🗊Научная школа В.М. Миллионщикова: И.Н. Сергеев, А.Н. Ветохин, В.В. Быков

Научная школа В.М. Миллионщикова: И.Н. Сергеев, А.Н. Ветохин, В.В. Быков

В 1892 г. для исследования устойчивости нулевого решения системы по ее первому приближению ввел верхние характеристические показатели решений (ненулевых). В 1892 г. для исследования устойчивости нулевого решения системы по ее первому приближению ввел верхние характеристические показатели решений (ненулевых). Показатель Ляпунова осуществляет экспоненциальную верхнюю оценку нормы решения.

Доказал, что в случае правильной (в частности, автономной) системы первого приближения верно следующее: Доказал, что в случае правильной (в частности, автономной) системы первого приближения верно следующее: если показатели всех ее решений отрицательны, то имеет место экспоненциальная устойчивость; если показатель хотя бы одного ее решения положителен, то имеет место неустойчивость.

Изучил показатели всех решений n-мерной линеаризованной системы (с ограниченными коэффициентами): Изучил показатели всех решений n-мерной линеаризованной системы (с ограниченными коэффициентами): всего их оказалось ровно n (с учетом кратности); показатель с номером i отвечает за условную i-устойчивость (с начальными значениями из i-мерного многообразия); если система автономна, то показатели Ляпунова совпадают с действительными частями собственных значений ее матрицы.

В 1913 г. привел пример точки разрыва старшего показателя Ляпунова системы как функции от ее коэффициентов. В 1913 г. привел пример точки разрыва старшего показателя Ляпунова системы как функции от ее коэффициентов. В результате встал вопрос об описании точек непрерывности (полунепрерывности сверху или снизу) показателей Ляпунова, рассматриваемых: как функционалы на пространстве линейных систем (с равномерной топологией); как функции параметра, задающего семейство систем (или на пространстве линейных систем с компактно-открытой топологией).

В 1957 г. ввел (задал формулами) центральные показатели, доказав, что они оценивают сдвиги показателей Ляпунова при равномерно малых возмущениях коэффициентов линейной системы: В 1957 г. ввел (задал формулами) центральные показатели, доказав, что они оценивают сдвиги показателей Ляпунова при равномерно малых возмущениях коэффициентов линейной системы: верхний — оценивает сдвиги вверх старшего показателя Ляпунова; нижний — оценивает сдвиги вниз младшего показателя Ляпунова.

В 1969 г. с помощью своего метода поворотов: В 1969 г. с помощью своего метода поворотов: доказал достижимость (обратную оценку) центральных показателей показателями Ляпунова при равномерно малых возмущениях коэффициентов линейной системы; описал все точки непрерывности всех одновременно показателей Ляпунова линейных систем; описал все точки грубой непрерывности (в целой окрестности) всех одновременно показателей Ляпунова линейных систем (это системы с интегральной разделенностью); доказал, что точки грубой непрерывности показателей всюду плотны в пространстве всех систем.

Для старшего показателя Ляпунова: Для старшего показателя Ляпунова: в 1976–77 гг. в двумерном случае вычислил его миноранту (аналог нижнего центрального показателя), описав тем самым все точки его полунепрерывности снизу; в 1978 г. в n-мерном случае оценил его миноранту снизу.

Для каждого показателя Ляпунова в отдельности: Для каждого показателя Ляпунова в отдельности: в 1980 г. вычислил его мажоранту (аналог верхнего центрального показателя), описав тем самым все точки его полунепрерывности сверху; в 1993 г. в трехмерном случае вычислил его миноранту, описав тем самым и все точки его полунепрерывности снизу.

В 1899 г. предложил свою классификацию разрывных функций: В 1899 г. предложил свою классификацию разрывных функций: нулевой класс Бэра состоит из непрерывных функций; если функция представляется, как поточечный предел последовательности функций нулевого класса, то она принадлежит первому классу Бэра; если функция представляется, как поточечный предел последовательности функций первого класса, то она принадлежит второму классу Бэра; и т. д.

С 1980 г. начал применять теорию разрывных функций Бэра к показателям линейных систем, доказав принадлежность: С 1980 г. начал применять теорию разрывных функций Бэра к показателям линейных систем, доказав принадлежность: каждого показателя Ляпунова — 2-му классу Бэра в равномерной и компактно-открытой топологиях; центральных показателей в компактно-открытой топологии: верхнего — 2-му классу Бэра, нижнего — 3-му классу Бэра (в равномерной топологии оба принадлежат 1-му классу Бэра).

В 1982 г. доказал, что показатели Ляпунова не принадлежат 1-му классу Бэра (ни в равномерной, ни тем более в компактно-открытой топологии) — отсюда стало ясно, что они принадлежат в точности 2-му классу Бэра. В 1982 г. доказал, что показатели Ляпунова не принадлежат 1-му классу Бэра (ни в равномерной, ни тем более в компактно-открытой топологии) — отсюда стало ясно, что они принадлежат в точности 2-му классу Бэра.

В 1995 г.: В 1995 г.: предложил простые признаки непринадлежности показателей 1-му классу Бэра в разных топологиях; доказал, что для всех показателей Ляпунова в компактно-открытой топологии: мажоранты не принадлежат 1-му классу Бэра, миноранты не принадлежат 2-му классу Бэра.

