🗊Презентация Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона

Категория: Математика
Нажмите для полного просмотра!
Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона, слайд №1Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона, слайд №2Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона, слайд №3Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона, слайд №4Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона, слайд №5Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона, слайд №6Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона, слайд №7Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона, слайд №8Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона, слайд №9Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона, слайд №10Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона, слайд №11Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона, слайд №12Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона, слайд №13Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона, слайд №14Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона, слайд №15Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона, слайд №16Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона, слайд №17Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона, слайд №18Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона, слайд №19Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона, слайд №20Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона, слайд №21Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона, слайд №22Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона, слайд №23Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона, слайд №24Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона, слайд №25Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона, слайд №26Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона, слайд №27Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона, слайд №28Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона, слайд №29Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона, слайд №30Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона, слайд №31Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона, слайд №32Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона, слайд №33Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона, слайд №34Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона, слайд №35
Скачать

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона. Доклад-сообщение содержит 35 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1


Лекция Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона.
Описание слайда:
Лекция Метод Ньютона: 1- и 2-я интерполяционные формулы Ньютона.

Слайд 2


Понятие конечных разностей Пусть задана функция y=f(x) на отрезке [x0,xn], который разбит на n одинаковых отрезков (случай равноотстоящих значений аргумента). x=h=const. Для каждого узла x0, x1=x0+h, ..., xn=x0+nh определены значения функции в виде: f(x0)=y0, f(x1)=y1, ..., f(xn)=yn.
Описание слайда:
Понятие конечных разностей Пусть задана функция y=f(x) на отрезке [x0,xn], который разбит на n одинаковых отрезков (случай равноотстоящих значений аргумента). x=h=const. Для каждого узла x0, x1=x0+h, ..., xn=x0+nh определены значения функции в виде: f(x0)=y0, f(x1)=y1, ..., f(xn)=yn.

Слайд 3


Понятие конечных разностей Конечные разности первого порядка y0 = y1 – y0 y1 = y2 – y1 . . . . . yn-1 = yn – yn-1. Конечные разности второго порядка 2y0 = y1 – y0 2y1 = y2 – y1 . . . . . . 2yn-2 = yn-1 – yn-2 Аналогично определяются конечные разности высших порядков: ky0 = k-1y1 – k-1y0 ky1 = k-1y2 – k-1y1 . . . . . . kyi = k-1yi+1 – k-1yi , i = 0,1,...,n-k.
Описание слайда:
Понятие конечных разностей Конечные разности первого порядка y0 = y1 – y0 y1 = y2 – y1 . . . . . yn-1 = yn – yn-1. Конечные разности второго порядка 2y0 = y1 – y0 2y1 = y2 – y1 . . . . . . 2yn-2 = yn-1 – yn-2 Аналогично определяются конечные разности высших порядков: ky0 = k-1y1 – k-1y0 ky1 = k-1y2 – k-1y1 . . . . . . kyi = k-1yi+1 – k-1yi , i = 0,1,...,n-k.

Слайд 4


Понятие конечных разностей Конечные разности функций удобно располагать в таблицах, которые могут быть: Диагональными; Горизонтальными.
Описание слайда:
Понятие конечных разностей Конечные разности функций удобно располагать в таблицах, которые могут быть: Диагональными; Горизонтальными.

Слайд 5


Диагональная таблица
Описание слайда:
Диагональная таблица

Слайд 6


Горизонтальная таблица
Описание слайда:
Горизонтальная таблица

Слайд 7


Первая интерполяционная формула Ньютона Пусть для функции y = f(x) заданы значения yi = f(xi) для равностоящих значений независимых переменных: xn = x0 +nh, где h - шаг интерполяции. Необходимо найти полином Pn(x) степени не выше n, принимающий в точках (узлах) xi значения: Pn (xi) = yi , i=0,...,n. Запишем интерполирующий полином в виде:
Описание слайда:
Первая интерполяционная формула Ньютона Пусть для функции y = f(x) заданы значения yi = f(xi) для равностоящих значений независимых переменных: xn = x0 +nh, где h - шаг интерполяции. Необходимо найти полином Pn(x) степени не выше n, принимающий в точках (узлах) xi значения: Pn (xi) = yi , i=0,...,n. Запишем интерполирующий полином в виде:

