🗊Презентация Метод рационализации при решении показательных и логарифмических неравенств

Презентация по алгебре учителя высшей категории ГБОУ СОШ №127 Лысенко Н.Н.

Прежде чем говорить о методе рационализации в логарифмических и показательных неравенствах непосредственно, несколько слов о том, почему эта тема актуальна при подготовке к ЕГЭ. Прежде чем говорить о методе рационализации в логарифмических и показательных неравенствах непосредственно, несколько слов о том, почему эта тема актуальна при подготовке к ЕГЭ. Рассмотрим логарифмическое неравенство вида , где h,f,g- некоторые функции от х.

Стандартный метод решения такого неравенства предполагает разбор двух случаев на области допустимых значений неравенства. Стандартный метод решения такого неравенства предполагает разбор двух случаев на области допустимых значений неравенства. В первом случае, когда основания логарифмов удовлетворяют условию , знак неравенства обращается: . Во втором случае, когда основания удовлетворяет условию знак неравенства сохраняется: . На первый взгляд – все логично, рассмотрим два случая и потом объединим ответы. Правда, при рассмотрении второго случая приходится на 90 процентов повторять выкладки из первого случая (преобразовывать, находить корни вспомогательных уравнений, определять промежутки монотонности знака). Возникает естественный вопрос – можно ли все это как-нибудь объединить, тем самым сократив время на решение задачи, что актуально для экзамена, и при этом существенно упростить вычисления? Ответ на этот вопрос и даёт метод рационализации.

Метод рационализации позволяет перейти от неравенства содержащего сложные логарифмические и показательные выражения к равносильному ему рациональному неравенству. Метод рационализации позволяет перейти от неравенства содержащего сложные логарифмические и показательные выражения к равносильному ему рациональному неравенству. Метод используется при решении неравенств с переменным основанием логарифма и позволяет решать неравенства такого вида без перехода к равносильной совокупности систем, решение которой является достаточно трудоёмким и требующим большого количества времени. Рассмотрим таблицы, позволяющие рационализировать логарифмические неравенства(заметим, что рационализация производится на ОДЗ)

  Таблица работает при условии :f›0,g›0,h›0,h≠1 где f и g— функции от х, h— функция или число, V— один из знаков ≤,›,≥,‹ Заметим также, вторая и третья строчки таблицы — следствия первой.

И еще несколько полезных следствий : И еще несколько полезных следствий : где f и g — функции от x, h— функция или число, V— один из знаков ‹,≥,≤,›

Пример 1: Пример 1:

Пример 2: Пример 2:

Задание для решения с доской:

Рассмотрим таблицы, позволяющие рационализировать показательный неравенства . Рассмотрим таблицы, позволяющие рационализировать показательный неравенства . Таблица для рационализации в показательных неравенствах: f и g— функции от x, h— функция или число, V— один из знаков ›,≤,≥,‹.Таблица работает при условии  h›0,h≠1. Опять же, по сути, нужно запомнить первую  и третью строчки таблицы. Вторая строка -частный случай первой, а четвертая строка — частный случай третьей.  

Пример: Пример: (x2-x-2)2x-6 ≥ (x2-x-2)3-4x X2-x-2›0 х2-x-2 ≠1 ((X2-x-2)-1)((2x-6)-(3-4x))≥ 0   x›2 x‹-1 (x2-x-3)(6x-9)≥0 , , ,x2= , x3=1,5

Упорядочим корни: Упорядочим корни: Так как 3‹ √­­­13 ‹4,то x2‹x3‹x1 С учётом ОДЗ получаем: ( ; -1)U( ; +∞)

Устное упражнение: назвать чему равносильно данное неравенство без учёта ОДЗ 1.logx-3(x2+3x-4)≤ logx-3(5-x) 2.(x-3)x-4 ≤ Далее рассмотрим пример решения системы неравенств:

Решение. Решение. 1.Решим первое неравенство: 2. Решим второе неравенство при всех х При условиях и получаем неравенство При указанных условиях получаем: 3. Решением системы является общая часть решений двух неравенств.  

Так как имеем откуда получаем решение системы. Ответ:

Использованная литература: http://reshuege.ru Корянов А.Г,Прокофьев А.А-Методы решения неравенств с одной переменной-2011 г.