🗊Презентация Методы решения систем уравнений. Критерий итерационной сходимости

Метод конечных разностей; Метод конечных разностей; Метод контрольных объемов; Метод конечных элементов; Метод сглаженных частиц; Метод с использованием функции распределения вероятностей.

Метод контрольных объемов Дискретизация – преобразование непрерывной функции в дискретную. ANSYS CFX использует метод конечных объемов на основе элементов дискретизации пространственной области с использованием сетки. Сетка нужна для построения конечных объемов, которые используются для применения законов сохранения соответствующих величин, таких как масса, импульс и энергия. Сетка трехмерна, но для простоты рассмотрим двухмерную. Построение сеточной модели – дискретизация пространства. Задание временного шага – дискретизация времени.

Типичная двумерная сетка Все переменные решения и свойства текучей среды хранятся в узлах Node (вершины сетки). Контрольный объем Control Volume (заштрихованная область) строится вокруг каждого узла сетки следующим образом: контрольный объем ограничивается линиями, соединяющими центры ребер (т. 1) и центры граней Element Center (т. 2) сеточных элементов Element, окружающих узел Node (т. 0).

Методология метода конечного объёма Для иллюстрации методологии метода конечного объема рассмотрим уравнения сохранения массы, импульса, выраженные в декартовых координатах:

Методология метода конечного объёма

Методология метода конечного объёма Объемные интегралы дискретизируются в каждом секторе Sector сеточного элемента Element и накапливаются в контрольном объеме Control Volume, к которому принадлежит сектор. Поверхностные интегралы дискретизируются в точках интегрирования (ipn), расположенных в центре грани каждого сегмента сеточного элемента.

Методология метода конечного объёма После дискретизации объемных и поверхностных интегралов интегральные уравнения преобразуются:

Решение линеаризованных уравнений (метод итерационного приближения)

Критерий итерационной сходимости Реальный вычислительный процесс всегда должен заканчиваться при конечном значении k, поэтому возникает проблема выбора условия окончания итераций – величины критерия сходимости Δ. 1. Абсолютное изменение параметра на соседних шагах итерационного процесса | xk – xk-1 | ≤ Δ; 2. Относительное изменение параметра на соседних шагах | (xk – xk-1) / xk | ≤ Δ; где Δ – заданное пользователем малое значение, определяющая точность нахождения решения. Критерий итерационной сходимости – мера локального дисбаланса или невязка каждого уравнения в контрольном объеме.

Общая блок-схема итерационных алгоритмов

Выбор величины критерия итерационной сходимости Численное решение уравнений до достижения установленного критерия итерационной сходимости Δ определяет точность расчета: Δ > 10-4 – достаточная точность для получения качественного понимания поля течения; Δ = 10-4 – относительно неточный расчет, но может быть достаточным для многих инженерных задач. Эта величина по умолчанию установлена в ANSYS CFX. 10-4 < Δ < 10-6 – хорошая сходимость, и, как правило, достаточная для большинства технических задач. Δ ≤ 10-6 – точный расчет, применяется для геометрически чувствительных элементов (расчета в переходных областях при резком сужении или расширении канала, при расчете пограничного слоя и т.д.). Зачастую на практике невозможно достичь такого уровня точности.

Реализация итерационного алгоритма в ANSYS CFX Решение набора линеаризованных уравнений для каждого контрольного объема на каждом итерационном шаге: [A][φ]=[b], где [А] – коэффициенты перед неизвестными; [φ] – неизвестные; [b] – свободные члены. Пусть ɸ0 – начальное приближение для неизвестных; ɸ’ – поправка решения; n – текущий шаг интегрирования.

Система может быть решена итеративно с использованием начального приближения, которое корректируется поправкой на каждом шаге для достижения более точного значения: Система может быть решена итеративно с использованием начального приближения, которое корректируется поправкой на каждом шаге для достижения более точного значения: φn+1 = φn + φ’, где φ’ – решение следующего уравнения, Aφ’ = b – Aφn. При повторении указанных действий решение достигает требуемого уровня точности Δ, определённого пользователем: где n – номер итерации; N – общее число конечных элементов; φ – решение.

Графики итерационной сходимости

Устранение проблем со сходимостью Если имеются проблемы со сходимостью, необходимо найти их источник, не принимая полученные результаты. В первую очередь надо понять какой характер она носит ошибка, глобальный или локальный. 1. Сравните RMS (средние) и MAX (максимальные) невязки уравнений, имеющих плохую сходимость. Если MAX невязка превышает RMS более чем на порядок, это обычно свидетельствует о локальной проблеме сходимости (сетка, ГУ, НУ). 2. Выяснение расположения этой локализации в расчетной области является первым этапом решения проблемы. Для этого в постпроцессоре необходимо создать локализацию (например, изоповерхность) с невязкой (Resedual) в качестве переменной. Чтобы получить массив невязок в файле результатов необходимо в постпроцессоре в объекте Output Control задействовать соответствующую опцию (Results/Output Equation Reseduals/All). 3. Если область с максимальными невязками находится далеко как от интересующей области, так и от выходной границы (Outlet), то решение можно считать корректным. 4. При глобальной проблеме – необходима корректировка задачи.