Слайд 8


Задача построения многочлена сводится к определению коэффициентов аi из условий: Pn(x0)=y0 Pn(x1)=y1 . . . . Pn(xn)=yn
Описание слайда:
Задача построения многочлена сводится к определению коэффициентов аi из условий: Pn(x0)=y0 Pn(x1)=y1 . . . . Pn(xn)=yn

Слайд 9


Определение коэффициентов Полагаем в интерполирующий полиноме x = x0 , тогда, т.к. второе, третье и другие слагаемые равны 0, Pn(x0) = y0 = a0 a0=y0. Найдем коэффициент а1. При x = x1 получим:
Описание слайда:
Определение коэффициентов Полагаем в интерполирующий полиноме x = x0 , тогда, т.к. второе, третье и другие слагаемые равны 0, Pn(x0) = y0 = a0 a0=y0. Найдем коэффициент а1. При x = x1 получим:

Слайд 10


Определение коэффициентов Для определения а2 составим конечную разность второго порядка. При x = x2 получим:
Описание слайда:
Определение коэффициентов Для определения а2 составим конечную разность второго порядка. При x = x2 получим:

Слайд 11


Построение многочлена Аналогично можно найти другие коэффициенты. Общая формула имеет вид. Подставляя эти выражения в формулу полинома, получаем: где xi ,yi – узлы интерполяции; x – текущая переменная; h – разность между двумя узлами интерполяции h – величина постоянная, т.е. узлы интерполяции равноотстоят друг от друга.
Описание слайда:
Построение многочлена Аналогично можно найти другие коэффициенты. Общая формула имеет вид. Подставляя эти выражения в формулу полинома, получаем: где xi ,yi – узлы интерполяции; x – текущая переменная; h – разность между двумя узлами интерполяции h – величина постоянная, т.е. узлы интерполяции равноотстоят друг от друга.

Слайд 12


Первая интерполяционная формула Ньютона Этот многочлен называют интерполяционным полиномом Ньютона для интерполяции в начале таблицы (интерполирование «вперед») или первым полиномом Ньютона.
Описание слайда:
Первая интерполяционная формула Ньютона Этот многочлен называют интерполяционным полиномом Ньютона для интерполяции в начале таблицы (интерполирование «вперед») или первым полиномом Ньютона.

Слайд 13


Первая интерполяционная формула Ньютона Для практического использования этот полином записывают в преобразованном виде, вводя обозначение t=(x – x0)/h, тогда   Эта формула применима для вычисления значений функции для значений аргументов, близких к началу интервала интерполирования.
Описание слайда:
Первая интерполяционная формула Ньютона Для практического использования этот полином записывают в преобразованном виде, вводя обозначение t=(x – x0)/h, тогда   Эта формула применима для вычисления значений функции для значений аргументов, близких к началу интервала интерполирования.

Слайд 14


Пример Дана таблица значений теплоёмкости вещества в зависимости от температуры Cр =f(T). Определить значение теплоёмкости в точке Т=450 К, n=3; h=100 Таблица 1
Описание слайда:
Пример Дана таблица значений теплоёмкости вещества в зависимости от температуры Cр =f(T). Определить значение теплоёмкости в точке Т=450 К, n=3; h=100 Таблица 1

Слайд 15


Пример Составим таблицу конечных разностей функции. Таблица 2 Воспользуемся первой интерполяционной формулой, запишем интерполяционный многочлен при x=450 К.
Описание слайда:
Пример Составим таблицу конечных разностей функции. Таблица 2 Воспользуемся первой интерполяционной формулой, запишем интерполяционный многочлен при x=450 К.

Слайд 16


Пример Таким образом, теплоемкость при температуре 450 К будет: Сp(450)=71,31Дж/(моль  К) . Значение теплоемкости при Т=450 К получили такое же, что и рассчитанное по формуле Лагранжа.
Описание слайда:
Пример Таким образом, теплоемкость при температуре 450 К будет: Сp(450)=71,31Дж/(моль  К) . Значение теплоемкости при Т=450 К получили такое же, что и рассчитанное по формуле Лагранжа.

