🗊Презентация Математическое моделирование. Форма и принципы представления математических моделей

Математическое моделирование Форма и принципы представления математических моделей

математическая модель Моделирование - это замещение некоторого объекта А другим объектом Б. Замещаемый объект А называется оригиналом или объектом моделирования, а замещающий Б - моделью. Целью моделирования являются получение, обработка, представление и использование информации об объектах, которые взаимодействуют между собой и внешней средой; а модель здесь выступает как средство познания свойств и закономерности поведения объекта.

Классификация моделей

вещественные модели Вещественные натурные модели - это реальные объекты, процессы и системы, над которыми выполняются эксперименты научные, технические и производственные. Вещественные физические модели - это макеты, муляжи, воспроизводящие физические свойства оригиналов (кинематические, динамические, гидравлические, тепловые, электрические, световые модели). Вещественные математические модели - это аналоговые, структурные, геометрические, графические, цифровые и кибернетические модели.

Идеальные модели Идеальные наглядные модели - это схемы, карты, чертежи, графики, графы, аналоги, структурные и геометрические модели. Идеальные знаковые модели - это символы, алфавит, языки программирования, упорядоченная запись, топологическая запись, сетевое представление. Идеальные математические модели - это аналитические, функциональные, имитационные, комбинированные модели.

Математическое моделирование Математическое моделирование - это средство изучения реального объекта, процесса или системы путем их замены математической моделью, более удобной для экспериментального исследования с помощью ЭВМ. Математическая модель является приближенным представлением реальных объектов, процессов или систем, выраженным в математических терминах и сохраняющим существенные черты оригинала. Математические модели в количественной форме, с помощью логико-математических конструкций, описывают основные свойства объекта, процесса или системы, его параметры, внутренние и внешние связи.

Математическое моделирование

построение математической модели

Форма и принципы представления  математической модели 

имитационное моделирование В имитационном моделировании функционирование объектов, процессов или систем описывается набором алгоритмов. Алгоритмы имитируют реальные элементарные явления, составляющие процесс или систему с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени.  Имитационное моделирование позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса или системы в определенные моменты времени, однако прогнозирование поведения объектов, процессов или систем здесь затруднительно. Имитационные модели - это проводимые на ЭВМ вычислительные эксперименты с математическими моделями, имитирующими поведение реальных объектов, процессов или систем.

Классификация моделей

Классификация моделей

Классификация моделей

Классификация моделей

Математическое моделирование Особенности построения математических моделей

построение математических моделей

построение математических моделей

построение математических моделей

Модель кШМ

построение математических моделей когда наши знания об изучаемом объекте, процессе или системе недостаточны, то при построении математической модели приходится делать дополнительные предположения, которые носят характер гипотез. Такая модель называется гипотетической. Выводы, полученные в результате исследования гипотетической модели, носят условный характер. Для проверки выводов необходимо сопоставить результаты исследования модели на ЭВМ с результатами натурного эксперимента. Основным критерием истинности является эксперимент!

построение математических моделей

методы решения математических задач точные методы решения задач численные методы решения задач

Пример построения модели химического процесса

Пример построения модели химического процесса

метод прямоугольников для приближенного интегрирования

численные методы Приближенные вычисления

Причины погрешностей Несоответствие математической модели изучаемому реальному явлению Погрешность исходных данных. Погрешность метода решения (приближенные методы). Погрешности округлений в арифметических и других действиях над числами.

Погрешности метода погрешность дискретизации  погрешность округления

Приближенные числа абсолютная погрешность предельная абсолютная погрешность относительная погрешность предельная относительная погрешность

Запись приближенных чисел

Значащие цифры

Значащие цифры предельная абсолютная погрешность определяется числом десятичных знаков после запятой: чем меньше десятичных знаков после запятой, тем больше  Предельная относительная погрешность определяется числом значащих цифр: чем меньше значащих цифр, тем больше 

Округление Округлением (по дополнению) числа называется запись этого числа с меньшим количеством разрядов по следующему правилу: если первая отбрасываемая цифра больше или равна 5, то последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу. Погрешность округления по дополнению не превосходит по абсолютной величине половины единицы младшего оставляемого разряда. При вычислении результирующей погрешности, погрешность округления суммируется с первоначальной абсолютной погрешностью числа.

