🗊Презентация Математический анализ. Определенный интеграл

Категория: Математика
Нажмите для полного просмотра!
Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №1Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №2Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №3Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №4Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №5Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №6Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №7Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №8Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №9Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №10Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №11Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №12Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №13Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №14Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №15Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №16Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №17Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №18Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №19Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №20Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №21Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №22Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №23Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №24Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №25Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №26Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №27Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №28Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №29Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №30Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №31Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №32Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №33Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №34Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №35Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №36Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №37Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №38Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №39Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №40Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №41Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №42Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №43Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №44Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №45Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №46Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №47Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №48Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №49Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №50Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №51Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №52Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №53Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №54Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №55Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №56Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №57Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №58Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №59Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №60Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №61Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №62Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №63Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №64Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №65Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №66Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №67Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №68Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №69Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №70Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №71Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №72Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №73Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №74Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №75Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №76Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №77Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №78Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №79Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №80Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №81Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №82Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №83Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №84Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №85Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №86Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №87Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №88Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №89Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №90Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №91Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №92Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №93Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №94Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №95Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №96Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №97Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №98Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №99Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №100Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №101Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №102Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №103Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №104Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №105Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №106Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №107Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №108Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №109Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №110Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №111Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №112Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №113Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №114Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №115Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №116Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №117Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №118Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №119Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №120Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №121Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №122Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №123Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №124Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №125Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №126Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №127Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №128Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №129Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №130Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №131Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №132Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №133Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №134Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №135Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №136Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №137Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №138Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №139Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №140Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №141Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №142Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №143Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №144Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №145Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №146Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №147Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №148Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №149Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №150Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №151Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №152Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №153Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №154Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №155Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №156Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №157Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №158Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №159Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №160Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №161Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №162Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №163Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №164Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №165Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №166Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №167Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №168Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №169Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №170Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №171Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №172Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №173Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №174Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №175Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №176Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №177Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №178Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №179Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №180Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №181Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №182Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №183Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №184Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №185Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №186Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №187Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №188Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №189Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №190Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №191Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №192Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №193Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №194Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №195Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №196Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №197Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №198Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №199Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №200Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №201Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №202Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №203Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №204Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №205Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №206Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №207Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №208Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №209Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №210Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №211Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №212Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №213Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №214Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №215Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №216Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №217Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №218Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №219Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №220Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №221Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №222Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №223Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №224Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №225Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №226Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №227Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №228Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №229Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №230Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №231Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №232Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №233Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №234Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №235Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №236Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №237Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №238Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №239Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №240Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №241Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №242Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №243Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №244Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №245Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №246Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №247Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №248Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №249Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №250Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №251Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №252Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №253Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №254Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №255Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №256Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №257Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №258Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №259Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №260
Скачать

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Математический анализ. Определенный интеграл. Доклад-сообщение содержит 260 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 2 семестр
Описание слайда:
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 2 семестр

Слайд 2


ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Даны: - отрезок [a,b], - неотрицательная функция f(x) Криволинейная трапеция Площадь?
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Даны: - отрезок [a,b], - неотрицательная функция f(x) Криволинейная трапеция Площадь?

Слайд 3


Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №3
Описание слайда:

Слайд 4


4 шага: Разбить отрезок. Выбрать точки. Интегральная сумма. Перейти к пределу.
Описание слайда:
4 шага: Разбить отрезок. Выбрать точки. Интегральная сумма. Перейти к пределу.

Слайд 5


a=x0<x1<…<xn=b, xi=xixi1 (i=1,2,…,n) 2. 1[x0,x1], 2[x1,x2],…, n[xn1,xn] 3. Интегральная сумма f(1)x1+ f(2)x2+…+f(n)xn
Описание слайда:
a=x0<x1<…<xn=b, xi=xixi1 (i=1,2,…,n) 2. 1[x0,x1], 2[x1,x2],…, n[xn1,xn] 3. Интегральная сумма f(1)x1+ f(2)x2+…+f(n)xn

Слайд 6


4. =max{xi} ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если предел интегральных сумм
Описание слайда:
4. =max{xi} ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если предел интегральных сумм

Слайд 7


при 0 существует, то он называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b], обозначается В этом случае функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a,b].
Описание слайда:
при 0 существует, то он называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b], обозначается В этом случае функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a,b].

Слайд 8


Особенность предела! Пример интегрируемой функции: f(x)=с. Замечание. Если функция интегрируемая, то она ограниченная. Обратное неверно (функция Дирихле)
Описание слайда:
Особенность предела! Пример интегрируемой функции: f(x)=с. Замечание. Если функция интегрируемая, то она ограниченная. Обратное неверно (функция Дирихле)

Слайд 9


Много ли интегрируемых функций? ТЕОРЕМА 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке ТЕОРЕМА 2. Монотонная ограниченная функция является интегрируемой. .
Описание слайда:
Много ли интегрируемых функций? ТЕОРЕМА 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке ТЕОРЕМА 2. Монотонная ограниченная функция является интегрируемой. .

Слайд 10


СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 1. (договоренность) 2. (договоренность)
Описание слайда:
СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 1. (договоренность) 2. (договоренность)

Слайд 11


3. (линейность) Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a,b], то функция сf(x)+dg(x) также интегрируема на [a,b], причем
Описание слайда:
3. (линейность) Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a,b], то функция сf(x)+dg(x) также интегрируема на [a,b], причем

Слайд 12


4. Произведение интегрируемых функций интегрируемая функция. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА ПРОИЗВЕДЕНИЯ НЕ СУЩЕСТВУЕТ! 5. Если функция f(x) интегрируема на [a,b], то она интегрируема и на [с,d]  [a,b].
Описание слайда:
4. Произведение интегрируемых функций интегрируемая функция. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛА ПРОИЗВЕДЕНИЯ НЕ СУЩЕСТВУЕТ! 5. Если функция f(x) интегрируема на [a,b], то она интегрируема и на [с,d]  [a,b].

Слайд 13


6. (аддитивность) Если функция f(x) интегрируема на [a,c] и [c,b] , то она интегрируема и на [a,b]. При этом Формула справедлива при любом расположении точек a, b, c
Описание слайда:
6. (аддитивность) Если функция f(x) интегрируема на [a,c] и [c,b] , то она интегрируема и на [a,b]. При этом Формула справедлива при любом расположении точек a, b, c

Слайд 14


ОЦЕНКИ ИНТЕГРАЛОВ Если f(x)0 на [a,b] и интегрируемая, то 2. Если f(x)m на [a,b] и интегрируемая, то
Описание слайда:
ОЦЕНКИ ИНТЕГРАЛОВ Если f(x)0 на [a,b] и интегрируемая, то 2. Если f(x)m на [a,b] и интегрируемая, то

Слайд 15


3. Если непрерывная функция f(x)0 на [a,b] и f(x)>0 в некоторой точке, то 4. Если f(x) и g(x) интегрируемые на [a,b] и f(x)g(x), то
Описание слайда:
3. Если непрерывная функция f(x)0 на [a,b] и f(x)>0 в некоторой точке, то 4. Если f(x) и g(x) интегрируемые на [a,b] и f(x)g(x), то

Слайд 16


5. Если функция f(x) интегрируемая на [a,b], то |f(x)| также интегрируема и
Описание слайда:
5. Если функция f(x) интегрируемая на [a,b], то |f(x)| также интегрируема и

Слайд 17


6. Пусть f(x) и g(x) интегрируемые на [a,b], f(x)0 и m g(x)M. Тогда
Описание слайда:
6. Пусть f(x) и g(x) интегрируемые на [a,b], f(x)0 и m g(x)M. Тогда

Слайд 18


ТЕОРЕМА 3 (о среднем значении). Пусть f(x) интегрируемая на [a,b] и m f(x)M. Существует число [m,M], для которого Геометрический смысл
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 3 (о среднем значении). Пусть f(x) интегрируемая на [a,b] и m f(x)M. Существует число [m,M], для которого Геометрический смысл

Слайд 19


СЛЕДСТВИЕ. Если дополнительно функция f(x) непрерывна на [a,b], то существует число [a,b], для которого
Описание слайда:
СЛЕДСТВИЕ. Если дополнительно функция f(x) непрерывна на [a,b], то существует число [a,b], для которого

Слайд 20


ИНТЕГРАЛ С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕРХНИМ ПРЕДЕЛОМ
Описание слайда:
ИНТЕГРАЛ С ПЕРЕМЕННЫМ ВЕРХНИМ ПРЕДЕЛОМ

Слайд 21


ТЕОРЕМА 4. Функция F(x) непрерывная. ТЕОРЕМА 5. Если функция f(x) непрерывная, то функция F(x) дифференцируемая, причем F (x)=f(x).
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 4. Функция F(x) непрерывная. ТЕОРЕМА 5. Если функция f(x) непрерывная, то функция F(x) дифференцируемая, причем F (x)=f(x).

Слайд 22


СЛЕДСТВИЕ. (Формула Ньютона-Лейбница) Если функция f(x) непрерывная на [a,b] и (x) – первообразная f(x), то
Описание слайда:
СЛЕДСТВИЕ. (Формула Ньютона-Лейбница) Если функция f(x) непрерывная на [a,b] и (x) – первообразная f(x), то

Слайд 23


a=0, b=/2
Описание слайда:
a=0, b=/2

Слайд 24


ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ ТЕОРЕМА 6. Пусть Тогда
Описание слайда:
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ ТЕОРЕМА 6. Пусть Тогда

Слайд 25


ПРИМЕРЫ 1. 2.
Описание слайда:
ПРИМЕРЫ 1. 2.

Слайд 26


ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ ТЕОРЕМА 7. Пусть функции u(x), v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a,b]. Тогда
Описание слайда:
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ ТЕОРЕМА 7. Пусть функции u(x), v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a,b]. Тогда

Слайд 27


ПРИМЕРЫ
Описание слайда:
ПРИМЕРЫ

Слайд 28


ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Длина дуги кривой t - параметр Функции непрерывные! Если разным значениям параметра соответствуют разные точки плоскости, то дуга называется простой.
Описание слайда:
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Длина дуги кривой t - параметр Функции непрерывные! Если разным значениям параметра соответствуют разные точки плоскости, то дуга называется простой.

