Множества. Основные понятия - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Множества. Основные понятия. Доклад-сообщение содержит 33 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

множества Тема 1

Слайд 2

Описание слайда:

Основные понятия Множеством называется совокупность каких-либо объектов, обладающим общим для всех характеристическим свойством. «Множество есть многое, мыслимое как целое» – Г. Кантор Объекты, составляющие множество, называются элементами множества. Множества обозначают большими буквами, например, А, В, С, элементы – маленькими буквами, например, а, b, c. Множество и его элементы обозначаются следующим образом: А = {a1, a2, a3} – множество, состоящее из трех элементов; А = {a1, a2, …} – множество, состоящее из бесконечного числа элементов.

Слайд 3

Описание слайда:

Основные понятия Множество, число элементов которого конечно, называют конечным и бесконечным в противном случае. Бесконечные множества разделяются на счётные и несчётные. Если элементы бесконечного множества можно пронумеровать с помощью натурального ряда чисел, то оно называется счётным и несчётным в противном случае. a  А – элемент a принадлежит множеству А a  А – элемент a не принадлежит множеству А Если все элементы множества А являются элементами множества В и наоборот, то говорят, что множества А и В совпадают и пишут А = В Если каждый элемент множества А является элементом множества В, говорят, что множество А является подмножеством множества В, и записывают А  В или В  А Если А  В и В  А, то по ранее введенному определению А = В. Если А  В и А  В, то А есть собственное подмножество В, А  В. Если А не является собственным подмножеством В, то записывают А  В.

Слайд 4

Описание слайда:

Основные понятия Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается .   А, где А – любое множество Множество всех элементов, которые могут встретиться в данном исследовании, называют универсальным и обозначают U. Множество всех подмножеств данного множества А называется множеством-степенью и обозначается P(A). Число подмножеств любого конечного множества, содержащего n элементов равно 2n

Слайд 5

Описание слайда:

Способы задания множеств 1. Перечисление элементов множества. A = {1, 3, 5, 7, 9} – конечное множество B = {1, 2, …, n, …} – бесконечное множество 2. Указание свойств элементов множества: A = {a указание свойства элементов}. Здесь a является элементом множества A, a  А. A = {a a – простое число} – множество простых чисел B = {b b2 – 1 = 0, b – действительное число} – множество, состоящее из двух элементов, B = {– 1, 1} Z = {x  } – множество, состоящее из одного числа, x = 0

Слайд 6

Описание слайда:

Операции над множествами Объединением, или суммой множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат хотя бы одному из множеств А или В: Пересечением множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В: Дополнением А множества А есть множество, элементы которого принадлежат универсальному множеству U и не принадлежат А:

Слайд 7

$Операции над множествами Разность множеств А\ В – множество, состоящее из элементов множества А и не принадлежащих множеству В: Симметрическая...$

Описание слайда:

Операции над множествами Разность множеств А\ В – множество, состоящее из элементов множества А и не принадлежащих множеству В: Симметрическая разность: Декартовым произведением является множество С всех упорядоченных пар , где :

Слайд 8

Описание слайда:

Свойства операций над множествами 1. Коммутативность. а) A  B = B  A; б) A  B = B  A. 2. Ассоциативность. а) A  (B  C) = (A  C)  C; б) A  (B  C) = (A  B)  C. 3. Дистрибутивность. а) A (BC) = (AB)  (AC); б) A(BC) = (AB)(AC). 4. Закон де Моргана. а) б)

Слайд 9

Описание слайда:

Свойства операций над множествами 5. Идемпотентность. а) A  A = A; б) A  A = A. 6. Поглощение. а) A  (A  B) = A; б) A  (A  B) = A. 7. Расщепления (склеивания). а) б) 8. Двойное дополнение.

Слайд 10

Описание слайда:

Свойства операций над множествами 9. Закон исключенного третьего. а) б) 10. Операции с пустым и универсальным множествами. а) A  U = U; б) A   = A; в) A  U = A; г) A   = ; д) е) 11.

Слайд 11

Описание слайда:

Геометрическое моделирование множеств. Диаграммы Эйлера-Венна Универсальное множество изображают в виде прямоугольника, а множества, входящие в универсальное множество, – в виде кругов внутри прямоугольника; элементу множества соответствует точка внутри круга.

Слайд 12

Описание слайда:

Порядок выполнения операций дополнение ( ), пересечение ( ), объединение( ).

Слайд 13

$Пример Доказать тождество: A \ (В \ C) = (A \ В)  (A  C).$

Описание слайда:

Пример Доказать тождество: A \ (В \ C) = (A \ В)  (A  C).