Слайд 17


Вторая интерполяционная формула Ньютона
Описание слайда:
Вторая интерполяционная формула Ньютона

Слайд 18


Область применения Второй интерполяционный полином Ньютона применяется для нахождения значений функций в точках, расположенных в конце интервала интерполирования. Запишем интерполяционный многочлен в виде:
Описание слайда:
Область применения Второй интерполяционный полином Ньютона применяется для нахождения значений функций в точках, расположенных в конце интервала интерполирования. Запишем интерполяционный многочлен в виде:

Слайд 19


Определение коэффициентов Коэффициенты а0,а1,..., аn определяем из условия: Pn (xi ) = yi i=0,...,n. 1.Полагаем в интерполяционном многочлене x = xn,, тогда
Описание слайда:
Определение коэффициентов Коэффициенты а0,а1,..., аn определяем из условия: Pn (xi ) = yi i=0,...,n. 1.Полагаем в интерполяционном многочлене x = xn,, тогда

Слайд 20


Определение коэффициентов 2.Полагаем x=xn-1, тогда: Pn(xn-1)=yn-1=yn+a1(xn-1 – xn) , h=xn – xn-1 ,   Следовательно: 3.Полагаем x=xn-2 , тогда
Описание слайда:
Определение коэффициентов 2.Полагаем x=xn-1, тогда: Pn(xn-1)=yn-1=yn+a1(xn-1 – xn) , h=xn – xn-1 ,   Следовательно: 3.Полагаем x=xn-2 , тогда

Слайд 21


Определение коэффициентов Аналогично можно найти другие коэффициенты многочлена:
Описание слайда:
Определение коэффициентов Аналогично можно найти другие коэффициенты многочлена:

Слайд 22


Вторая интерполяционная формула Ньютона Подставляя эти выражения в формулу (1), получим вторую интерполяционную формулу Ньютона или многочлен Ньютона для интерполирования «назад».
Описание слайда:
Вторая интерполяционная формула Ньютона Подставляя эти выражения в формулу (1), получим вторую интерполяционную формулу Ньютона или многочлен Ньютона для интерполирования «назад».

Слайд 23


Вторая интерполяционная формула Ньютона Введем обозначения:
Описание слайда:
Вторая интерполяционная формула Ньютона Введем обозначения:

Слайд 24


Вторая интерполяционная формула Ньютона Произведя замену , получим  Это вторая формула Ньютона для интерполирования «назад».
Описание слайда:
Вторая интерполяционная формула Ньютона Произведя замену , получим  Это вторая формула Ньютона для интерполирования «назад».

Слайд 25


Пример Вычислить теплоемкость (табл.1) для температуры Т=550 К. Воспользуемся второй формулой Ньютона и соответствующими конечными разностями (табл. 2)
Описание слайда:
Пример Вычислить теплоемкость (табл.1) для температуры Т=550 К. Воспользуемся второй формулой Ньютона и соответствующими конечными разностями (табл. 2)

Слайд 26


Пример Следовательно, значение теплоемкости при температуре 550 К равно: Ср(550)=97,01 Дж/(моль К).
Описание слайда:
Пример Следовательно, значение теплоемкости при температуре 550 К равно: Ср(550)=97,01 Дж/(моль К).