Слайд 29


ЗАМЕЧАНИЯ 1. Входят кривые, заданные уравнениями y=f(x). 2. Параметр не единственный! Непрерывная монотонная функция u(t), u – тоже параметр
Описание слайда:
ЗАМЕЧАНИЯ 1. Входят кривые, заданные уравнениями y=f(x). 2. Параметр не единственный! Непрерывная монотонная функция u(t), u – тоже параметр

Слайд 30


Строфоида Простые дуги на множествах t<0, t>0
Описание слайда:
Строфоида Простые дуги на множествах t<0, t>0

Слайд 31


Пространственные кривые Пример x=r sin t, y=r cos t, z=ct
Описание слайда:
Пространственные кривые Пример x=r sin t, y=r cos t, z=ct

Слайд 32


Длина дуги. Диагональ квадрата Вписанная ломаная x=(t), y=(t)
Описание слайда:
Длина дуги. Диагональ квадрата Вписанная ломаная x=(t), y=(t)

Слайд 33


Шаг разбиения =max{ti} ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Предел длин вписанных ломаных при 0, если он существует, называется длиной дуги, дуга в этом случае называется спрямляемой.
Описание слайда:
Шаг разбиения =max{ti} ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Предел длин вписанных ломаных при 0, если он существует, называется длиной дуги, дуга в этом случае называется спрямляемой.

Слайд 34


ТЕОРЕМА 8 (Достаточные условия спрямляемости. Вычисление длины дуги) Пусть функции x=(t), y= (t) имеют непрерывные производные на отрезке [,]. Тогда дуга спрямляемая, ее длина Для дуги пространственной кривой - аналогично
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 8 (Достаточные условия спрямляемости. Вычисление длины дуги) Пусть функции x=(t), y= (t) имеют непрерывные производные на отрезке [,]. Тогда дуга спрямляемая, ее длина Для дуги пространственной кривой - аналогично

Слайд 35


Если дуга спрямляемая, то длина не зависит от параметризации непрерывно дифференцируемой функцией. Если спрямляемая кривая разбита на части, то каждая часть спрямляемая и длина всей дуги равна сумме длин частей. Пусть l=l(t) – длина дуги кривой от  до t. l – параметр (натуральный)
Описание слайда:
Если дуга спрямляемая, то длина не зависит от параметризации непрерывно дифференцируемой функцией. Если спрямляемая кривая разбита на части, то каждая часть спрямляемая и длина всей дуги равна сумме длин частей. Пусть l=l(t) – длина дуги кривой от  до t. l – параметр (натуральный)

Слайд 36


Для кривой y=f(x) Для кривой, заданной в полярных координатах уравнением r() (1   2)
Описание слайда:
Для кривой y=f(x) Для кривой, заданной в полярных координатах уравнением r() (1   2)

Слайд 37


Дифференциал дуги Для пространственной кривой
Описание слайда:
Дифференциал дуги Для пространственной кривой

Слайд 38


Примеры вычисления длины дуги. 1. Циклоида 2. Цепная линия [0,a] 3. Длина дуги эллипса
Описание слайда:
Примеры вычисления длины дуги. 1. Циклоида 2. Цепная линия [0,a] 3. Длина дуги эллипса

Слайд 39


ПЛОШАДЬ ПЛОСКИХ ФИГУР 1. Криволинейная трапеция
Описание слайда:
ПЛОШАДЬ ПЛОСКИХ ФИГУР 1. Криволинейная трапеция

Слайд 40


2. Криволинейный сектор
Описание слайда:
2. Криволинейный сектор

Слайд 41


Примеры 1. y=x2, [0,1] 2.
Описание слайда:
Примеры 1. y=x2, [0,1] 2.

Слайд 42


3. Трилистник
Описание слайда:
3. Трилистник

Слайд 43


ОБЪЕМ ТЕЛ Объем аддитивен Объем единичного кубика 1 ОТСЮДА Объем цилиндрического тела V=Sh
Описание слайда:
ОБЪЕМ ТЕЛ Объем аддитивен Объем единичного кубика 1 ОТСЮДА Объем цилиндрического тела V=Sh

Слайд 44


S(x) – площадь сечения
Описание слайда:
S(x) – площадь сечения

Слайд 45


Объем тела вращения Криволинейная трапеция axb, 0yf(x), f(x) – непрерывная функция Тело получено вращением трапеции вокруг оси абсцисс
Описание слайда:
Объем тела вращения Криволинейная трапеция axb, 0yf(x), f(x) – непрерывная функция Тело получено вращением трапеции вокруг оси абсцисс

Слайд 46


ПРИМЕРЫ 1. y=sin x на [0,] 2. Астроида
Описание слайда:
ПРИМЕРЫ 1. y=sin x на [0,] 2. Астроида

Слайд 47


ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Описание слайда:
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

Слайд 48


Площадь боковой поверхности конического тела li=
Описание слайда:
Площадь боковой поверхности конического тела li=

Слайд 49


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Площадью поверхности вращения называется =max{xi}
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Площадью поверхности вращения называется =max{xi}

Слайд 50


При параметрическом задании
Описание слайда:
При параметрическом задании

Слайд 51


ПРИМЕРЫ 1. 2. Циклоида
Описание слайда:
ПРИМЕРЫ 1. 2. Циклоида

Слайд 52


НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Обобщение интеграла на бесконечные промежутки и неограниченные функции 1 рода Пусть функция f(x) определена на [a,) интегрируемая на [a,b]
Описание слайда:
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Обобщение интеграла на бесконечные промежутки и неограниченные функции 1 рода Пусть функция f(x) определена на [a,) интегрируемая на [a,b]

Слайд 53


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Несобственным интегралом 1 рода называется Если предел не существует, то интеграл расходится
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Несобственным интегралом 1 рода называется Если предел не существует, то интеграл расходится

Слайд 54


Примеры
Описание слайда:
Примеры

Слайд 55


Аналогично Если f(x) непрерывна на всей прямой, то
Описание слайда:
Аналогично Если f(x) непрерывна на всей прямой, то

Слайд 56


Достаточное условие сходимости НИ 1 рода ТЕОРЕМА 9. Если f(x)0, интегрируема на [a,b] при любом b>a и то сходится.
Описание слайда:
Достаточное условие сходимости НИ 1 рода ТЕОРЕМА 9. Если f(x)0, интегрируема на [a,b] при любом b>a и то сходится.

Слайд 57


НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2 РОДА
Описание слайда:
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2 РОДА

Слайд 58


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Несобственным интегралом 2 рода называется Обозначение Если предел не существует, то интеграл расходится.
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Несобственным интегралом 2 рода называется Обозначение Если предел не существует, то интеграл расходится.

Слайд 59


Аналогично, если особая точка – левый конец промежутка. ПРИМЕР.
Описание слайда:
Аналогично, если особая точка – левый конец промежутка. ПРИМЕР.

Слайд 60


ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовая последовательность ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Числовым рядом называется символ
Описание слайда:
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Числовая последовательность ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Числовым рядом называется символ

Слайд 61


Частичные суммы ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Числовой ряд сходится, если существует S – сумма ряда Если предел не существует, то ряд расходится.
Описание слайда:
Частичные суммы ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Числовой ряд сходится, если существует S – сумма ряда Если предел не существует, то ряд расходится.

Слайд 62


ПРИМЕРЫ 1. 11+11+… 2. 3.
Описание слайда:
ПРИМЕРЫ 1. 11+11+… 2. 3.

Слайд 63


ТЕОРЕМА 10 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то ui 0. ПРИМЕР.
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 10 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то ui 0. ПРИМЕР.

Слайд 64


ЗАМЕЧАНИЯ. 1. 3.Сумма сходящихся рядов сходящийся ряд.
Описание слайда:
ЗАМЕЧАНИЯ. 1. 3.Сумма сходящихся рядов сходящийся ряд.

Слайд 65


РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ ТЕОРЕМА 11. Для сходимости ряда с положительными членами необходимо и достаточно, чтобы его частичные суммы были ограничены. ТЕОРЕМА 12. (признак сравнения) Пусть и - ряды с положительными членами, причем Если сходится ряд , то сходится и ряд Если расходится ряд , то расходится и ряд
Описание слайда:
РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ ТЕОРЕМА 11. Для сходимости ряда с положительными членами необходимо и достаточно, чтобы его частичные суммы были ограничены. ТЕОРЕМА 12. (признак сравнения) Пусть и - ряды с положительными членами, причем Если сходится ряд , то сходится и ряд Если расходится ряд , то расходится и ряд

Слайд 66


ЗАМЕЧАНИЯ. 1. То же самое справедливо, если при некотором c>0. 2. Неравенство может выполняться начиная с некоторого i.
Описание слайда:
ЗАМЕЧАНИЯ. 1. То же самое справедливо, если при некотором c>0. 2. Неравенство может выполняться начиная с некоторого i.

Слайд 67


ТЕОРЕМА 13. (предельный признак сравнения) Если , - ряды с положительными членами, причем существует то ряды сходятся или расходятся одновременно.
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 13. (предельный признак сравнения) Если , - ряды с положительными членами, причем существует то ряды сходятся или расходятся одновременно.

Слайд 68


ПРИМЕРЫ 1. 2.
Описание слайда:
ПРИМЕРЫ 1. 2.

Слайд 69


ТЕОРЕМА 14. (Признак Даламбера) 1. Если члены ряда положительные и начиная с некоторого номера то ряд сходится (расходится)
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 14. (Признак Даламбера) 1. Если члены ряда положительные и начиная с некоторого номера то ряд сходится (расходится)

Слайд 70


2. Если существует предел то при L<1 ряд сходится, при L>1 ряд расходится
Описание слайда:
2. Если существует предел то при L<1 ряд сходится, при L>1 ряд расходится

Слайд 71


ТЕОРЕМА 15. (Признак Коши) 1. Если начиная с некоторого номера то ряд сходится (расходится). 2. Если существует предел то при L<1 ряд сходится, при L>1 ряд расходится
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 15. (Признак Коши) 1. Если начиная с некоторого номера то ряд сходится (расходится). 2. Если существует предел то при L<1 ряд сходится, при L>1 ряд расходится

Слайд 72


ПРИМЕРЫ 1. 2.
Описание слайда:
ПРИМЕРЫ 1. 2.