Действия над приближенными числами Предельная абсолютная погрешность алгебраической суммы равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых. Относительная погрешность суммы заключена между наибольшей и наименьшей из относительных погрешностей слагаемых. Относительная погрешность произведения или частного равна сумме относительных погрешностей сомножителей или, соответственно, делимого и делителя. Относительная погрешность n-ой степени приближенного числа в n раз больше относительной погрешности основания (как у целых, так и для дробных n).

Действия над приближенными числами При сложении и вычитании приближённых чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближённом данном с наименьшим числом десятичных знаков. При умножении и делении в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет приближённое данное с наименьшим числом значащих цифр. При возведении в квадрат или куб в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень приближённое число ( последняя цифра квадрата и особенно куба при этом менее надежна, чем последняя цифра основания ). При извлечении квадратного и кубического корней в результате следует брать столько значащих цифр, сколько их имеет приближённое значение подкоренного числа (последняя цифра квадратного и особенно кубического корня при этом более надёжна, чем последняя цифра подкоренного числа). Во всех промежуточных результатах следует сохранять одной цифрой более, чем рекомендуют предыдущие правила. В окончательном результате эта «запасная» цифра отбрасывается. Если некоторые данные имеют больше десятичных знаков (при сложении и вычитании) или больше значащих цифр (при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня), чем другие, то их предварительно следует округлить, сохраняя лишь одну лишнюю цифру. Если данные можно брать с произвольной точностью, то для получения результата с K цифрами данные следует брать с таким числом цифр, какое даёт согласно вышеизложенным правилам (К+1) цифру в результате.

численные методы Случайные величины

Нормальное распределение случайной величины

Нормальное распределение случайной величины

Нормальное распределение случайной величины

Нормальное распределение случайной величины

Нормальное распределение случайной величины

Нормальное распределение случайной величины

численные методы методы уточнения приближенных значений уравнений

Метод деления отрезка пополам

Метод деления отрезка пополам

x2  log0,5(x + 1) = 1.

Метод хорд

Метод хорд

Метод Ньютона (метод касательных)

Метод Ньютона (вариант с 1 производной)

x – sin(x) = 0,25

Метод Ньютона (сходимость)

Метод Ньютона f(x)=x^3-2x+2 (x0=0)

Блок-схема метода

Решение систем линейных уравнений

Система линейных уравнений

Матричная форма записи СЛАУ

Матричная форма записи СЛАУ

Исключение переменных (метод Гаусса)

Исключение переменных (метод Гаусса)

Исключение переменных (метод Гаусса)

Исключение переменных (метод Гаусса)

Исключение переменных (метод Гаусса)

метод Гаусса

метод Гаусса

метод Гаусса

метод Гаусса (Установление множества решений)

Пример

Решение

Решение методом Гаусса

Итерационный Метод Гаусса — Зейделя

Итерационный Метод Гаусса — Зейделя

Итерационный Метод Гаусса — Зейделя

Итерационный Метод Гаусса — Зейделя

пример

решение

численные методы Моделирование многомерных нелинейных систем

Моделирование многомерных нелинейных систем

Решение систем нелинейных уравнений

Решение систем нелинейных уравнений

Метод простых итераций

Метод простых итераций

Метод простых итераций

алгоритм

пример

пример

Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона

численные методы Обработка экспериментальных данных

Представление экспериментальных данных

Интерполяция интерполяция – нахождение значения таблично заданной функции в тех точках внутри данного интервала, где она не задана. Экстраполяция – восстановление функции в точках за пределами заданного интервала (прогноз).

построение интерполяционной функции выбор интерполяционной функции (х); оценка погрешности R(x); размещение узлов интерполяции для обеспечения возможной наивысшей точности восстановления функции.

построение интерполяционной функции

Задача Интерполяции Задача: для функции  , заданной таблично, построить интерполяционный многочлен степени n, который проходит через все узловые точки таблицы: В результате, в любой другой промежуточной точке хk, расположенной внутри отрезка [x0,xn], выполняется приближенное равенство Pn(xk) = f(xk) = yk

Построение интерполяционного многочлена в явном виде Для построения интерполяционного многочлена необходимо определить его коэффициенты a0, a1, :, an, т.е. ai i=0,1,2,:,n. Количество неизвестных коэффициентов равно n+1=N Поскольку интерполяционный многочлен должен пройти через каждую узловую точку (xi, yi) таблицы (11.1), т.е., Подставляя в уравнение каждую узловую точку таблицы получаем систему линейных уравнений:

Построение интерполяционного многочлена в явном виде Неизвестными системы уравнений являются a0, a1, a2, :, an т.е. коэффициенты интерполяционного многочлена. Коэффициенты при неизвестных системы   легко могут быть определены на основании таблицы экспериментальных данных Интерполяционный многочлен может быть построен при помощи специальных интерполяционных формул Лагранжа, Ньютона, Стерлинга, Бесселя и др.