Слайд 27


Аппроксимация функций
Описание слайда:
Аппроксимация функций

Слайд 28


Особенностью интерполяции являлось то, что интерполирующая функция строго проходит через узловые точки таблицы, т. е. рассчитанные значения совпадали с табличными: yi=f(xi). Эта особенность обуславливалась тем, что количество коэффициентов в интерполирующей функции (m) было равно количеству табличных значений (n)
Описание слайда:
Особенностью интерполяции являлось то, что интерполирующая функция строго проходит через узловые точки таблицы, т. е. рассчитанные значения совпадали с табличными: yi=f(xi). Эта особенность обуславливалась тем, что количество коэффициентов в интерполирующей функции (m) было равно количеству табличных значений (n)

Слайд 29


Особенности аппроксимации если для описания табличных данных будет выбрана функция с меньшим количеством коэффициентов (m<n), что часто встречается на практике, то уже нельзя подобрать коэффициенты функции так, чтобы функция проходила через каждую узловую точку.
Описание слайда:
Особенности аппроксимации если для описания табличных данных будет выбрана функция с меньшим количеством коэффициентов (m<n), что часто встречается на практике, то уже нельзя подобрать коэффициенты функции так, чтобы функция проходила через каждую узловую точку.

Слайд 30


Особенности аппроксимации В лучшем случае, она будет проходить каким – либо образом между ними и очень близко к ним (рис. 1). Такой способ описания табличных данных называется аппроксимацией, а функция – аппроксимирующей.
Описание слайда:
Особенности аппроксимации В лучшем случае, она будет проходить каким – либо образом между ними и очень близко к ним (рис. 1). Такой способ описания табличных данных называется аппроксимацией, а функция – аппроксимирующей.

Слайд 31


Условия применения аппроксимации Когда количество табличных значений очень велико. В этом случае интерполирующая функция будет очень громоздкой. Удобнее выбрать более простую в применении функцию с небольшим количеством коэффициентов, хотя и менее точную.
Описание слайда:
Условия применения аппроксимации Когда количество табличных значений очень велико. В этом случае интерполирующая функция будет очень громоздкой. Удобнее выбрать более простую в применении функцию с небольшим количеством коэффициентов, хотя и менее точную.

Слайд 32


Условия применения аппроксимации Когда вид функции заранее определен. Такая ситуация возникает, если требуется описать экспериментальные точки какой- либо теоретической зависимостью.
Описание слайда:
Условия применения аппроксимации Когда вид функции заранее определен. Такая ситуация возникает, если требуется описать экспериментальные точки какой- либо теоретической зависимостью.

Слайд 33


Условия применения аппроксимации Аппроксимирующая функция может сглаживать погрешности эксперимента, в отличие от интерполирующей функции. Так, на рис.2 точками показаны табличные данные – результат некоторого эксперимента. Разброс данных объясняется погрешностью эксперимента.
Описание слайда:
Условия применения аппроксимации Аппроксимирующая функция может сглаживать погрешности эксперимента, в отличие от интерполирующей функции. Так, на рис.2 точками показаны табличные данные – результат некоторого эксперимента. Разброс данных объясняется погрешностью эксперимента.

Слайд 34


Условия применения аппроксимации интерполирующая функция, проходя через каждую точку, будет повторять ошибки эксперимента, иметь множество экстремумов: минимумов и максимумов – и в целом неверно отображать характер зависимости Y от X. Этого недостатка лишена аппроксимирующая функция.
Описание слайда:
Условия применения аппроксимации интерполирующая функция, проходя через каждую точку, будет повторять ошибки эксперимента, иметь множество экстремумов: минимумов и максимумов – и в целом неверно отображать характер зависимости Y от X. Этого недостатка лишена аппроксимирующая функция.

Слайд 35


Условия применения аппроксимации Интерполирующей функцией невозможно описать табличные данные, в которых есть несколько точек с одинаковым значением аргумента. Такая ситуация возможна, если один и тот же эксперимент проводится несколько раз при одних и тех же исходных данных. Однако это не является ограничением для использования аппроксимации, где не ставится условие прохождения графика функции через каждую точку.
Описание слайда:
Условия применения аппроксимации Интерполирующей функцией невозможно описать табличные данные, в которых есть несколько точек с одинаковым значением аргумента. Такая ситуация возможна, если один и тот же эксперимент проводится несколько раз при одних и тех же исходных данных. Однако это не является ограничением для использования аппроксимации, где не ставится условие прохождения графика функции через каждую точку.

Скачать

Похожие презентации
Mypresentation.ru
Загрузить презентацию