🗊Презентация Матрицы. Действия над матрицами

Содержание лекции

Ключевые понятия

Основные понятия и определения Матрицей называется таблица, состоящая из n строк и m столбцов. Таблица имеет вид:

Если n=m, то матрица называется квадратной. Если n=m, то матрица называется квадратной. Если n≠m, то матрица называется прямоугольной. n×mназывается размерностьюматрицы

Обозначение матрицы Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, A1, B1) или А={аij}n×m. Матрица, у которой все элементы внутри равны 0, называется нулевой матрицей и обозначается «O».

Элементы квадратной матрицы с одинаковыми индексами образуют главную диагональ матрицы. Элементы квадратной матрицы с одинаковыми индексами образуют главную диагональ матрицы.

Квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные нули, называется единичной матрицей, и обозначается E. Квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные нули, называется единичной матрицей, и обозначается E.

Действия над матрицами Две матрицы одинаковой размерности называются равными, если равны элементы, стоящие на одинаковых местах.

Суммой 2-х матриц одинаковой размерности называется матрица, элементы которой находят по правилу: Суммой 2-х матриц одинаковой размерности называется матрица, элементы которой находят по правилу: А={аij}n×m, B={bij}n×m A+B=C={cij}n×m. cij=aij+bij - складываются элементы, стоящие на одинаковых местах.

Для того чтобы матрицу умножить на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число: Для того чтобы матрицу умножить на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число: А={аij}n×m; α-число α∙А={аij}n×m

Если А={аij}n×m, B={bij}n×m, то разностью матриц А и В называется матрица C={cij}n×m, где cij=aij-bij. Если А={аij}n×m, B={bij}n×m, то разностью матриц А и В называется матрица C={cij}n×m, где cij=aij-bij.

Введём операцию умножения матрицы таким образом, чтобы выполнялось условие: Аn×p∙Вp×m=Сn×m.

Свойства операций над матрицами А+В=В+А А∙В≠В∙А α∙(А+В)= αА+ αВ А(В+С)=А∙В+А∙С (строго!)

5) Если в матрице А строки заменить местами, то получим так называемую транспонированную матрицу. 5) Если в матрице А строки заменить местами, то получим так называемую транспонированную матрицу. Если А – матрица, то АТ – транспонированная матрица, тогда (АТ)Т=А; (А∙В)Т=ВТ∙АТ

6) Для квадратных матриц вычисляют определители матриц, которые обозначаются символами ΔА; |A|; ||A||; detA (детерминант), являющиеся числом. 6) Для квадратных матриц вычисляют определители матриц, которые обозначаются символами ΔА; |A|; ||A||; detA (детерминант), являющиеся числом. det(A∙B)=detA∙detB Замечание! Все операции определены.

Обратная матрица Матрица А-1 называется обратной матрице А, если А-1∙А=А∙А-1=Е. Вывод 1: обратная матрица существует для квадратной матрицы.

Вывод 2: А-1 имеет ту же размерность, что и данная. Вывод 2: А-1 имеет ту же размерность, что и данная. Вывод 3:det(A∙А-1)=detE detA∙detА-1=1 detА-1=

Квадратная матрица, у которой определитель отличен от 0, т.е. |А|≠0, называется невырожденной. В противном случае называется вырожденной. Квадратная матрица, у которой определитель отличен от 0, т.е. |А|≠0, называется невырожденной. В противном случае называется вырожденной.

Теорема о единственности обратной матрицы. Теорема о единственности обратной матрицы. Если матрица имеет обратную, то единственную.

Теорема о существовании обратной матрицы. Теорема о существовании обратной матрицы. Чтобы матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была квадратной и невырожденной. Необходимость доказательства следует из выводов. Доказательство достаточности представляет собой процесс представления матрицы, которая, по определению, и будет обратной.

Алгоритм построения обратной матрицы 1) Убеждаемся, что матрица квадратная (для прямоугольных матриц нет обратных). 2) Вычисляем определитель квадратной матрицы. Если определитель равен 0, то делаем вывод, что у матрицы нет обратной.