Интерполяция по Лагранжу Интерполяционный многочлен по формуле Лагранжа имеет вид: если x=x0, то Ln(x0) = y0, если x=x1, то Ln(x1) = y1, ::::: если x=xn, то Ln(xn) = yn.

Интерполяция по Лагранжу интерполяционный многочлен Лагранжа приближает заданную табличную функцию, т.е. Ln(xi) = yi и используется в качестве вспомогательной функции для решения задач интерполирования, т.е.  . Чем больше узлов интерполирования на отрезке [x0,xn], тем точнее интерполяционный многочлен приближает заданную табличную функцию , т.е. тем точнее равенство: при большом числе узлов удобно находить значения функции в промежуточных точках, не получая многочлен в явном виде.

Программирование формулы Лагранжа В общем виде формула Лагранжа имеет вид: где при условии

Интерполяция по Ньютону Дана табличная функция: Необходимо найти значение этой функции в промежуточной точке, например, x=D, причем 

Интерполяция по Ньютону Интерполяционный многочлен по формуле Ньютона имеет вид: где - разделенные разности 0-го, 1-го, 2-го,:., n-го порядка, соответственно

Разделенные разности Значения f(x0), f(x1), : , f(xn), т.е. значения табличной функции в узлах, называются разделенными разностями нулевого порядка (k=0) Отношение    называется разделенной разностью первого порядка (k=1) на участке [x0, x1]  в общем виде Для произвольного участка [xi, xi+2] разделенная разность второго порядка (k=2) равна

Разделенные разности разделенная разность k -го порядка на участке [xi, xi+k] может быть определена через разделенные разности (k-1) -го порядка по рекуррентной формуле: где n - степень многочлена. интерполяция по Ньютону имеет некоторые преимущества по сравнению с решением задачи интерполяции по Лагранжу. При изменении количества узловых точек N и степени многочлена n (n=N-1) интерполяционный многочлен Лагранжа требуется строить заново. В многочлене Ньютона при изменении количества узловых точек N и степени многочлена n требуется только добавить или отбросить соответствующее число стандартных слагаемых в формуле Ньютона .

Программирование формулы Ньютона Пусть нужно найти значение таблично заданной функции в точке D из интервала [x0, xn]. Значение функции в этой точке вычисляется по формуле где у0 - значение табличной функции для x=x0 - у0*  разделенная разность k-го порядка для участка [x0, x0+k]

Программирование формулы Ньютона

Программирование формулы Ньютона

Сплайн-интерполяция Сплайны (в черчении) - это лекала или гибкие линейки, деформация которых позволяет провести кривую через заданные точки (xi, уi) сплайн - это группа кубических многочленов, в местах сопряжения которых первая и вторая производные непрерывны. Такие функции называются кубическими сплайнами. В общем виде они имеют вид: Для их построения необходимо задать коэффициенты, которые единственным образом определяют многочлен в промежутке между данными точками.

Сплайн-интерполяция

Сплайн-интерполяция

Аппроксимация опытных данных Дана табличная функция: Задача аппроксимации заключается в отыскании аналитической зависимости y=f(x) полученной табличной функции.

способы аппроксимации 1. Аппроксимирующая кривая F(x), аналитический вид которой необходимо найти, проходила через все узловые точки таблицы. Эту задача решается с помощью построения интерполяционного многочлена степени n: Недостатки: Точность аппроксимации гарантируется в небольшом интервале [x0, xn] при количестве узловых точек не более 7-8. Значения табличной функции в узловых точках должны быть заданы с большой точностью. В противном случае воспроизводятся не только закономерные изменения снимаемой функции, но и ее случайные помехи.