Слайд 14

$Пример Доказать тождество: A \ (В \ C) = (A \ В)  (A  C). Воспользуемся следующими тождествами: A(BC) = (AB)(AC). Получим следующее:$

Описание слайда:

Пример Доказать тождество: A \ (В \ C) = (A \ В)  (A  C). Воспользуемся следующими тождествами: A(BC) = (AB)(AC). Получим следующее:

Слайд 15

Описание слайда:

Эквивалентность множеств Если каждому элементу множества A сопоставлен единственный элемент множества B и при этом всякий элемент множества B оказывается сопоставленным одному и только одному элементу множества A, то говорят, что между множествами A и B существует взаимно однозначное соответствие. Множества A и B в этом случае называют эквивалентными или равномощными. Эквивалентность множеств обозначается A  B. Эквивалентность множеств обладает свойством транзитивности, т.е. если A  B и B  C, то A  C. Два конечных множества эквивалентны тогда и только тогда, когда количество элементов в них одинаково

Слайд 16

Описание слайда:

Теорема Бернштейна Если множество A эквивалентно части множества B, а множество B эквивалентно части множества A, то множества A и B эквивалентны Докажем, что множество точек любого отрезка эквивалентно множеству точек любого интервала. Пусть A = [a, b] – произвольный отрезок, а B = (c, d) – произвольный интервал. Пусть A1 = (a1, b1 )– любой внутренний интервал отрезка [a, b], A1 A. Тогда A1  B. Пусть B1 = [c1, d1] – любой внутренний отрезок интервала (c, d), B1 B. Тогда B1  A. Таким образом, выполняются условия теоремы Бернштейна. Поэтому A  B. Итак, все интервалы, отрезки и вся прямая эквивалентны между собой

Слайд 17

Описание слайда:

Мощность множества Мощностью конечного множества А (обозначается А) называется число элементов этого множества. Все счетные множества имеют мощность, равную мощности натурального ряда чисел. Мощность натурального ряда чисел обозначается – алеф-нуль. Мощность несчетного множества, эквивалентного множеству всех действительных чисел, называется мощностью континуума (continuum – непрерывный). Мощность континуума обозначается готической буквой C. Между этими мощностями существует следующая связь:

Слайд 18

Описание слайда:

Мощность объединения n конечных множеств n = 2 АB = А + B – АB  АB = n1+n2+n3; А = n1+n2; B = n2+n3; АB = n2. Очевидно, что n1+n2+n3 = (n1+n2) +(n2+n3) – n2

Слайд 19

Описание слайда:

Мощность объединения n конечных множеств n = 3 АB С= А + B + C – АB – АC – BC + АB C  АB С= n1+n2+n3+n4+n5+n6+n7; А = n1+n2+n4+n5; B = n2+n3+n5+n6; С=n4+n5+n6+n7; АB = n2+n5; АC = n4+n5; BC = n5+n6; АB C = n5. n1+n2+n3+n4+n5+n6+n7 =(n1+n2+n4+n5) + (n2+n3+n5+n6) +(n4+n5+n6+n7) – –(n2+n5) – (n4+n5) – (n5+n6) + n5

Слайд 20

Описание слайда:

Мощность объединения n конечных множеств В общем случае мощность объединения n множеств определяется по формуле: А1 А2 …Аn= А1+А2+…+ Аn– (А1 А2+ А1 А3+ … + +Аn–1Аn)+ АB C + (А1 А2  А3 + … + Аn–2Аn–1Аn) – … + + (–1)n – 1 А1А2 …Аn. Если множества Аi попарно не пересекаются, т.е. Аi Аj = , i  j, то получим частный случай формулы: А1 А2 …Аn= А1+А2+…+ Аn. В общем случае справедливо неравенство А1 А2 …Аn А1+А2+…+ Аn.

Слайд 21

Описание слайда:

Пример На трех станках должны пройти обработку 80 деталей. Известно, что 10 из них были обработаны на всех трех станках, 20 только на первом и втором, 5 только на первом и третьем, 15 только на втором и третьем. Определить, сколько деталей было обработано только на одном станке, если известно: 1) что на каждом из станков было обработано одинаковое число деталей; 2) детали, обрабатываемые на втором станке, обязательно проходили обработку на первом или на третьем станке. 3) все ли детали прошли обработку хотя бы на одном из станков?