Слайд 73


ТЕОРЕМА 16. (Интегральный признак сходимости). Пусть неотрицательная функция f(x) является невозрастающей на множестве [1,+). Ряд и сходятся или расходятся одновременно.
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 16. (Интегральный признак сходимости). Пусть неотрицательная функция f(x) является невозрастающей на множестве [1,+). Ряд и сходятся или расходятся одновременно.

Слайд 74


ПРИМЕРЫ 1. 2.
Описание слайда:
ПРИМЕРЫ 1. 2.

Слайд 75


Для произвольных рядов – критерий Коши (следствие критерия для последовательностей) ТЕОРЕМА 17. Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы
Описание слайда:
Для произвольных рядов – критерий Коши (следствие критерия для последовательностей) ТЕОРЕМА 17. Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы

Слайд 76


Знакопеременные ряды ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Числовой ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
Описание слайда:
Знакопеременные ряды ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Числовой ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

Слайд 77


ТЕОРЕМА 18. Если ряд сходится абсолютно, то ряд сходится. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Сходящийся ряд сходится условно, если ряд расходится.
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 18. Если ряд сходится абсолютно, то ряд сходится. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Сходящийся ряд сходится условно, если ряд расходится.

Слайд 78


Перестановки ряда ТЕОРЕМА 19. (Коши) Перестановка любого абсолютно сходящегося ряда – абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда. ТЕОРЕМА 20. (Риман) Если ряд сходится условно, то для любого L существует перестановка ряда, сумма которой равна L.
Описание слайда:
Перестановки ряда ТЕОРЕМА 19. (Коши) Перестановка любого абсолютно сходящегося ряда – абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда. ТЕОРЕМА 20. (Риман) Если ряд сходится условно, то для любого L существует перестановка ряда, сумма которой равна L.

Слайд 79


Знакочередующийся ряд ТЕОРЕМА 21. (Признак Лейбница) Если ряд удовлетворяет условиям - последовательность убывает и является бесконечно малой, то он сходится
Описание слайда:
Знакочередующийся ряд ТЕОРЕМА 21. (Признак Лейбница) Если ряд удовлетворяет условиям - последовательность убывает и является бесконечно малой, то он сходится

Слайд 80


Пример Следствие. Для ряда лейбницевского типа Отсюда, для любого k
Описание слайда:
Пример Следствие. Для ряда лейбницевского типа Отсюда, для любого k

Слайд 81


ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Функциональная последовательность Функциональный ряд Определены на множестве X
Описание слайда:
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Функциональная последовательность Функциональный ряд Определены на множестве X

Слайд 82


ПРИМЕРЫ 1. 2. Ряд
Описание слайда:
ПРИМЕРЫ 1. 2. Ряд

Слайд 83


Область сходимости Предельная функция для последовательности Сумма функционального ряда Предельная функция для примера 1. ex cумма ряда их примера 2
Описание слайда:
Область сходимости Предельная функция для последовательности Сумма функционального ряда Предельная функция для примера 1. ex cумма ряда их примера 2

Слайд 84


Равномерная сходимость ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Функциональная последовательность равномерно сходится к функции f(x) на множестве X, если Для рядов аналогично
Описание слайда:
Равномерная сходимость ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Функциональная последовательность равномерно сходится к функции f(x) на множестве X, если Для рядов аналогично

Слайд 85


Пример 1 – не равномерная сходимость ТЕОРЕМА 22. (Критерий Коши равномерной сходимости функц. последовательностей) Для равномерной сходимости функц. последовательности на множестве X необходимо и достаточно выполнение следующего условия:
Описание слайда:
Пример 1 – не равномерная сходимость ТЕОРЕМА 22. (Критерий Коши равномерной сходимости функц. последовательностей) Для равномерной сходимости функц. последовательности на множестве X необходимо и достаточно выполнение следующего условия:

Слайд 86


ТЕОРЕМА 23. (Критерий Коши равномерной сходимости функц. рядов) Для равномерной сходимости функц. ряда на множестве X необходимо и достаточно выполнение следующего условия:
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 23. (Критерий Коши равномерной сходимости функц. рядов) Для равномерной сходимости функц. ряда на множестве X необходимо и достаточно выполнение следующего условия:

Слайд 87


ТЕОРЕМА 24. (Признак Вейерштрасса) Если для функционального ряда существует сходящийся числовой ряд такой, что при всех x то функц. ряд сходится равномерно. МАЖОРАНТА
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 24. (Признак Вейерштрасса) Если для функционального ряда существует сходящийся числовой ряд такой, что при всех x то функц. ряд сходится равномерно. МАЖОРАНТА

Слайд 88


ПРИМЕР Признак Вейерштрасса ДОСТАТОЧНЫЙ, НО НЕ НЕОБХОДИМЫЙ. ПРИМЕР.
Описание слайда:
ПРИМЕР Признак Вейерштрасса ДОСТАТОЧНЫЙ, НО НЕ НЕОБХОДИМЫЙ. ПРИМЕР.

Слайд 89


ТЕОРЕМА 25. Пусть последовательность НЕПРЕРЫВНЫХ функций сходится равномерно на отрезке [a,b] к функции f(x). Тогда функция f(x) также НЕПРЕРЫВНАЯ. Для рядов аналогично. Условие ДОСТАТОЧНОЕ, не НЕОБХОДИМОЕ
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 25. Пусть последовательность НЕПРЕРЫВНЫХ функций сходится равномерно на отрезке [a,b] к функции f(x). Тогда функция f(x) также НЕПРЕРЫВНАЯ. Для рядов аналогично. Условие ДОСТАТОЧНОЕ, не НЕОБХОДИМОЕ

Слайд 90


ТЕОРЕМА 26. Пусть последовательность НЕПРЕРЫВНЫХ функций сходится РАВНОМЕРНО на отрезке [a,b] к функции f(x). Тогда последовательность сходится равномерно на отрезке [a,b] к функции
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 26. Пусть последовательность НЕПРЕРЫВНЫХ функций сходится РАВНОМЕРНО на отрезке [a,b] к функции f(x). Тогда последовательность сходится равномерно на отрезке [a,b] к функции

Слайд 91


Для всего промежутка Для рядов
Описание слайда:
Для всего промежутка Для рядов

Слайд 92


ТЕОРЕМА 27. Пусть функции fn(x) непрерывно дифференцируемы на отрезке [a,b], причем последовательность производных fn(x) РАВНОМЕРНО сходится (к функции g(x)), При некотором c[a,b] последовательность {fn(c)} сходится. ТОГДА последовательность {fn(x)} сходится равномерно (к функции G(x)), функция G(x) дифференцируемая и G (x)=g(x).
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 27. Пусть функции fn(x) непрерывно дифференцируемы на отрезке [a,b], причем последовательность производных fn(x) РАВНОМЕРНО сходится (к функции g(x)), При некотором c[a,b] последовательность {fn(c)} сходится. ТОГДА последовательность {fn(x)} сходится равномерно (к функции G(x)), функция G(x) дифференцируемая и G (x)=g(x).

Слайд 93


Иная форма записи: Для рядов: при соответствующих условиях
Описание слайда:
Иная форма записи: Для рядов: при соответствующих условиях

Слайд 94


СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11. Степенным рядом называется функциональный ряд вида Далее будем рассматривать случай x0=0.
Описание слайда:
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11. Степенным рядом называется функциональный ряд вида Далее будем рассматривать случай x0=0.

Слайд 95


Область сходимости степенного ряда Всегда сходится в 0. Может сходиться только в 0 Может сходиться абсолютно при любом x
Описание слайда:
Область сходимости степенного ряда Всегда сходится в 0. Может сходиться только в 0 Может сходиться абсолютно при любом x

Слайд 96


ТЕОРЕМА 28. Пусть степенной ряд сходится при некотором x0 и сходится. не всюду Существует такое число R>0 (радиус сходимости), для которого ряд сходится абсолютно при |x|<R и расходится при |x|>R . Если сходится всюду, то полагают R=.
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 28. Пусть степенной ряд сходится при некотором x0 и сходится. не всюду Существует такое число R>0 (радиус сходимости), для которого ряд сходится абсолютно при |x|<R и расходится при |x|>R . Если сходится всюду, то полагают R=.

Слайд 97


Основа доказательства: Если ряд сходится, то при |x1|<|x0| ряд сходится абсолютно. R=sup{x: ряд сходится} Концы промежутка???
Описание слайда:
Основа доказательства: Если ряд сходится, то при |x1|<|x0| ряд сходится абсолютно. R=sup{x: ряд сходится} Концы промежутка???

Слайд 98


Для нахождения радиуса сходимости можно использовать признаки Даламбера и Коши ПРИМЕР.
Описание слайда:
Для нахождения радиуса сходимости можно использовать признаки Даламбера и Коши ПРИМЕР.

Слайд 99


СВОЙСТВА СУММЫ СТЕПЕННОГО РЯДА ТЕОРЕМА 29. Пусть R>0  радиус сходимости степенного ряда, число r(0, R). На отрезке [r, r] степенной ряд сходится равномерно. СЛЕДСТВИЕ. Сумма степенного ряда непрерывна на интервале (R, R).
Описание слайда:
СВОЙСТВА СУММЫ СТЕПЕННОГО РЯДА ТЕОРЕМА 29. Пусть R>0  радиус сходимости степенного ряда, число r(0, R). На отрезке [r, r] степенной ряд сходится равномерно. СЛЕДСТВИЕ. Сумма степенного ряда непрерывна на интервале (R, R).

Слайд 100


ТЕОРЕМА 30. Пусть R>0  радиус сходимости степенного ряда Радиус сходимости степенных рядов
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 30. Пусть R>0  радиус сходимости степенного ряда Радиус сходимости степенных рядов

Слайд 101


полученных почленным дифференцированием и интегрированием исходного ряда, также равен R.
Описание слайда:
полученных почленным дифференцированием и интегрированием исходного ряда, также равен R.