3) Если определитель не равен 0, то вычисляем алгебраические дополнения элементов матрицы. 3) Если определитель не равен 0, то вычисляем алгебраические дополнения элементов матрицы. 4) Из алгебраических дополнений составляем так называемую присоединённую матрицу (Ã={Aij}n×n). 5) Транспонируем присоединённую матрицу.

6) Обратную матрицу получаем по формулеA-1=∙ÃT 6) Обратную матрицу получаем по формулеA-1=∙ÃT или =

Линейная зависимость и линейная независимость столбцов и строк Пусть α1, α2 и αm – числа, тогда выражение α1∙+α2∙+…+αm∙называется линейной комбинацией столбцов.

Столбцы называются линейно-независимыми, когда линейная комбинация равна 0 при всех α=0. Столбцы называются линейно-независимыми, когда линейная комбинация равна 0 при всех α=0. Столбцы называются линейно-зависимыми, если линейная комбинация равна 0 не при всех α=0.

Теорема. Теорема. Столбцы линейно-зависимы, когда хотя бы один столбец является линейной комбинацией остальных. Теорема. Столбцы матрицы можно представить в виде линейной комбинации столбцов матрицы Е.

Ранг матрицы Дана матрица размером n×m. Минором порядка r (Mr) называется определитель, составленный из элементов, стоящих на пересечении любых r строк и любых r столбцов матрицы. r≤min{n;m}

M4 и более высоких порядков не существует для данной матрицы.

Минор порядка r называется базисным, если он отличен от 0, и миноры более высоких порядков равны 0 или не существуют. Минор порядка r называется базисным, если он отличен от 0, и миноры более высоких порядков равны 0 или не существуют. Порядок базисного минора называется рангом матрицы (число r).

Нахождение ранга матрицы через миноры трудоёмкая операция. Существует алгоритм, позволяющий достаточно легко найти ранг и базисный минор. Нахождение ранга матрицы через миноры трудоёмкая операция. Существует алгоритм, позволяющий достаточно легко найти ранг и базисный минор.

Теорема. Теорема. Ранг матрицы равен максимальному числу линейно-зависимых столбцов матрицы. Максимальное число линейно-независимых строк равно максимальному числу линейно-независимых столбцов.

Теорема. Теорема. Линейные преобразования столбцов или строк матрицы не меняют ранг матрицы. К линейным преобразованиям строк относятся следующие преобразования:

перестановка строк местами; перестановка строк местами; прибавление к одной строке другой строки, умноженной на некоторое число; умножение строки на некоторое число; те же действия со столбцами.

Теорема. Теорема. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк (столбцов), полученных в результате применения элементарных преобразований, которые позволяют выделить строки и столбцы, являющиеся линейными комбинациями других строк (столбцов), т.е. выделить базисный минор.

Матрицы, получающиеся друг из друга с помощью элементарных преобразований, называются эквивалентными (имеют одинаковый ранг). Матрицы, получающиеся друг из друга с помощью элементарных преобразований, называются эквивалентными (имеют одинаковый ранг). III = 2∙I + II в А все М3=0

Применим к матрице элементарные преобразования. Применим к матрице элементарные преобразования. Подчеркнём элементы, имеющие одинаковые индексы. Ниже или выше этих элементов будем получать 0, если понадобится, устраним линейно-зависимые строки.

~ ~ ~

Вопросы и задания для самопроверки

Рекомендуемая литература

Использование материалов презентации Использование материалов презентации Использование данной презентации, может осуществляться только при условии соблюдения требований законов РФ об авторском праве и интеллектуальной собственности, а также с учетом требований настоящего Заявления. Презентация является собственностью авторов. Разрешается распечатывать копию любой части презентации для личного некоммерческого использования, однако не допускается распечатывать какую-либо часть презентации с любой иной целью или по каким-либо причинам вносить изменения в любую часть презентации. Использование любой части презентации в другом произведении, как в печатной, электронной, так и иной форме, а также использование любой части презентации в другой презентации посредством ссылки или иным образом допускается только после получения письменного согласия авторов.