🗊Презентация Матрицы и системы линейных уравнений

1. МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 1.1. Матрицы. Действия с матрицами Определение 1.1. Таблица вида: (1.1) в которой все – заданные числа, называется матрицей А размера m × n. При этом m – число строк в матрице , n – число столбцов в матрице A. Число , стоящее в матрице А на пересечении i–ой строки и j–го столбца, называется элементом матрицы A. Если m = n , то матрица A называется квадратной, если же m ≠ n , то A называется прямоугольной матрицей.

Примеры матриц Примеры матриц 1. Нулевая матрица О – матрица, у которой все элементы : (1.2) 2. Единичная матрица Е – квадратная матрица, у которой элементы: при , а при , т. е. (1.3)

3. Диагональная матрица – квадратная матрица, у которой 3. Диагональная матрица – квадратная матрица, у которой элементы: при , а при : (1.4) 4. Матрица «треугольного вида» («верхнетреугольного вида»), – квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные «под (1.5) главной диагональю», равны нулю, т. е. .

Замечание. «Главной диагональю» произвольной матрицы называют Замечание. «Главной диагональю» произвольной матрицы называют группу элементов , , … , (при ), либо группу элементов , ,…, (при ). 5. Матрица «почти треугольного вида», – прямоугольная матрица, у которой все элементы , расположенные под «главной диагональю», равны нулю, т. е. при m > n (1.6)

либо при m < n либо при m < n (1.7) Определение 1.2 (равенство матриц). Матрица А называется равной матрице В (А = В), если обе матрицы имеют одинаковый размер m × n и, кроме того, все соответствующие элементы равны между собой: . Например. Если , , , то А = В, А ≠ С, В ≠ С.

Определение 1.3 (сумма двух матриц). Пусть даны две матрицы и Определение 1.3 (сумма двух матриц). Пусть даны две матрицы и , тогда суммой А + В матриц А и В называется матрица , у которой элементы . Например. Определение 1.4 (произведение матрицы на число). Пусть дана матрица и число . Произведением числа  на матрицу А называется такая матрица , у которой все элементы . Например. Определение 1.5 (произведение двух матриц). Пусть даны две матрицы и , тогда произведением матрицы А (слева) на матрицу В (справа) называется матрица , у которой элементы находятся так: (1.8)

Свойства операций над матрицами Свойства операций над матрицами 1) – коммутативность, 2) , 3) , , 4) Произведение матриц зависит от порядка расположения сомножителей, то есть, . 5) – ассоциативность. 6) – дистрибутивность. Например. Если , , , то

Замечание. – умножение невозможно. Кроме того: Замечание. – умножение невозможно. Кроме того: Определение 1.6. Дана квадратная матрица . Обратной матрицей к матрице А называется такая матрица , которая обладает следующими свойствами: (1.9) где Е – единичная матрица такого же размера. Замечание. Не всякая квадратная матрица имеет к себе обратную . Например: матрица не имеет к себе обратной, т. к. если по определению 1.2 должны выполняться все равенства:

Теорема 1.1. Дана диагональная матрица , у которой Теорема 1.1. Дана диагональная матрица , у которой (1.10) 1.2. Элементарные преобразования матриц Определение 1.7. Элементарными преобразованиями матрицы А называются следующие преобразования: 1) перестановка любых двух строк (столбцов) в матрице; 2) умножение любой строки (столбца) на любое ненулевое число; 3) прибавление к любой строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на любое число. Матрицы А и В называются эквивалентными (А В), если они получаются одна из другой с помощью цепочки элементарных преобразований.