Слайд 102


РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННОЙ РЯД ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12. Говорят, что функция f(x) разлагается в степенной ряд на интервале (R, R), если существует степенной ряд, сумма которого на этом интервале равна f(x). Функция, которая разлагается в степенной ряд, называется аналитической на (R, R).
Описание слайда:
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННОЙ РЯД ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12. Говорят, что функция f(x) разлагается в степенной ряд на интервале (R, R), если существует степенной ряд, сумма которого на этом интервале равна f(x). Функция, которая разлагается в степенной ряд, называется аналитической на (R, R).

Слайд 103


СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Аналитическая функция имеет непрерывные производные любого порядка. УСЛОВИЕ НЕОБХОДИМОЕ, НО НЕ ДОСТАТОЧНОЕ! 2. Если функция аналитическая, то коэффициенты степенного ряда определяются однозначно.
Описание слайда:
СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Аналитическая функция имеет непрерывные производные любого порядка. УСЛОВИЕ НЕОБХОДИМОЕ, НО НЕ ДОСТАТОЧНОЕ! 2. Если функция аналитическая, то коэффициенты степенного ряда определяются однозначно.

Слайд 104


Если на (R, R), то
Описание слайда:
Если на (R, R), то

Слайд 105


Ряд называется рядом Тэйлора (или Маклорена) функции f(x).
Описание слайда:
Ряд называется рядом Тэйлора (или Маклорена) функции f(x).

Слайд 106


Когда на области сходимости ряда?
Описание слайда:
Когда на области сходимости ряда?

Слайд 107


Формула Тейлора Необходимое и достаточное условие: при всех x из интервала сходимости.
Описание слайда:
Формула Тейлора Необходимое и достаточное условие: при всех x из интервала сходимости.

Слайд 108


Остаточный член в форме Лагранжа:
Описание слайда:
Остаточный член в форме Лагранжа:

Слайд 109


для всякого x (можно рассмотреть ряд) ТЕОРЕМА 31. Если для каждого x из интервала существует число M, для которого то функция аналитическая.
Описание слайда:
для всякого x (можно рассмотреть ряд) ТЕОРЕМА 31. Если для каждого x из интервала существует число M, для которого то функция аналитическая.

Слайд 110


По этому признаку при x(,)
Описание слайда:
По этому признаку при x(,)

Слайд 111


Вычисления Интегралы (считаем, что при t=0)
Описание слайда:
Вычисления Интегралы (считаем, что при t=0)

Слайд 112


Можно доказать: при x(1,1)
Описание слайда:
Можно доказать: при x(1,1)

Слайд 113


ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Рассматриваем функции, определенные на области X плоскости или пространства (R2, R3) f: XR. Обозначения: f(M) (MX) или f(x,y), f(x1,x2), f(x,y,z), f(x1,x2,x3)
Описание слайда:
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Рассматриваем функции, определенные на области X плоскости или пространства (R2, R3) f: XR. Обозначения: f(M) (MX) или f(x,y), f(x1,x2), f(x,y,z), f(x1,x2,x3)

Слайд 114


Окрестности точки M=(x1,x2,x3)X: шары {NX:(N, M)<} или параллелепипеды {(y1,y2,y3)X:|yi xi|<}
Описание слайда:
Окрестности точки M=(x1,x2,x3)X: шары {NX:(N, M)<} или параллелепипеды {(y1,y2,y3)X:|yi xi|<}

Слайд 115


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13. Точка M называется внутренней точкой множества X , если она принадлежит X вместе с НЕКОТОРОЙ окрестностью. Точка M называется внешней точкой множества X , если НЕКОТОРАЯ ее окрестность не пересекается с X. Точка M называется граничной точкой множества X, если она не является ни внутренней, ни внешней.
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13. Точка M называется внутренней точкой множества X , если она принадлежит X вместе с НЕКОТОРОЙ окрестностью. Точка M называется внешней точкой множества X , если НЕКОТОРАЯ ее окрестность не пересекается с X. Точка M называется граничной точкой множества X, если она не является ни внутренней, ни внешней.

Слайд 116


Иначе. Точка граничная, если в ЛЮБОЙ ее окрестности есть как точки, входящие в X, так и точки, не входящие в X. Граничные точки множества и его дополнения совпадают.
Описание слайда:
Иначе. Точка граничная, если в ЛЮБОЙ ее окрестности есть как точки, входящие в X, так и точки, не входящие в X. Граничные точки множества и его дополнения совпадают.

Слайд 117


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14. Множество X называется открытым, если все его точки внутренние (не содержит граничных точек). Множество X называется замкнутым, если в него входят все граничные точки. ТЕОРЕМА 32. Дополнение открытого множества замкнутое. Дополнение замкнутого множества открытое.
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14. Множество X называется открытым, если все его точки внутренние (не содержит граничных точек). Множество X называется замкнутым, если в него входят все граничные точки. ТЕОРЕМА 32. Дополнение открытого множества замкнутое. Дополнение замкнутого множества открытое.

Слайд 118


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15. Множество называется ограниченным, если оно содержится в некотором круге (шаре). (Непрерывная) кривая - вспомним! ОПРЕДЕЛЕНИЕ 16. Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить кривой.
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15. Множество называется ограниченным, если оно содержится в некотором круге (шаре). (Непрерывная) кривая - вспомним! ОПРЕДЕЛЕНИЕ 16. Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить кривой.

Слайд 119


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 17. Последовательность точек M1, M2,…, Mn,… в Rk называется сходящейся, если существует точка ARk такая, что A – предел последовательности, MnA
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 17. Последовательность точек M1, M2,…, Mn,… в Rk называется сходящейся, если существует точка ARk такая, что A – предел последовательности, MnA

Слайд 120


ТЕОРЕМА 33. Для того, чтобы необходимо и достаточно выполнение условий Предел последовательности если существует, то единственный.
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 33. Для того, чтобы необходимо и достаточно выполнение условий Предел последовательности если существует, то единственный.

Слайд 121


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 18. Последовательность точек M1, M2,…, Mn,… в в Rk называется фундаментальной, если
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 18. Последовательность точек M1, M2,…, Mn,… в в Rk называется фундаментальной, если

Слайд 122


ТЕОРЕМА 34. (Критерий Коши) Сходимость последовательности точек в Rk равносильна ее фундаментальности.
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 34. (Критерий Коши) Сходимость последовательности точек в Rk равносильна ее фундаментальности.

Слайд 123


НАПОМИНАНИЕ. Множество XRk ограниченное, если оно содержится в некотором шаре, т.е. для некоторого числа A (MX) ((O, M)<A) Равносильно с параллелепипедом Сходящаяся последовательность ограничена.
Описание слайда:
НАПОМИНАНИЕ. Множество XRk ограниченное, если оно содержится в некотором шаре, т.е. для некоторого числа A (MX) ((O, M)<A) Равносильно с параллелепипедом Сходящаяся последовательность ограничена.

Слайд 124


ТЕОРЕМА 35. (Больцано-Вейерштрасса) Из любой ограниченной последовательности точек в Rk можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 35. (Больцано-Вейерштрасса) Из любой ограниченной последовательности точек в Rk можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.

Слайд 125


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20. Число b - предел функции f(M) в точке A, если из того, что MnA (Mn A) следует, что f(Mn) b. Число b - предел функции f(M) в точке A, если
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20. Число b - предел функции f(M) в точке A, если из того, что MnA (Mn A) следует, что f(Mn) b. Число b - предел функции f(M) в точке A, если

Слайд 126


ОБОЗНАЧЕНИЯ
Описание слайда:
ОБОЗНАЧЕНИЯ

Слайд 127


ПРЕДЕЛ НА БЕСКОНЕНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 21. Число b - предел функции f(M) на бесконечности, если
Описание слайда:
ПРЕДЕЛ НА БЕСКОНЕНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 21. Число b - предел функции f(M) на бесконечности, если

Слайд 128


Арифметические операции Если b=0, то функция бесконечно малая в точке M. ПРИМЕР. (x1)p+(y2)q при p,q>0 – бесконечно малая в точке (1,2).
Описание слайда:
Арифметические операции Если b=0, то функция бесконечно малая в точке M. ПРИМЕР. (x1)p+(y2)q при p,q>0 – бесконечно малая в точке (1,2).

Слайд 129


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 22. 1. Функция f(M) называется непрерывной в точке A, если 2. Функция f(M) называется непрерывной в точке A, если
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 22. 1. Функция f(M) называется непрерывной в точке A, если 2. Функция f(M) называется непрерывной в точке A, если

Слайд 130


Функция называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в каждой точке этого множества. Пусть u=f(M). Приращение функции в точке A: u=f(M)f(A) A=(a1, a2), M=(a1+x1, a2+x2) u=f(a1+x1, a2+x2)f(a1, a2)
Описание слайда:
Функция называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в каждой точке этого множества. Пусть u=f(M). Приращение функции в точке A: u=f(M)f(A) A=(a1, a2), M=(a1+x1, a2+x2) u=f(a1+x1, a2+x2)f(a1, a2)

Слайд 131


Разностная форма непрерывности:
Описание слайда:
Разностная форма непрерывности:

Слайд 132


Частные приращения:
Описание слайда:
Частные приращения:

Слайд 133


СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУННКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ТЕОРЕМА 36. Если функции f(M) и g(M) непрерывны в точке A, то функции f(M)g(M), f(M)g(M), f(M)/g(M) непрерывны в точке A (отношение при g(A)0).
Описание слайда:
СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУННКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ТЕОРЕМА 36. Если функции f(M) и g(M) непрерывны в точке A, то функции f(M)g(M), f(M)g(M), f(M)/g(M) непрерывны в точке A (отношение при g(A)0).

