассона)

Слайд 246


ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ПОВЕРХНОСТИ На плоскости xy – область D Поверхность  задана уравнением z(x,y) ((x,y) D)
Описание слайда:
ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ПОВЕРХНОСТИ На плоскости xy – область D Поверхность  задана уравнением z(x,y) ((x,y) D)

Слайд 247


Область D разбиваем на части Di с площадями Si (i=1,…,n) 2. Выбираем точки PiDi В каждой точке Mi(Pi ,f (Pi)) проводим касательную плоскость к...
Описание слайда:
Область D разбиваем на части Di с площадями Si (i=1,…,n) 2. Выбираем точки PiDi В каждой точке Mi(Pi ,f (Pi)) проводим касательную плоскость к поверхности i – площадь области на касательной плоскости, проекция которой совпадает с Di.

Слайд 248


Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №248
Описание слайда:

Слайд 249


Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №249
Описание слайда:

Слайд 250


3. Находим =max{diam (Di )} 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 37. Площадью поверхности  называется
Описание слайда:
3. Находим =max{diam (Di )} 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 37. Площадью поверхности  называется

Слайд 251


Вычисление i – угол между нормалью к поверхности в точке Mi и осью z i = Si /|cos i| Вектор нормали: (в точке Pi) Вектор k= (0,0,1)
Описание слайда:
Вычисление i – угол между нормалью к поверхности в точке Mi и осью z i = Si /|cos i| Вектор нормали: (в точке Pi) Вектор k= (0,0,1)

Слайд 252


Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №252
Описание слайда:

Слайд 253


ПРИМЕРЫ 1. Площадь сферы x2+y2+z2=R2 2. Площадь части цилиндра x2+y2=a2, которая вырезается цилиндром x2+z2=a2
Описание слайда:
ПРИМЕРЫ 1. Площадь сферы x2+y2+z2=R2 2. Площадь части цилиндра x2+y2=a2, которая вырезается цилиндром x2+z2=a2

Слайд 254


Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №254
Описание слайда:

Слайд 255


ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА Вектор-функция скалярного аргумента t Если вектора отложить от начала координат, то концы векторов пробегают...
Описание слайда:
ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА Вектор-функция скалярного аргумента t Если вектора отложить от начала координат, то концы векторов пробегают кривую – годограф вектор-функции.

Слайд 256


Предел вектор-функции (совпадает с покоординатным) Непрерывность Производная , если не равна 0, направлена по касательной к годографу.
Описание слайда:
Предел вектор-функции (совпадает с покоординатным) Непрерывность Производная , если не равна 0, направлена по касательной к годографу.

Слайд 257


Правила дифференцирования 1. Производная постоянной вектор-функции равна 0. 2. Производная суммы равна сумме производных. 3. (u(t) – скалярная...
Описание слайда:
Правила дифференцирования 1. Производная постоянной вектор-функции равна 0. 2. Производная суммы равна сумме производных. 3. (u(t) – скалярная функция)

Слайд 258


4. (частный случай) 5. 6. 7. Если t=t(), то направление касательной не зависит от параметризации
Описание слайда:
4. (частный случай) 5. 6. 7. Если t=t(), то направление касательной не зависит от параметризации

Слайд 259


Если то плоскость, проходящая через точку годографа и параллельная векторам называется соприкасающейся плоскостью к кривой.
Описание слайда:
Если то плоскость, проходящая через точку годографа и параллельная векторам называется соприкасающейся плоскостью к кривой.

Слайд 260


Особые точки – точки, в которых или не существует
Описание слайда:
Особые точки – точки, в которых или не существует

Скачать

Похожие презентации
Mypresentation.ru
Загрузить презентацию