🗊Презентация Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса

МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ Теорема 9. (Вейерштрасса) Всякая возрастающая числовая последовательность {xn} имеет предел: конечный, если она ограниченна сверху, и бесконечный, если она неограниченна сверху, причем Аналогично, если {xn} – убывающая последовательность, то существует (конечный или бесконечный) предел и, следовательно, этот предел конечен, если последовательность ограниченна снизу, и бесконечный, если она неограниченна снизу.

КРИТЕРИЙ КОШИ Теорема 10 (Критерий Коши). Для того чтобы последовательность {xn} сходилась к конечному пределу, необходимо и достаточно, чтобы . Последовательность, удовлетворяющая этому условию называется «фундаментальной последовательностью» или последовательностью, «сходящейся в себе».

Функции Определение. Если каждому элементу х из множества X по определённому правилу или закону f ставится в соответствие один элемент у из множества Y, то говорят, что на множестве X задана функция f. Обозначение: f : X  Y или у = f(x). Способы задания функции: словесный, аналитический, табличный, графический. Определение. Пусть функция y = f(x) определена на множестве X, а функция z = (y) определена на множестве Y, причём область значений функции f содержится в области определения функции. Функция z =(f(x)) называется сложной функцией, или функцией от функции, или суперпозицией функций y = f(x) и z = (y). Обозначение:   f, или  (f) =  (f (x)),  - внешняя, f – внутренняя функция.

Основные элементарные функции Постоянная у = с, с – const (константа); степенная функция у = x,   R; показательная функция у = ах, а > 0, а  1; логарифмическая функция у = log a x, а > 0, а  1; тригонометрические функции у = sin x, у = cos x, у = tg x, y = ctg x; обратные тригонометрические функции у = arcsin x, у = arccos x, у = arctg x, у = arcctg x.

Основные элементарные функции

Основные элементарные функции

Основные элементарные функции

Основные элементарные функции

Классификация функций Все функции, получаемые с помощью конечного числа алгебраических действий над основными элементарными функциями, а также суперпозицией (или наложением) этих функций, составляют класс элементарных функций. Функция вида где , называется целой рациональной функцией или алгебраическим многочленом (полиномом) степени n. Многочлен первой степени называется также линейной функцией. Функция, представляющая собой отношение двух целых рациональных функций называется дробно-рациональной функцией. Совокупность целых рациональных и дробно-рациональной функцией образует класс рациональных функций.

Классификация функций Алгебраическая функция, не являющаяся рациональной функцией, называется иррациональной функцией. Всякая функция, не являющаяся алгебраической, называется трансцендентной. Трансцендентными в частности являются функции: Секанс: y = sec x, где sec x = 1/cos x. Косеканс: y = cosec x, где cosec x = 1/sin x. Синус гиперболический: y = sh x = (ex – e–x)/2. Косинус гиперболический: y = ch x = (ex + e–x)/2. Тангенс гиперболический: y = th x = (ex – e–x)/ (ex + e–x). Котангенс гиперболический: y = cth x = (ex + e–x)/ (ex – e–x). Секанс гиперболический: y = sch x = 2/ (ex + e–x). Косеканс гиперболический: y = csch x = 2/ (ex – e–x).

Спасибо за внимание