Слайд 134


Сложная функция. Дано: f(x1, x2, x3), g(t1, t2)=(x1(t1, t2), x2(t1, t2), x3(t1, t2)) Определена функция h(t1, t2)=f(x1(t1, t2), x2(t1, t2), x3(t1, t2)) g:R2R3, h:R3R h=g◦f – композиция, суперпзиция
Описание слайда:
Сложная функция. Дано: f(x1, x2, x3), g(t1, t2)=(x1(t1, t2), x2(t1, t2), x3(t1, t2)) Определена функция h(t1, t2)=f(x1(t1, t2), x2(t1, t2), x3(t1, t2)) g:R2R3, h:R3R h=g◦f – композиция, суперпзиция

Слайд 135


ТЕОРЕМА 37. Если функции x1(t1, t2), x2(t1, t2), x3(t1, t2) непрерывны в точке (b1, b2), функция f(x1, x2, x3) непрерывна в точке a1= x1 (b1, b2), a2= x2 (b1, b2), a3= x3 (b1, b2), ТО функция h(t1, t2) непрерывна в точке (b1, b2).
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 37. Если функции x1(t1, t2), x2(t1, t2), x3(t1, t2) непрерывны в точке (b1, b2), функция f(x1, x2, x3) непрерывна в точке a1= x1 (b1, b2), a2= x2 (b1, b2), a3= x3 (b1, b2), ТО функция h(t1, t2) непрерывна в точке (b1, b2).

Слайд 136


ТЕОРЕМА 38. (Устойчивость знака) Если функция f(M) непрерывна в точке A и f(A)0, то существует окрестность точки A, в которой функция сохраняет знак.
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 38. (Устойчивость знака) Если функция f(M) непрерывна в точке A и f(A)0, то существует окрестность точки A, в которой функция сохраняет знак.

Слайд 137


ТЕОРЕМА 39.(Аналог теоремы о промежуточном значении) Пусть функция f(M) непрерывна на СВЯЗНОМ множестве X; A,BX. Для любого числа a, расположенного между f(A) и f(B), существует точка CX, для которой f(C)=a.
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 39.(Аналог теоремы о промежуточном значении) Пусть функция f(M) непрерывна на СВЯЗНОМ множестве X; A,BX. Для любого числа a, расположенного между f(A) и f(B), существует точка CX, для которой f(C)=a.

Слайд 138


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 23. Замкнутое и ограниченное множество называется компактным.
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 23. Замкнутое и ограниченное множество называется компактным.

Слайд 139


ТЕОРЕМА 39. (Теорема Вейерштрасса) Функция, непрерывная на компактном множестве, ограниченная и достигает наибольшего и наименьшего значений.
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 39. (Теорема Вейерштрасса) Функция, непрерывная на компактном множестве, ограниченная и достигает наибольшего и наименьшего значений.

Слайд 140


ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ Пусть точка M(x,y) является внутренней точкой области определения функции f(x,y) Отношения
Описание слайда:
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ Пусть точка M(x,y) является внутренней точкой области определения функции f(x,y) Отношения

Слайд 141


Вспомним производные! ОПРЕДЕЛЕНИЕ 24. Частной производной функции f(x,y) в точке M(x,y) по переменной x называется если предел существует. Аналогично по y
Описание слайда:
Вспомним производные! ОПРЕДЕЛЕНИЕ 24. Частной производной функции f(x,y) в точке M(x,y) по переменной x называется если предел существует. Аналогично по y

Слайд 142


Обозначения: Примеры 1. 2.
Описание слайда:
Обозначения: Примеры 1. 2.

Слайд 143


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 25. Функция f(x,y) называется дифференцируемой в точке (x,y), если f(x,y)=f(x+x,y+y)f(x,y)= =Ax+By+1x+2y A,B НЕ ЗАВИСЯТ от x,y limx0, y0 1=limx0, y0 2=0 1,2=0 при x=y=0
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 25. Функция f(x,y) называется дифференцируемой в точке (x,y), если f(x,y)=f(x+x,y+y)f(x,y)= =Ax+By+1x+2y A,B НЕ ЗАВИСЯТ от x,y limx0, y0 1=limx0, y0 2=0 1,2=0 при x=y=0

Слайд 144


Другая форма записи. f(x,y)=Ax+By+о() ЗАМЕЧАНИЕ. Из дифференцируемости следует непрерывность.
Описание слайда:
Другая форма записи. f(x,y)=Ax+By+о() ЗАМЕЧАНИЕ. Из дифференцируемости следует непрерывность.

Слайд 145


ТЕОРЕМА 40. Если функция f(x,y) дифференцируема в точке M(x,y), то в этой точке существуют частные производные, причем ОБРАТНОЕ НЕВЕРНО!
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 40. Если функция f(x,y) дифференцируема в точке M(x,y), то в этой точке существуют частные производные, причем ОБРАТНОЕ НЕВЕРНО!

Слайд 146


u(x,y) – график – поверхность. Что такое «касательная плоскость к поверхности»? На поверхности – точка N0=(x0,y0,u0)
Описание слайда:
u(x,y) – график – поверхность. Что такое «касательная плоскость к поверхности»? На поверхности – точка N0=(x0,y0,u0)

Слайд 147


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 26. Плоскость , проходящая через точку N0, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между этой плоскостью и прямой, проходящей через точку N0 поверхности и любую точку поверхности N1(x,y,u) N0, стремится к 0 при N1N0
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 26. Плоскость , проходящая через точку N0, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между этой плоскостью и прямой, проходящей через точку N0 поверхности и любую точку поверхности N1(x,y,u) N0, стремится к 0 при N1N0

Слайд 148


Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №148
Описание слайда:

Слайд 149


ТЕОРЕМА 41. Если функция u(x,y) дифференцируема в точке (x0,y0), то касательная плоскость к графику функции в точке N0 существует и задается уравнением
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 41. Если функция u(x,y) дифференцируема в точке (x0,y0), то касательная плоскость к графику функции в точке N0 существует и задается уравнением

Слайд 150


Нормальный вектор к плоскости
Описание слайда:
Нормальный вектор к плоскости

Слайд 151


Плоскость проходит через точку N0 .
Описание слайда:
Плоскость проходит через точку N0 .

Слайд 152


Достаточное условие дифференцируемости ТЕОРЕМА 42. Если функция f(x,y) имеет НЕПРЕРЫВНЫЕ частные производные в окрестности точки (x,y), то функция в этой точке дифференцируема.
Описание слайда:
Достаточное условие дифференцируемости ТЕОРЕМА 42. Если функция f(x,y) имеет НЕПРЕРЫВНЫЕ частные производные в окрестности точки (x,y), то функция в этой точке дифференцируема.

Слайд 153


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 27. Дифференциалом (полным) дифференцируемой функции f(x,y) в точке (x,y) называется Частные дифференциалы:
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 27. Дифференциалом (полным) дифференцируемой функции f(x,y) в точке (x,y) называется Частные дифференциалы:

Слайд 154


Дифференцирование сложной функции Дано: f(x1, x2, x3), g(t1, t2)=(x1(t1, t2), x2(t1, t2), x3(t1, t2)) Определена функция h(t1, t2)=f(x1(t1, t2), x2(t1, t2), x3(t1, t2)) g:R2R3, f:R3R h=g◦f – композиция, суперпозиция
Описание слайда:
Дифференцирование сложной функции Дано: f(x1, x2, x3), g(t1, t2)=(x1(t1, t2), x2(t1, t2), x3(t1, t2)) Определена функция h(t1, t2)=f(x1(t1, t2), x2(t1, t2), x3(t1, t2)) g:R2R3, f:R3R h=g◦f – композиция, суперпозиция

Слайд 155


Точка AR2, B=g(A)R3 ТЕОРЕМА 43. Пусть - функции xi(t1, t2) (i=1,2,3) дифференцируемы в точке A, - функция f дифференцируема в точке B. ТОГДА функция h дифференцируема в точке A,
Описание слайда:
Точка AR2, B=g(A)R3 ТЕОРЕМА 43. Пусть - функции xi(t1, t2) (i=1,2,3) дифференцируемы в точке A, - функция f дифференцируема в точке B. ТОГДА функция h дифференцируема в точке A,

Слайд 156


ее частные производные равны
Описание слайда:
ее частные производные равны

Слайд 157


ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ПЕРВОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА h(u,v)=f(x(u,v), y(u,v)) u,v – независимые переменные
Описание слайда:
ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ПЕРВОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА h(u,v)=f(x(u,v), y(u,v)) u,v – независимые переменные

Слайд 158


ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ d(cu)=cdu d(uv)=dudv d(uv)=udv+vdu d(u/v)=(vduudv)/v2
Описание слайда:
ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ d(cu)=cdu d(uv)=dudv d(uv)=udv+vdu d(u/v)=(vduudv)/v2

Слайд 159


ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ f(x, y, z) M0(x0,y0,z0) Вектор l=(cos , cos , cos ) – единичный Отложим отрезок длины t Получим точку M(x0+tcos ,y0+tcos ,z0+tcos ) g(t) =f(M)
Описание слайда:
ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ f(x, y, z) M0(x0,y0,z0) Вектор l=(cos , cos , cos ) – единичный Отложим отрезок длины t Получим точку M(x0+tcos ,y0+tcos ,z0+tcos ) g(t) =f(M)

Слайд 160


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 28. Производной функции f(x, y, z) в точке M0 по направлению вектора l называется производная g(t) при t=0, если она существует. Обозначение:
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 28. Производной функции f(x, y, z) в точке M0 по направлению вектора l называется производная g(t) при t=0, если она существует. Обозначение:

Слайд 161


ТЕОРЕМА 44. Если функция f(x, y, z) дифференцируема в точке M0 , то производная по любому направлению существует.
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 44. Если функция f(x, y, z) дифференцируема в точке M0 , то производная по любому направлению существует.