Слайд 22

Описание слайда:

Решение Обозначим множество деталей, прошедших обработку на первом станке через А, на втором через В, на третьем через С. Число деталей, обработанных на трех станках, есть число элементов множества АBC и равно 10. Только на первом и втором станках прошли обработку 20 деталей, это число элементов множества Аналогично проставляем цифры 5 и 15 из условия задачи. Число деталей, прошедших обработку только на первом станке, обозначим через X, на третьем через Y, только на втором через Z. Из условия задачи Z = 0. Число деталей, обработанных на каждом из станков одинаково, следовательно, X + 20 + 10+ 5 = Y + 15 + 10 + 5 = 20 + 10 + 15 + 0. Получаем систему двух уравнений c двумя неизвестными. Отсюда определяем Х = 10; Y = 15. Следовательно, только на одном станке (первом, втором или третьем) прошли обработку Х + Y + Z = 25 деталей; хотя бы на одном станке обработано 10+ 20 + 10 + 5 + 15 + 15 + 0 = 75 деталей Следовательно, 80 – 75 = 5 деталей не были обработаны ни на одном из станков

Слайд 23

Описание слайда:

Счётные множества Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел N = {1, 2, 3, …, n,…}, называется счетным. Множество счетно, если его элементы можно перенумеровать. Примеры счётных множеств: 1. A1 = {–1, –2, …, – n, …}; 2. A2 = {2, 22, …, 2n,…}; 3. A3 = {2, 4, …, 2n,…}; 4. A4 = {…, – n, …, – 1, 0, 1, …, n,…}.

Слайд 24

Описание слайда:

Теоремы о счётных множествах Всякое бесконечное подмножество счетного множества счетно. Объединение конечной или счетной совокупности счетных множеств счетно. Все счетные множества эквивалентны между собой. Всякое множество, эквивалентное счетному множеству, счетно. Множество всех рациональных чисел, т.е. чисел вида , где p и q целые числа, счетно. Если А = {a1, a2, …} и B = {b1, b2, …} – счетные множества, то множество всех пар С = {(ak, bn), k = 1, 2,…; n = 1, 2, …} счетно. Множество всех многочленов P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn любых степеней с рациональными коэффициентами a0, a1, a2, … an счетно. Множество всех корней многочленов любых степеней с рациональными коэффициентами счетно.

Слайд 25

Описание слайда:

Множества мощности континуума Существуют бесконечные множества, элементы которых нельзя перенумеровать. Такие множества называются несчетными. Теорема Кантора. Множество всех точек отрезка [0, 1] несчетно. Множество, эквивалентное множеству всех точек отрезка [0, 1] называется множеством мощности континуума.

Слайд 26

Описание слайда:

Теоремы о множествах мощности континуума Множество всех подмножеств счетного множества счетно. Множество иррациональных чисел имеет мощность континуума. Множество всех точек n-мерного пространства при любом n имеет мощность континуума. Множество всех комплексных чисел имеет мощность континуума. Множество всех непрерывных функций, определенных на отрезке [a, b] имеет мощность континуума. Мощность континуума больше, чем мощность счетного множества.

Слайд 27

Описание слайда:

Пример Множество точек параболы y = x2 эквивалентно множеству точек прямой – < x <  и, следовательно, имеет мощность континуума.

Слайд 28

Описание слайда:

Отображения множеств Если каждому элементу x  X поставлен в соответствие некоторый элемент y  Y, то говорят, что определено отображение f множества X во множество Y. Обозначают y = f(x). Элемент у есть образ элемента х при данном отображении f, х – прообраз элемента у и обозначают x = f-1(y).

Слайд 29

Описание слайда:

Сюрьективное, инъективное отображения Отображение f множества X в Y является отображением множества X на Y, если каждому элементу y  Y был поставлен в соответствие какой-либо элемент x X при данном отображении f. Такое соотношение называется сюръективным, т.е. если каждый элемент множества у имеет прообраз, то отображение f сюръективно. Отображение X в Y называется инъективным, если для каждого элемента y  Y существует не более одного прообраза.

Слайд 30

Описание слайда:

Биективное отображение Если отображение f сюръективно и инъективно, оно называется биективным (взаимнооднозначное соответствие). Очевидно, биективное отображение между конечными множествами X и Y возможно только в случае, когда число элементов этих множеств совпадает.

Слайд 31

Описание слайда:

Пример Пусть Х={а, b, с, d} Y={2, 4, 6}. Зададим отображения f1 и f2 : f1: a→2 f2: a→2 b→4 b→2 c→4 c→6 d→6 d→6 Определить тип отображения.

Слайд 32

Описание слайда:

Решение Отображение f1 X в Y является сюръективным, т.е. отображением X на Y, т.к. каждый элемент множества Y имеет прообраз. Отображение f2 несюръективно, элемент «4» не имеет прообраза. Приведенные выше отображения f1 и f2 не являются инъективными (для каждого элемента y  Y существует не более одного прообраза)

Слайд 33

Описание слайда:

Пример инъективного отображения Рассмотрим отображение у = f3(x): X = {x1, x2, x3}, Y = {y1, y2, y3, y4} f3: x1→y1 x2→y2 x3→y4 Отображение f3 – инъективно.