В 1996 г. доказал, что в компактно-открытой топологии миноранта старшего показателя Ляпунова принадлежит 3-му классу Бэра (тем самым — в точности 3-му). В 1996 г. доказал, что в компактно-открытой топологии миноранта старшего показателя Ляпунова принадлежит 3-му классу Бэра (тем самым — в точности 3-му). Этот результат: ранее был установлен лишь в трехмерном случае (И.Н. Сергеев, 1995 г.) ; позднее был распространен на миноранты всех остальных показателей Ляпунова (Е.Е. Салов, 1999 г.).

В 1930 г.: В 1930 г.: рассмотрел нижние характеристические показатели решений (ненулевых), которые: осуществляют нижние экспоненциальные оценки их нормы, в случае правильной системы совпадают с верхними; обнаружил, что количество различных нижних показателей решений одной n-мерной системы может быть больше n (уже при n=2).

Показал, что показатели Перрона (нижние) устроены гораздо сложнее, чем показатели Ляпунова (верхние): Показал, что показатели Перрона (нижние) устроены гораздо сложнее, чем показатели Ляпунова (верхние): количество нижних показателей диагональной системы может достигать 2ⁿ –1 (1964 г.); множество нижних показателей решений двумерной системы может включать целый отрезок (1965 г.); нижние показатели почти всех решений одной системы одинаковы (1968 г.). Впоследствии было получено полное описание всех возможных множеств нижних показателей (Е.А. Барабанов, 1986 г.).

В 2004 г.: В 2004 г.: регуляризовал по Миллионщикову нижние характеристические показатели, получив ровно n показателей Перрона для любой n-мерной системы; указал мажоранту старшего и миноранту младшего показателей Перрона, которые совпадают с верхним и, соответственно, нижним центральными показателями (нижнепредельными).

В 2004 г. для линейных уравнений n-го порядка: В 2004 г. для линейных уравнений n-го порядка: ввел характеристические частоты решений (ненулевых), задающие среднее число нулей решения (на промежутке длины π); доказал, что спектр (множество различных значений) частот автономного уравнения 4-го порядка может содержать сколь угодно большое число значений. Оказалось, что спектр частот последнего уравнения может даже заполнять целый отрезок (А.Ю. Горицкий, 2008 г.).

В 2004 г., регуляризовав по Миллионщикову характеристические частоты, получил ровно n значений для любого уравнения n-го порядка и доказал, что они: В 2004 г., регуляризовав по Миллионщикову характеристические частоты, получил ровно n значений для любого уравнения n-го порядка и доказал, что они: в случае автономного уравнения совпадают с модулями мнимых частей корней характеристического многочлена; являются разрывными функциями коэффициентов уравнения.

В 2009–10 гг., рассмотрев решения (ненулевые) линейных систем: В 2009–10 гг., рассмотрев решения (ненулевые) линейных систем: распространил на них понятие частоты, определив полную частоту решения; ввел показатель блуждаемости решения (связанный со средней скоростью его вращения); доказал, что полные частоты и показатели блуждаемости всех решений автономной системы совпадают с модулями мнимых частей собственных значений ее матрицы.

Показатели: Показатели: верхние (Ляпунов); нижние (Перрон); степенные (Демидович); неправильности (Перрон, Гробман, Миллионщиков); центральные (Виноград); особые (Боль), генеральные (Персидский); экспоненциальные (Изобов); вспомогательные (Миллионщиков); блуждаемости, колеблемости (Сергеев).

Системы с ограниченными коэффициентами (основной класс). Системы с ограниченными коэффициентами (основной класс). Системы с неограниченными коэффициентами. Постоянные, периодические. Приводимые, почти приводимые. Правильные, бирегулярные. Системы с интегральной разделенностью. Системы, отвечающие уравнениям. Управляемые, с обратной связью. Гамильтоновы.

Топологии (на полуоси): Топологии (на полуоси): равномерная; сходимости на компактах (компактно-открытая); интегральная; сходимости в среднем. Возмущения: экспоненциальные; бесконечно малые; заданного порядка малости; не выводящие из заданного класса систем.

Найти формулу для мажоранты старшего показателя Ляпунова двумерной системы с неограниченными коэффициентами. Найти формулу для мажоранты старшего показателя Ляпунова двумерной системы с неограниченными коэффициентами. Предъявить двумерную систему без интегральной разделенности, но с грубо устойчивым старшим показателем Ляпунова. Существует ли такая трехмерная система, что для любой пары двумерных подпространств ее решений наибольший показатель Перрона в первом из них больше наименьшего ― во втором? Описать все возможные спектры полных частот или показателей блуждаемости произвольного уравнения третьего порядка. Существует ли характеристика вектор-функции, принимающая на решениях любой n-мерной системы не более n значений, совпадающих в случае автономной системы с мнимыми частями (по модулю) собственных значений ее матрицы?

Какому классу Бэра принадлежит миноранта старшего показателя Ляпунова, рассматриваемая как функционал на пространстве систем с неограниченными коэффициентами с компактно-открытой топологией? Какому классу Бэра принадлежит миноранта старшего показателя Ляпунова, рассматриваемая как функционал на пространстве систем с неограниченными коэффициентами с компактно-открытой топологией? Существует ли такое семейство систем, коэффициенты которых непрерывно зависят от вещественного параметра, что старший показатель Ляпунова, как функция параметра, не является полунепрерывным снизу ни в одной точке? Какому классу Бэра принадлежат частоты уравнения (не считая младшей)? Какому классу Бэра принадлежат показатели Перрона (не считая старшего)?