Слайд 162


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 29. Градиентом дифференцируемой функции f(x, y, z) в точке M0 называется вектор Градиент – направление наискорейшего возрастания функции, скорость – модуль градиента.
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 29. Градиентом дифференцируемой функции f(x, y, z) в точке M0 называется вектор Градиент – направление наискорейшего возрастания функции, скорость – модуль градиента.

Слайд 163


Для двух переменных
Описание слайда:
Для двух переменных

Слайд 164


ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Производные Пример: f(x, y) =xy Определяются индуктивно
Описание слайда:
ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Производные Пример: f(x, y) =xy Определяются индуктивно

Слайд 165


ТЕОРЕМА 45. Если смешанные производные непрерывны, то они равны. СЛЕДСТВИЕ. Смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования, если они непрерывны.
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 45. Если смешанные производные непрерывны, то они равны. СЛЕДСТВИЕ. Смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования, если они непрерывны.

Слайд 166


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 30. Функция f(x,y,z) называется n раз дифференцируемой, если все ее частные производные (n1)-го порядка дифференцируемые.
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 30. Функция f(x,y,z) называется n раз дифференцируемой, если все ее частные производные (n1)-го порядка дифференцируемые.

Слайд 167


ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 31. Дифференциалом второго порядка функции f(x,y) называется d2f(x,y)=d(df(x,y)).
Описание слайда:
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 31. Дифференциалом второго порядка функции f(x,y) называется d2f(x,y)=d(df(x,y)).

Слайд 168


Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №168
Описание слайда:

Слайд 169


x,y НЕЗАВИСИМЫЕ dx, dy тоже Тогда Неинвариантность формы второго дифференциала
Описание слайда:
x,y НЕЗАВИСИМЫЕ dx, dy тоже Тогда Неинвариантность формы второго дифференциала

Слайд 170


Индуктивно – дифференциалы более высоких порядков. Оператор
Описание слайда:
Индуктивно – дифференциалы более высоких порядков. Оператор

Слайд 171


ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Для одной переменной (n+1) раз дифференцируемая функция F(t) на интервале, содержащем отрезок [0,1].
Описание слайда:
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Для одной переменной (n+1) раз дифференцируемая функция F(t) на интервале, содержащем отрезок [0,1].

Слайд 172


Дано: функция f(x,y), (n+1) раз дифференцируемая в окрестности U точки M0(x0,y0) точка M(x0+x,y0+y) в этой окрестности. F(t)=f(x0+tx,y0+ty) То же для функции любого числа переменных.
Описание слайда:
Дано: функция f(x,y), (n+1) раз дифференцируемая в окрестности U точки M0(x0,y0) точка M(x0+x,y0+y) в этой окрестности. F(t)=f(x0+tx,y0+ty) То же для функции любого числа переменных.

Слайд 173


ТЕОРЕМА 46. Существует точка NU, для которой справедливо равенство Все дифференциалы вычисляются при dx=x, dy=y.
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 46. Существует точка NU, для которой справедливо равенство Все дифференциалы вычисляются при dx=x, dy=y.

Слайд 174


В форме Пеано:
Описание слайда:
В форме Пеано:

Слайд 175


ЛОКАЛЬНЫЕ ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 32. Функция f(M) (MRn) имеет в точке M0 локальный минимум (максимум), если существует такая окрестность точки M0 в пределах которой f(M)f(M0) (f(M)f(M0)). Локальные экстремумы это локальные максимумы и минимумы.
Описание слайда:
ЛОКАЛЬНЫЕ ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 32. Функция f(M) (MRn) имеет в точке M0 локальный минимум (максимум), если существует такая окрестность точки M0 в пределах которой f(M)f(M0) (f(M)f(M0)). Локальные экстремумы это локальные максимумы и минимумы.

Слайд 176


КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 33. Пусть A – квадратная симметрическая матрица n-го порядка. Функция вида называется квадратичной формой.
Описание слайда:
КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 33. Пусть A – квадратная симметрическая матрица n-го порядка. Функция вида называется квадратичной формой.

Слайд 177


ТЕОРЕМА 47. Если функция f(M) (MRn) имеет в точке M0 -все частные производные - локальный экстремум, то ОБРАТНОЕ НЕВЕРНО! Примеры: u=x2+y2+z2, u=x2+y2z2 Cтационарные (критические) точки.
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 47. Если функция f(M) (MRn) имеет в точке M0 -все частные производные - локальный экстремум, то ОБРАТНОЕ НЕВЕРНО! Примеры: u=x2+y2+z2, u=x2+y2z2 Cтационарные (критические) точки.

Слайд 178


ВИДЫ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 1. Положительно определенные. F(M)>0 при M=(x1,…, xn)0 Пример: F(x1, x2)=x12+x22 2. Отрицательно определенные. F(M)<0 при M=(x1,…, xn)0 Пример: F(x1, x2)=x12x22 ЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫЕ
Описание слайда:
ВИДЫ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ 1. Положительно определенные. F(M)>0 при M=(x1,…, xn)0 Пример: F(x1, x2)=x12+x22 2. Отрицательно определенные. F(M)<0 при M=(x1,…, xn)0 Пример: F(x1, x2)=x12x22 ЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫЕ

Слайд 179


3. Знакопеременная F(M)>0 при некотором MRn F(N)<0 при некотором NRn Пример: F(x1, x2)=x12x22 4. Квазизнакоопределенные F(M)0 (F(M)0) при всех M и F(M)=0 при некотором M0 Пример: F(x1, x2)=x12+x222x1x2
Описание слайда:
3. Знакопеременная F(M)>0 при некотором MRn F(N)<0 при некотором NRn Пример: F(x1, x2)=x12x22 4. Квазизнакоопределенные F(M)0 (F(M)0) при всех M и F(M)=0 при некотором M0 Пример: F(x1, x2)=x12+x222x1x2

Слайд 180


ТЕОРЕМА 48. Для положительно определенной квадратичной формы F(x1,x2,…, xn) существует положительное число m такое, что F(x1,x2,…, xn)m(x12 +x22+…+xn2 ) Для отрицательно определенных F(x1,x2,…, xn) m(x12 +x22+…+xn2 )
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 48. Для положительно определенной квадратичной формы F(x1,x2,…, xn) существует положительное число m такое, что F(x1,x2,…, xn)m(x12 +x22+…+xn2 ) Для отрицательно определенных F(x1,x2,…, xn) m(x12 +x22+…+xn2 )

Слайд 181


Функция f (x1,x2,…, xn) трижды дифференцируемая в точке M0. Квадратичная форма относительно (dx1,dx2,…,dxn)
Описание слайда:
Функция f (x1,x2,…, xn) трижды дифференцируемая в точке M0. Квадратичная форма относительно (dx1,dx2,…,dxn)

Слайд 182


ТЕОРЕМА 49. Пусть функция f(M)  трижды дифференцируемая в окрестности стационарной точки M0. Если форма - положительно определенная, то в точке M0 локальный минимум. - отрицательно определенная, то в точке M0 локальный максимум. - знакопеременная, то в точке M0 локального экстремума нет.
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 49. Пусть функция f(M)  трижды дифференцируемая в окрестности стационарной точки M0. Если форма - положительно определенная, то в точке M0 локальный минимум. - отрицательно определенная, то в точке M0 локальный максимум. - знакопеременная, то в точке M0 локального экстремума нет.

Слайд 183


КРИТЕРИЙ СИЛЬВЕСТРА
Описание слайда:
КРИТЕРИЙ СИЛЬВЕСТРА

Слайд 184


Угловые миноры Если 1>0, 2>0,…, n>0, то кв. форма положительно определенная Если 1<0, 2>0, 3<0, 4>0,…, то форма отрицательно определенная
Описание слайда:
Угловые миноры Если 1>0, 2>0,…, n>0, то кв. форма положительно определенная Если 1<0, 2>0, 3<0, 4>0,…, то форма отрицательно определенная

Слайд 185


Случай двух переменных f(x,y), M0, df=0 ТЕОРЕМА 50. Если AC B2>0, то функция f(x,y) имеет в точке M0 локальный экстремум (минимум при A>0, максимум при A<0) Если AC B2<0, то функция f(x,y) не имеет в точке M0 локального экстремума.
Описание слайда:
Случай двух переменных f(x,y), M0, df=0 ТЕОРЕМА 50. Если AC B2>0, то функция f(x,y) имеет в точке M0 локальный экстремум (минимум при A>0, максимум при A<0) Если AC B2<0, то функция f(x,y) не имеет в точке M0 локального экстремума.

Слайд 186


Во втором случае: Форма Ax2+2Bxy+Cy2 A>0 При x=1, y=0 форма положительная При x=B/A, y=1 форма отрицательная
Описание слайда:
Во втором случае: Форма Ax2+2Bxy+Cy2 A>0 При x=1, y=0 форма положительная При x=B/A, y=1 форма отрицательная

Слайд 187


ПРИМЕР f(x,y)=x2+y22x2y
Описание слайда:
ПРИМЕР f(x,y)=x2+y22x2y

Слайд 188


НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ Задано уравнение F(x,y,z)=0 Например, x2+y2+z21=0 z(x,y) - ?
Описание слайда:
НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ Задано уравнение F(x,y,z)=0 Например, x2+y2+z21=0 z(x,y) - ?

Слайд 189


Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №189
Описание слайда:

Слайд 190


Вопросы: При каких условиях неявная функция существует? Непрерывная? Дифференцируемая?
Описание слайда:
Вопросы: При каких условиях неявная функция существует? Непрерывная? Дифференцируемая?