Сглаживание данных методом наименьших квадратов

метод наименьших квадратов

метод наименьших квадратов

метод наименьших квадратов

Программирование метода наименьших квадратов (МНК)

Алгоритм

Алгоритм

Алгоритм

численные методы Интегрирование

Динамические системы - это системы, в которых входные переменные являются функциями от времени или каких-либо других параметров. Описываются эти системы дифференциальными и интегральными уравнениями. На практике лишь небольшое число дифференциальных уравнений допускает интегрирование в квадратурах. Еще реже удается получить решение в элементарных функциях. Поэтому большое распространение при решении математических моделей с помощью ЭВМ получили численные методы решения дифференциальных уравнений.

Численное Интегрирование дана функция y=f(x). Найти интеграл этой функции на участке [a,b], т.е. найти Если подынтегральная функция f(x) задана в аналитическом виде, непрерывна на отрезке [a, b] и известна ее первообразная, т.е. то интеграл может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница как приращение первообразной на участке [a,b], т.е.

Численное Интегрирование Численные методы интегрирования применяются в следующих случаях: подынтегральная функция f(x) задана таблично на участке [a,b] ; подынтегральная функция f(x) задана аналитически, но ее первообразная не выражается через элементарные функции; подынтегральная функция f(x) задана аналитически, имеет первообразную, но ее определение слишком сложно.

Численное Интегрирование Интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции, расположенной под подынтегральной кривой f(x)на участке [a,b]  Смысл всех численных методов интегрирования состоит в приближенном вычислении указанной площади. Поэтому все численные методы являются приближенными.

Численное Интегрирование При вычислении интеграла подынтегральная функция f(x) аппроксимируется интерполяционным многочленом. Порядок вычисления интеграла численными методами: Весь участок [a,b] делим на n равных частей с шагом h=(b-a)/n. В каждой части деления подынтегральную функцию f(x) аппроксимируем интерполяционным многочленом. Степень многочлена n = 0,1,2: Для каждой части деления определяем площадь частичной криволинейной трапеции. Суммируем эти площади. Приближенное значение интеграла I равно сумме площадей частичных трапеций

Численное Интегрирование

Численное Интегрирование

Метод прямоугольников Весь участок [a,b] делим на n равных частей с шагом h=(b-a)/n. Определяем значение yi подынтегральной функции f(x) в каждой части деления, т.е. В каждой части деления подынтегральную функцию f(x) аппроксимируем интерполяционным многочленом степени n = 0, т.е. прямой, параллельной оси OX. В результате вся подынтегральная функция на участке [a,b] аппроксимируется ломаной линией. Для каждой части деления определяем площадь Si частичного прямоугольника. Суммируем эти площади. Приближенное значение интеграла I равно сумме площадей частичных прямоугольников.

Метод прямоугольников

Метод прямоугольников

алгоритм

Метод трапеций Интервал [a,b] делим на n равных частей с шагом h=(b-a)/n. Вычисляем значение подынтегральной функции в каждой узловой точке На каждом шаге подынтегральную функцию f(x) аппроксимируем прямой, соединяющей две соседние узловые точки. В результате вся подынтегральная функция на участке [a,b] заменяется ломаной линией проходящей через все узловые точки. Вычисляем площадь каждой частичной трапеции. Приближенное значение интеграла равно сумме площадей частичных трапеций

Метод трапеций

Метод Симпсона подынтегральная функция аппроксимируется квадратичной параболой a0x2+a1x+a2. Для построения квадратичной параболы необходимо иметь три точки, поэтому каждая часть деления включает два шага, т.е. Lk=2h. Таким образом, количество частей деления N2=n/2. площадь между точками S1 равна определенному интегралу от квадратичной параболы на участке [x0, x2]: Неизвестные коэффициенты квадратичной параболы а0 , а1, а2 определяются из условия прохождения параболой через три узловых точки с координатами (x0y0), (x1y1), (x2y2)

Метод Симпсона

Метод Симпсона

алгоритм

численные методы Дифференцирование

Постановка задачи

Решение дифф. уравнений

Решение Задачи коши

Метод Рунге - Кутта 1-го порядка (метод Эйлера)

алгоритм

Геометрическая интерпретация метода Эйлера

Геометрическая интерпретация метода Эйлера

Метод Рунге - Кутта 2-го порядка (мод. метод Эйлера)

Геометрическая интерпретация метода

алгоритм

Метод Рунге - Кутта 4-го порядка (Метод Рунге - Кутта)

алгоритм

Решение дифференциальных уравнений второго порядка

Решение дифференциальных уравнений m-го порядка

Решение дифференциальных уравнений m-го порядка

Решение дифференциальных уравнений m-го порядка

пример

Основная программа