Слайд 191


ТЕОРЕМА 51. Пусть - F(x0,y0,z0)=0 -!!! - F дифференцируема в некоторой окрестности точки (x0,y0,z0). ТОГДА
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 51. Пусть - F(x0,y0,z0)=0 -!!! - F дифференцируема в некоторой окрестности точки (x0,y0,z0). ТОГДА

Слайд 192


Для любого >0 существуют окрестность точки (x0,y0) и непрерывная и дифференцируемая функция z(x,y), определенная на этой окрестности, такая, что - F(x,y,z(x,y))=0, - |z(x,y)z0|<
Описание слайда:
Для любого >0 существуют окрестность точки (x0,y0) и непрерывная и дифференцируемая функция z(x,y), определенная на этой окрестности, такая, что - F(x,y,z(x,y))=0, - |z(x,y)z0|<

Слайд 193


Частные производные F(x,y,z)=0 Пример. xyz=sin(x+y+z)
Описание слайда:
Частные производные F(x,y,z)=0 Пример. xyz=sin(x+y+z)

Слайд 194


Для двух переменных F(x,y)=0 Пример. sin(x2+y2)=exy
Описание слайда:
Для двух переменных F(x,y)=0 Пример. sin(x2+y2)=exy

Слайд 195


Касательная плоскость к поверхности, заданной уравнением F(x,y,z)=0 в точке M0(x0,y0,z0). Полагаем grad F(M0)0 Уравнение касательной плоскости
Описание слайда:
Касательная плоскость к поверхности, заданной уравнением F(x,y,z)=0 в точке M0(x0,y0,z0). Полагаем grad F(M0)0 Уравнение касательной плоскости

Слайд 196


Градиент – нормальный вектор к касательной плоскости (к поверхности) Поверхности уровня Линии уровня
Описание слайда:
Градиент – нормальный вектор к касательной плоскости (к поверхности) Поверхности уровня Линии уровня

Слайд 197


УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ Даны: - функция - условие связи. Требуется найти Экстремум в точках, координаты которых удовлетворяют условию связи
Описание слайда:
УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ Даны: - функция - условие связи. Требуется найти Экстремум в точках, координаты которых удовлетворяют условию связи

Слайд 198


Пример. z=x2+y2 Условие связи: x+y=1
Описание слайда:
Пример. z=x2+y2 Условие связи: x+y=1

Слайд 199


Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №199
Описание слайда:

Слайд 200


ОПРЕДЕЛЕНИЕ 34. Говорят, что функция F(x,y,z) достигает в точке M0(x0,y0,z0) условный максимум (минимум) при условии связи g(x,y,z)=0, если g(x0,y0,z0)=0 существует окрестность U точки M0 такая, что для любой точки (x,y,z)U, для которой g(x,y,z)=0, справедливо неравенство F(x,y,z)F(x0,y0,z0) (F(x,y,z)F(x0,y0,z0)).
Описание слайда:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 34. Говорят, что функция F(x,y,z) достигает в точке M0(x0,y0,z0) условный максимум (минимум) при условии связи g(x,y,z)=0, если g(x0,y0,z0)=0 существует окрестность U точки M0 такая, что для любой точки (x,y,z)U, для которой g(x,y,z)=0, справедливо неравенство F(x,y,z)F(x0,y0,z0) (F(x,y,z)F(x0,y0,z0)).

Слайд 201


ТЕОРЕМА 52. Если в точке M0(x0,y0,z0) достигается условный экстремум функции F(x,y,z) при уравнении связи g(x,y,z)=0 и при этом grad g(M0)0, то grad g(M0) | | grad F(M0), т.е. существует число  такое, что grad F(M0)+ grad g(M0)=0.
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 52. Если в точке M0(x0,y0,z0) достигается условный экстремум функции F(x,y,z) при уравнении связи g(x,y,z)=0 и при этом grad g(M0)0, то grad g(M0) | | grad F(M0), т.е. существует число  такое, что grad F(M0)+ grad g(M0)=0.

Слайд 202


(x,y,z,)=F(x,y,z)+g(x,y,z) – функция Лагранжа,  - множитель Лагранжа Уравнения Лагранжа – НЕОБХОДИМЫЕ условия условного экстремума:
Описание слайда:
(x,y,z,)=F(x,y,z)+g(x,y,z) – функция Лагранжа,  - множитель Лагранжа Уравнения Лагранжа – НЕОБХОДИМЫЕ условия условного экстремума:

Слайд 203


ПРИМЕР z=x2 y2 x2+y2=1
Описание слайда:
ПРИМЕР z=x2 y2 x2+y2=1

Слайд 204


В многомерном случае F(x1,x2,…, xn) – целевая функция Уравнения связи gi(x1,x2,…, xn)=0 (i=1,2,…,k), k<n
Описание слайда:
В многомерном случае F(x1,x2,…, xn) – целевая функция Уравнения связи gi(x1,x2,…, xn)=0 (i=1,2,…,k), k<n

Слайд 205


(x1,x2,…, xn,1, 2,…, k)= =F(x1,x2,…, xn) + – функция Лагранжа
Описание слайда:
(x1,x2,…, xn,1, 2,…, k)= =F(x1,x2,…, xn) + – функция Лагранжа

Слайд 206


Необходимые условия экстремума – уравнения Лагранжа (n+k) уравнений с (n+k) неизвестными
Описание слайда:
Необходимые условия экстремума – уравнения Лагранжа (n+k) уравнений с (n+k) неизвестными

Слайд 207


Двойной интеграл Объем криволинейного цилиндра Функция z=f(x,y)>0 Область D на плоскости Объем цилиндра (простого) мы знаем
Описание слайда:
Двойной интеграл Объем криволинейного цилиндра Функция z=f(x,y)>0 Область D на плоскости Объем цилиндра (простого) мы знаем

Слайд 208


Пусть область D прямоугольник [a,b][c,d] 4 этапа Разбиение на малые прямоугольники Выбор точек Нахождение интегральной суммы Переход к пределу
Описание слайда:
Пусть область D прямоугольник [a,b][c,d] 4 этапа Разбиение на малые прямоугольники Выбор точек Нахождение интегральной суммы Переход к пределу

Слайд 209


1. Выбираем точки a=x0<x1<…<xn=b xi=xixi1 (i=1,…,n) Выбираем точки c=y0<y1<…<ym=d yj=yjyj1 (j=1,…,m) Разбиение - прямоугольнички Dij со сторонами xi, yj Площадь Sij=xiyj (nm штук)
Описание слайда:
1. Выбираем точки a=x0<x1<…<xn=b xi=xixi1 (i=1,…,n) Выбираем точки c=y0<y1<…<ym=d yj=yjyj1 (j=1,…,m) Разбиение - прямоугольнички Dij со сторонами xi, yj Площадь Sij=xiyj (nm штук)

Слайд 210


2. В каждом прямоугольничке – точки Mij=(ij,ij)
Описание слайда:
2. В каждом прямоугольничке – точки Mij=(ij,ij)

Слайд 211


3. Интегральная сумма Приближение к объему… Диаметр Dij равен
Описание слайда:
3. Интегральная сумма Приближение к объему… Диаметр Dij равен

Слайд 212


4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 35. Двойным интегралом называется если он существует. Обозначения: Функция называется интегрируемой.
Описание слайда:
4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 35. Двойным интегралом называется если он существует. Обозначения: Функция называется интегрируемой.

Слайд 213


ЗАМЕЧАНИЕ. Интегрируемая функция ограниченная Вопросы: Когда двойной интеграл существует? Если существует, как его вычислять?
Описание слайда:
ЗАМЕЧАНИЕ. Интегрируемая функция ограниченная Вопросы: Когда двойной интеграл существует? Если существует, как его вычислять?

Слайд 214


ТЕОРЕМА 53. Если функция f(x,y) непрерывна в области D, то двойной интеграл существует. Если ограниченная функция непрерывна во всех точках области D кроме точек, расположенных на некоторой спрямляемой кривой (или нескольких спрямляемых кривых), то функция интегрируема.
Описание слайда:
ТЕОРЕМА 53. Если функция f(x,y) непрерывна в области D, то двойной интеграл существует. Если ограниченная функция непрерывна во всех точках области D кроме точек, расположенных на некоторой спрямляемой кривой (или нескольких спрямляемых кривых), то функция интегрируема.

Слайд 215


ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ ПО ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ D, ОГРАНИЧЕННОЙ ОДНОЙ ИЛИ НЕСКОЛЬКИМИ СПРЯМЛЯЕМЫМИ КРИВЫМИ Строим прямоугольник Определим функцию
Описание слайда:
ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ ПО ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ D, ОГРАНИЧЕННОЙ ОДНОЙ ИЛИ НЕСКОЛЬКИМИ СПРЯМЛЯЕМЫМИ КРИВЫМИ Строим прямоугольник Определим функцию

Слайд 216


1. Разбиение области произвольными спрямляемыми кривыми. Получаем подобласти Di с площадями Si (i=1,…,n) 2. Выбираем точки Mi Di 3. Интегральная сумма
Описание слайда:
1. Разбиение области произвольными спрямляемыми кривыми. Получаем подобласти Di с площадями Si (i=1,…,n) 2. Выбираем точки Mi Di 3. Интегральная сумма

Слайд 217


4. Диаметр области Di diam (Di)=sup{(x,y):x,yDi} =max{diam (Di)}
Описание слайда:
4. Диаметр области Di diam (Di)=sup{(x,y):x,yDi} =max{diam (Di)}

Слайд 218


Замечание. Определения двойного интеграла в старом и новом смысле эквивалентны.
Описание слайда:
Замечание. Определения двойного интеграла в старом и новом смысле эквивалентны.

Слайд 219


Свойства двойных интегралов 1. Аддитивность Если функция f(x,y) интегрируема по области D и область разбита спрямляемой кривой на две области D1, D2 без общих внутренних точек, то f(x,y) интегрируема по обеим областям D1, D2
Описание слайда:
Свойства двойных интегралов 1. Аддитивность Если функция f(x,y) интегрируема по области D и область разбита спрямляемой кривой на две области D1, D2 без общих внутренних точек, то f(x,y) интегрируема по обеим областям D1, D2

Слайд 220


2. Линейность Здесь f,g – функции ,  – числа
Описание слайда:
2. Линейность Здесь f,g – функции ,  – числа

Слайд 221


3. Произведение интегрируемых функций является интегрируемой функцией.
Описание слайда:
3. Произведение интегрируемых функций является интегрируемой функцией.

Слайд 222


4. Если f и g – функции, интегрируемые в D и fg, то
Описание слайда:
4. Если f и g – функции, интегрируемые в D и fg, то

Слайд 223


5. Если функция f интегрируема в области D, то функция |f| - также интегрируема в области D и
Описание слайда:
5. Если функция f интегрируема в области D, то функция |f| - также интегрируема в области D и

Слайд 224


6. Если функция f интегрируема в области D, U=sup {f (M ): MD}, V=inf {f (M ): MD}, то существует число [V,U], для которого S(D) – площадь области
Описание слайда:
6. Если функция f интегрируема в области D, U=sup {f (M ): MD}, V=inf {f (M ): MD}, то существует число [V,U], для которого S(D) – площадь области

Слайд 225


7. Если функция f непрерывна в связной области D, то существует точка MD, для которой
Описание слайда:
7. Если функция f непрерывна в связной области D, то существует точка MD, для которой

Слайд 226


ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА На прямоугольнике [a,b][c,d] Определим функцию
Описание слайда:
ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА На прямоугольнике [a,b][c,d] Определим функцию

Слайд 227


К доказательству 1. Выбираем точки a=x0<x1<…<xn=b xi=xixi1 (i=1,…,n) Выбираем точки c=y0<y1<…<ym=d yj=yjyj1 (j=1,…,m) Разбиение на прямоугольнички
Описание слайда:
К доказательству 1. Выбираем точки a=x0<x1<…<xn=b xi=xixi1 (i=1,…,n) Выбираем точки c=y0<y1<…<ym=d yj=yjyj1 (j=1,…,m) Разбиение на прямоугольнички

Слайд 228


2. В каждом прямоугольничке – точки Mij=(ij,ij) ТЕПЕРЬ Выбираем точки i[xi1, xi], j[yj1, yj] Полагаем ij=i, ij=j
Описание слайда:
2. В каждом прямоугольничке – точки Mij=(ij,ij) ТЕПЕРЬ Выбираем точки i[xi1, xi], j[yj1, yj] Полагаем ij=i, ij=j

Слайд 229


3.
Описание слайда:
3.

Слайд 230


4. Сначала устремляем к 0 max{yj}
Описание слайда:
4. Сначала устремляем к 0 max{yj}

Слайд 231


Теперь устремляем к 0 max{xi}
Описание слайда:
Теперь устремляем к 0 max{xi}

Слайд 232


ПРИМЕРЫ
Описание слайда:
ПРИМЕРЫ

Слайд 233


Вычисление интеграла по произвольной области ТЕОРЕМА 55. Пусть функция f(x,y) интегрируема в области D, ограниченной прямыми x=a, x=b и графиками функций y=g(x), y=h(x) (g(x)h(x)). Если при любом x[a, b] существует
Описание слайда:
Вычисление интеграла по произвольной области ТЕОРЕМА 55. Пусть функция f(x,y) интегрируема в области D, ограниченной прямыми x=a, x=b и графиками функций y=g(x), y=h(x) (g(x)h(x)). Если при любом x[a, b] существует

Слайд 234


и существует, то Можно интегрировать в другом порядке!
Описание слайда:
и существует, то Можно интегрировать в другом порядке!

Слайд 235


Пример.
Описание слайда:
Пример.

Слайд 236


Можно разбить на части: Кольцо
Описание слайда:
Можно разбить на части: Кольцо

Слайд 237


ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛАХ Отображение (x(u,v), y(u,v)) Взаимно однозначно отображает область плоскости (u,v) на область D плоскости (x,y). - Функции x(u,v), y(u,v) непрерывно дифференцируемые.
Описание слайда:
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛАХ Отображение (x(u,v), y(u,v)) Взаимно однозначно отображает область плоскости (u,v) на область D плоскости (x,y). - Функции x(u,v), y(u,v) непрерывно дифференцируемые.

Слайд 238


Матрица Якоби: Якобиан:
Описание слайда:
Матрица Якоби: Якобиан:

Слайд 239


Полагаем, что якобиан всюду отличен от 0. Разбиваем область на прямоугольнички прямыми u=const, v=const. Соответственно область D разбивается на области, близкие к параллелограммам
Описание слайда:
Полагаем, что якобиан всюду отличен от 0. Разбиваем область на прямоугольнички прямыми u=const, v=const. Соответственно область D разбивается на области, близкие к параллелограммам

Слайд 240


Пусть левый нижний угол прямоугольника (u,v), стороны u, v. Вершины “почти параллелограмма” A(x(u,v), y(u,v)) B(x(u+u,v), y (u+u,v)) C(x(u,v+v), y (u,v+v))
Описание слайда:
Пусть левый нижний угол прямоугольника (u,v), стороны u, v. Вершины “почти параллелограмма” A(x(u,v), y(u,v)) B(x(u+u,v), y (u+u,v)) C(x(u,v+v), y (u,v+v))

Слайд 241


Площадь: Модуль якобиана – коэффициент искажения площади, знак связан с ориентацией
Описание слайда:
Площадь: Модуль якобиана – коэффициент искажения площади, знак связан с ориентацией

Слайд 242


Функция f(x,y) интегрируемая на D. Обозначение: Интегральная сумма Диаметры областей связаны неравенствами
Описание слайда:
Функция f(x,y) интегрируемая на D. Обозначение: Интегральная сумма Диаметры областей связаны неравенствами

Слайд 243


Переходя к пределу при max{diam Dij}0, получаем:
Описание слайда:
Переходя к пределу при max{diam Dij}0, получаем:

Слайд 244


Полярные координаты x=rcos , y=rsin  ПРИМЕР
Описание слайда:
Полярные координаты x=rcos , y=rsin  ПРИМЕР

Слайд 245


ПРИМЕР (интеграл Эйлера-Пуассона)
Описание слайда:
ПРИМЕР (интеграл Эйлера-Пуассона)

Слайд 246


ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ПОВЕРХНОСТИ На плоскости xy – область D Поверхность  задана уравнением z(x,y) ((x,y) D)
Описание слайда:
ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ПОВЕРХНОСТИ На плоскости xy – область D Поверхность  задана уравнением z(x,y) ((x,y) D)

Слайд 247


Область D разбиваем на части Di с площадями Si (i=1,…,n) 2. Выбираем точки PiDi В каждой точке Mi(Pi ,f (Pi)) проводим касательную плоскость к поверхности i – площадь области на касательной плоскости, проекция которой совпадает с Di.
Описание слайда:
Область D разбиваем на части Di с площадями Si (i=1,…,n) 2. Выбираем точки PiDi В каждой точке Mi(Pi ,f (Pi)) проводим касательную плоскость к поверхности i – площадь области на касательной плоскости, проекция которой совпадает с Di.

Слайд 248


Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №248
Описание слайда:

Слайд 249


Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №249
Описание слайда:

Слайд 250


3. Находим =max{diam (Di )} 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 37. Площадью поверхности  называется
Описание слайда:
3. Находим =max{diam (Di )} 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 37. Площадью поверхности  называется

Слайд 251


Вычисление i – угол между нормалью к поверхности в точке Mi и осью z i = Si /|cos i| Вектор нормали: (в точке Pi) Вектор k= (0,0,1)
Описание слайда:
Вычисление i – угол между нормалью к поверхности в точке Mi и осью z i = Si /|cos i| Вектор нормали: (в точке Pi) Вектор k= (0,0,1)

Слайд 252


Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №252
Описание слайда:

Слайд 253


ПРИМЕРЫ 1. Площадь сферы x2+y2+z2=R2 2. Площадь части цилиндра x2+y2=a2, которая вырезается цилиндром x2+z2=a2
Описание слайда:
ПРИМЕРЫ 1. Площадь сферы x2+y2+z2=R2 2. Площадь части цилиндра x2+y2=a2, которая вырезается цилиндром x2+z2=a2

Слайд 254


Математический анализ. Определенный интеграл, слайд №254
Описание слайда:

Слайд 255


ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА Вектор-функция скалярного аргумента t Если вектора отложить от начала координат, то концы векторов пробегают кривую – годограф вектор-функции.
Описание слайда:
ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА Вектор-функция скалярного аргумента t Если вектора отложить от начала координат, то концы векторов пробегают кривую – годограф вектор-функции.

Слайд 256


Предел вектор-функции (совпадает с покоординатным) Непрерывность Производная , если не равна 0, направлена по касательной к годографу.
Описание слайда:
Предел вектор-функции (совпадает с покоординатным) Непрерывность Производная , если не равна 0, направлена по касательной к годографу.

Слайд 257


Правила дифференцирования 1. Производная постоянной вектор-функции равна 0. 2. Производная суммы равна сумме производных. 3. (u(t) – скалярная функция)
Описание слайда:
Правила дифференцирования 1. Производная постоянной вектор-функции равна 0. 2. Производная суммы равна сумме производных. 3. (u(t) – скалярная функция)

Слайд 258


4. (частный случай) 5. 6. 7. Если t=t(), то направление касательной не зависит от параметризации
Описание слайда:
4. (частный случай) 5. 6. 7. Если t=t(), то направление касательной не зависит от параметризации

Слайд 259


Если то плоскость, проходящая через точку годографа и параллельная векторам называется соприкасающейся плоскостью к кривой.
Описание слайда:
Если то плоскость, проходящая через точку годографа и параллельная векторам называется соприкасающейся плоскостью к кривой.

Слайд 260


Особые точки – точки, в которых или не существует
Описание слайда:
Особые точки – точки, в которых или не существует

Скачать

Похожие презентации
Mypresentation.ru
Загрузить презентацию